(5)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (五)基本立体图形、 立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的表面积为 A.21元 B.24π C.33π D.39π 2.用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是 A.2 B.2π c.2或1 D.或 3.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且 有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则①、 ②、③处的字可能为 ① A.快、新、乐 年 B.乐、新、快 ② C.新、乐、快 ③ D.乐、快、新 4.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台） 建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象 成ABCD一AB,C,D1的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为 1:16,方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为567m3,则该方亭的表 面积约为（√2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2） A.380m2 B.400m2 B C.450m D.480m 0 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.已知在直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB|AC,AB=AC=AA,=1,P为线段A,B上 的动点，则AP十PC1的最小值为 A号 B.v10 2 C.5 D.√2+√2 6.祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理： “幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思 是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积 相等，利用祖恒原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之 差.图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以2为半径的半 圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于帐篷底面ABCD的 平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造 一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图 2),从而求得该帐篷的体积为 A B.16x 3 c号 B 图1 图2 D号 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列判断正确的是 A.由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的 几何体是正六棱柱 B.一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围 成的几何体是圆台 C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D.一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体是球 高一同步周测卷五 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页） 8.已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M,N,若线段MN的最小值为 √，则 A.正四面体的棱长为6 B.正四面体的内切球的表面积为6π C.正四面体的外接球的半径为√6 D.线段MN的最大值为2√ 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C,已知A'C'=4, B'C'=6,则△ABC的面积为 第9题 第10题 10.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得 到的（如图），则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么 该几何体的表面积是 cm2.(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示，四边形ABCD是直角梯形（单位：cm),求图中阴影部分绕AB所在直线 旋转一周所成几何体的表面积和体积. D 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题 12.(本小题满分15分) 如图，在正四棱锥S一ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO=8,SM =11. (1)求这个四棱锥的侧棱长； (2)求这个四棱锥的表面积. D B 13.(本小题满分20分) 已知母线长为4√3的圆锥的侧面展开图为半圆 (1)求圆锥的底面面积； (2)如图所示，在该圆锥内放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. “OD ---D B 高一同步周测卷五 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③④⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 圆锥的表面积 易 0.80 2 选择题 5 圆柱的侧面展开图 易 0.75 3 选择题 5 立体图形的还原 易 0.72 棱台的表面积（数学 4 选择题 5 中 0.55 文化) 几何体表面上距离 5 选择题 5 中 0.45 和的最值 祖啦原理的应用（数 6 选择题 5 中 0.35 学文化) 7 选择题 6 几何体的结构特征 易 0.75 正四面体的外接球 选择题 6 0.35 与内切球问题 9 填空题 5 斜二测画法的应用 易 0.71 多面体的表面积（数 10 填空题 中 0.55 学文化) 圆台的表面积与体 11 解答题 13 积，球的体积与表面 / / / / 中 0.60 积公式的应用 12 解答题 15 棱锥的表面积 中 0.45 圆锥、圆柱的面积公 13 解答题 20 式及体积公式的综 中 0.35 合应用 香考答案及解析 一、选择题 圆锥的表面积为15π十9π=24π.