(2)平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设a表示“向东走6km”,b表示“向南走3km”,则b一a十b所表示的意义为 A.向东南走6√2km B.向东南走3√6km C.向西南走6√2km D.向西南走3√6km 2.已知A,B,C是平面上的三点，其坐标分别为(1,2)，(4,1)，(0，一1)，则△ABC的形状为 A.直角（非等腰）三角形 B.等腰（非直角）三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 3.已知质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,一3)（即质点P的运动方向 与v相同，且每秒移动的距离为v个单位).设开始时质点P的坐标为A(一10,10)， 则5秒后质点P的坐标为 A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 4.设O是△ABC所在平面内一定点，M是平面内一动点，若(MB-MC)· (OMi-AM)=(MB-MA)·(OM-CM)=0,则点O是△ABC的 A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 5.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提起重 量为G的旅行包时，夹角为.两人用力大小都为F,若P-号Gl,则9的值为 A.30° B.60° C.90° D.1209 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.已知在△ABC中，顶点A(1,7),B(3,3),C(7,3),过点B作BD⊥AC交AC于点D, 则点D的坐标为 A常器 倍制 C.(1,2) D.(2,1) 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀 速靠岸过程中， A.船受到的拉力不断增大 B.船受到的拉力不断变小 C.船受到的浮力不断变小 D.船受到的浮力保持不变 8.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论. 奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是： 已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,Sc,且 SAMA+SBMB+ScMC=0,则 A.若3MA+4MB+5MC=0,则SA:SB:Sc=5:4:3 B.若SA:SB:Sc=1:1:1,则点M为△ABC的重心 C.若点M为△ABC的内心，则|BCMA+ACMB+ Sc M SB ABMC=0 SA D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，点M为△ABC的外 心，则SA:SB:Sc=2:√3：1 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 7 6 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性 竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击 球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F (6,24)作用于冰球，使冰球从点A(一1，一1)移动到点B(1,一1)，则F对 冰球所做的功为 高一同步周测卷二 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页）】 10.在Rt△ABC中，C=90°，点P为平面内一动点，且满足PC=1,PA=2,PB=3,则 AB的最大值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度d=1km,一艘游船从南岸码头A点出发 航行到北岸.游船在静水中的航行速度是y1,水流速度2的大小为2=4k/h. 设”1和2的夹角为0(0°<0<180°)，北岸上的点A在点A的正北方向 (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6min,求y1的大小和cos0的值； (2)当0=60°，y1=10km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ V2 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 已知在△ABC中，AB=2,AC=1,D为BC边上的点. (1)若D为BC的中点，且∠BAC=120°，求线段AD的长； (2)若AD平分∠BAC,求线段AD长的取值范围. 13.(本小题满分20分) 如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分 点，AF与DE交于点M (1)求∠EMF的余弦值； (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到A点，在这个过程中，是否存在这样 的点P,使得EFMP?若存在，求出MP的长度；若不存在，请说明理由. 