故选B. 1.B【解析】由题意得，圆锥的底面半径为√5一42= 2.C【解析】设圆柱的底面半径为r,若矩形的长恰好 3,则底面圆的周长为2π×3=6π，所以圆锥的侧面积 为卷成圆柱底面的周长，则2=8，所以=二：若矩 是分×6mX5=15m,又底面面积为元×32=9，所以 形的宽恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr=4,所以 ·21· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 =只棕上一或号故选C A2B,CgD2的面积为2h,所以图2中阴影部分的面 积为S,BCD,-SA,B,Cn,=8-2h,与截面A'B'C'D1 3.A【解析】根据题意，可知①、②与“年”相邻，应分别 的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体 为“新”与“快”或“快”与“新”.故选A. 积减去正四棱锥的体积，即V紫篷=V正四故柱一V正四枚 4.C【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长 AB=a,则AB=4a,棱台的高h=3a,所以V=号 =(22)产×2-3×(2)》×2= 3,故选D 3 ×3a(a2+16a2+√a2×16a2)=567,解得a=3,所 以正四棱台的上底面边长为3m,下底面边长为 D 12m,棱台的高为9m,所以方亭的斜高为 4---0 √2a一号)十a)=,由于各侧面均为全 等的等腰梯形，所以S,=a十4a)X35a 2 2 图1 155d,所以方亭的表面积S=d+16a+4× 4 15V5d=17a+155a2≈450m.故选C D 4 D 5.D【解析】将△AAB沿A1B折起到△AA'B的位 置，使得平面AA'B与平面ABC共面，当P为线 段A'C与A1B的交点时，A'P+PC=A'C最小， 即AP+PC最小，则有AC=AA1,又，AB⊥AC, AB=AC=AA1=1,∴.易得△A1AB与△ABA'均为 等腰直角三角形，∴∠A'AB=45°，AB=√十1 图2 =√2，在Rt△ABC中，BC=√I+1=√2，在 二、选择题 Rt△BCC中，BC=√/（√2）+1P=5,则AB+ 7.ABD【解析】有两个面是互相平行且全等的正六边 AC=BC,∴.∠BAC=90°，∴.∠A'A1C=90°+ 形，其他各面都是矩形，满足相邻两个矩形的公共边 45°=135°，利用余弦定理可知最小值为A'C 都互相平行，且公共边必定垂直于底面，故该几何体 是正六棱柱，A正确：等腰梯形两底边中点的连线将 √1十1-2×1X1×c0s135=√2+√2.故选D. 梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形 A C 成半个圆台，故该几何体为圆台，B正确；当上、下底 面圆周上两点的连线与轴平行时才是母线，C错误； B1∠ 一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封 闭曲面围成的几何体是球，D显然正确.故选ABD. 8.ABD【解析】设这个四面体的棱长为a,则此四面体 可看作棱长为2。 a的正方体截得的，所以四面体的外 接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的体 对角线长，设外接球的半径为R,内切球的半径为r, 6.D【解析】设截面与底面的距离为h,在帐篷中的截 则2R= 2a ，》二6a,所以R—6 军a,四面体 面为A'B'CD',设底面中心为O,截面A'B'CD'的中 心为O,则OC=2,OC‘=√4-，所以B'C'=2 ·√4-h,所以截面A'B'C'D'的面积为2(4-h). 的高为√-（号×号a)-,设四西休的 设截面截正四棱柱得到的四边形为AB,CD,截正 底面面积为S,由等体积法可得号Sh=4X号S,所 四棱锥得到的四边形为A,B2C,D2,底面中心O与截 面A2B2C2D2的中心O2之间的距离为OO2=h,在正 以==，由酒意得R-=5,所以。 - 四棱柱中，底面正方形的边长为2√2，高为2，AO=2, 所以∠AOA2=∠COC2=45°，所以∠A,OC2=90°， a=6,解得a=6,所以A正确：所以R=5×6 4 △A,OC?为等腰直角三角形，所以AC2=2h,所以四 边形A2B2CD2的边长为√2h,所以四边形 2 ，所以C错误：因为内切球半径为，-侣×6 3√ ·22· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· T5,所以内切球的表面积为4π2=4红·) 6 2 =6元 半球体积V:=号×号×1=号(cm), 3 (11分) 所以B正确；线段MN的最大值为R十r= 36+ 所以该儿何体的体积为V,-V,=21r一2年=6(cm). 33 2 2 (13分) =2√6，所以D正确.故选ABD, 三、填空题 12.解：(1)在Rt△SOM中，OM=√SM-SO 9.24【解析】由已知得△ABC的原图如下，其中AC =√121-64=√57， (2分) =8,BC=6,∠ACB=90,所以Sac=合X6×8 在Rt△SBM中，SM=11,BM=OM=√57，(5分) ,侧棱长SB=√SMf+BM=√I21+57= =24. /178 (8分) (2②由d)得S,=4×号×BC×5M=4×宁× 2√/57×11=44√57， Se=BC=(2√57)2=228， (12分) .Sw=44√57+228. (15分) 13.解：(1)将圆锥沿母线AB剪开，侧面展开图是以 4√3为半径的半圆， C 设OB=R,则AB=4V3, 10.1410800十3600√5【解析】由题意知，截去的八 半圆的弧长为号×2x×4,5=4B元， (3分) 个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加 上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果 所以2πR=4√3π，解得R=2√3， (5分) 被截正方体的棱长是60cm,那么石凳的表面积是S 故圆锥的底面面积为πR=12元 (8分) (2)设圆柱的高OO=h,底面半径OD=r, =8x号×30巨×30v2×sim60°+6x30E×302 在Rt△AOB中，AO=/AB-OB=6, =(10800+3600√3)(cm). 易知△AO1D1∽△AOB, 四、解答题 11.解：由题意，几何体的表面积等于圆台下底面面积 所以品品 十圆台的侧面积十半球面面积. 半球面面积S=号X4πX1=2x(cm), 号-疗解得=6- (15分) (2分) 所以圆柱的侧面积S=2πh=2πr(6一√3r) 圆台的侧面积S2=π×(1十4)×√(4-1)+32= =-2√3π(2-2√3r） 15√2π(cm2), (4分) =-2√3π(r-√3)+6W3π，0<r<23,(18分) 圆台下底面面积S=π×4=16π(cm2),(6分) 所以当r=√3时，圆柱的侧面积最大，此时h=3, 所以该几何体的表面积为2π十15√2π十16π= 所以V网柱=πr2h=9元. (20分) (18+15√2)π(cm2). (7分) 圆台体积V=号×(1+1×4+4)×3=21r(cm), (9分) ·23·