高一同步周测卷二 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 选择题 位移的加减法 易 0.80 利用点坐标判断三 选择题 易 0.75 角形形状 利用向量求匀速运 3 选择题 易 0.72 动中点的坐标 向量与三角形的垂 4 选择题 5 中 0.55 心间的关系 利用基向量解决力 5 选择题 中 0.45 的分解问题 利用向量的垂直关 6 选择题 5 中 0.35 系确定点的坐标 利用向量解决拉力、 7 选择题 易 0.75 浮力问题 利用向量解决三角 8 选择题 6 形的重心、内心、外 中 0.35 心问题 利用坐标法求力对 9 填空题 5 易 0.71 物体所做的功 利用向量求线段长 10 填空题 5 难 0.28 度的最值 利用向量解决航行 11 解答题 13 中 0.60 问题 利用向量解决三角 12 解答题 15 形中线、角平分线的 中 0.45 长度问题 利用坐标法解决几 13 解答题 20 中 0.35 何问题 ·5· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 使得AD=1AC,即(x-1,y-7)=入(6，-4)，解得 1.C【解析】如图，b-a十b=2b-a=AB,易求得AB x=6入十1 即D(6x十1，-4λ+7)，.BD= =√OA2+OB=6V2(km),∠OBA=45°.故选C. y=-4+7 a (6A-2,-4A+4),:BD⊥AC,AC·BD= (6,-4)·(6入-2，-4λ十4)=52入-28=0，解得入 b-a+b =品点D的坐标为（侣），故选A 7 二、选择题 7.AC【解析】设水的阻力为∫，船受到的拉力为F,F 2.C【解析】由题意得AB=(3,-1),AC=(-1, -3),.AB.AC=3X(-1)+(-1)×(-3)=0,且 与水平方向的夹角为0(0<0<5)，则|F1cos0= AB1=AC=√I0,.△ABC为等腰直角三角形. 1,故P川=因为0不断增大，所以eos日不 故选C 断减小，故|F|不断增大，因为|Fsin0不断增大， 3.C【解析】因为A(-10,10),5秒后质点P的坐标 且|Fsin0加上浮力等于船的重力，所以船受到的浮 为A,(x,y),则AA=(x十10，y-10),由题意有 力不断减小.故选AC. AA=5y,即(x+10,y-10)=(20,-15),所以 8.BCD 【解析】对于A,由SMA+SaM+SMd x+10=20, x=10, 解得 则A1(10,-5).故 y-10=-15, y=-5, -0可得=一多·-条·心.而由3i+ 选C 4M成+5MC-0,可得Mi=-专M成-号M心，因为 4.A【解析】由题意可得C3.OA=AB.O心=0，则 OA⊥CB,OC⊥AB,故点O是△ABC的垂心.故 _SB=-4 SA 3 MA,M心，M心两两互不共线，则必有 选A. 5 3 5.B【解析】设两人用力分别为F,F2,则|F= SA |F2|=F|,且F+F2=|G,两边平方得F+ 则易得S4:Sg:Sc=3:4:5,故A错误；对于B,由Sa: +2E·E=6,汉r-91Gl,所以21+ SB:Sc=1:1:1,可得MA+Mi+M心=0①，如图，不 妨取BC的中点D,连接MD,则有Mi+M心=2M市. 2Fcos0=31F,解得cos0=号，又0∈ 代入①式，化简得MA=一2M市.即A,M,D三点共 [0°，180°)，所以0=60°.故选B. 线，且点M是AD的靠近点D的三等分点，同理可知 6.A【解析】设点D(x,y),则AD=(x-1y-7), 点M也是另两边上的中线的对应三等分点，故点M AC=(6,-4),A,D,C三点共线，∴.存在实数入， 是△ABC的重心，故B正确： ·6 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· Pò2=2O心：+21O?=号1AB2+ 21O?,故1P心12+1PD2=1PA2+1P12, 即1+|P市12=4+9，所以|Pi1=23,则 1CD1=|PD-PC|≤|PD|+|PC1=25+1, D 由矩形的对角线相等可得AB的最大值为23+1， 对于C,不妨设△ABC的内切圆半径为r,则SA 2|BC·5m=号1AC·r,Se=号|AB1·n 代人SM+SaM+SeMC=0,可得号|BC· rM+1AC·rM+1AB·rM=0,整理 得|BCMA+|ACMB+|AB|MC=0,故C正确： 四、解答题 对于D,不妨设△ABC的外接圆半径为R,因为M为 11.解：(1)设游船的实际速度大小为vkm/h, △ABC的外心，则∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC= 由AA'=1km,6min=0.1h, 2∠ABC=120°，则∠AMB=360°-120°-90°=150°， (2分) 则S,=号Rsin90=号R,Sa=号Rsin120= 得一-10km/, 又|w2|=4km/h,如图所示速度合成示意图， S=Rsn150=R故s,5s号 8:=24V31,故D正确.故选BCD 三、填空题 9.12【解析】因为A(-1,-1),B(1,-1),所以AB 由|y|3=12+|y4|3=102+42=116, =(2,0),又F=(6,24),故力F对冰球所做的功为 W=F AB|cos(F,AB)=F.AB=12. 得|y|=2√29km/h, (4分) 2V29 10.23+1【解析】如图所示，取AB的中点为O,连 cos 291 接CO并延长CO到点D,使得OC=OD,连接DA, 所以M的大小为2√29km/h,cos0的值为 DB,DP,OP,则四边形ACBD为矩形，|PA|2十 -229 PB=(0A-OP)*+(0B-OP)=0A+ 29 (6分) 10+21o2-2oi.o币-20i.0°， (2)设到达北岸B点所用时间为th,作出向量加法 1OA=|O,∠POA+∠POB=,:Oi.O+ 示意图如图所示， OB.o2=0,.1Pi12+1p12=21OA12+ 21O12=号1A+21O2,同理1P心？+ ·7 ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 所以Aò=号A+号A心 号Va+2a =22 3 1+cOs∠BAC, (12分) tv 因为在△ABC中，cos∠BAC∈(-1,1)， 则AB=|m12=(”+)2=(102+4+2×10 所以√+cos∠BAC∈(0，W2), ×4×c0s60°)=156t, 即AB=2√39t, (8分) 所以ADe(0,专)， 在Rt△AA'C中，AA'=ACcos30°=t|y|cos30° 即线段AD长的取值范围为(0，号)】， (15分) =1 13.解：(1)如图所示，以点A为坐标原点，AB为x轴， 解得t=b, 5v3 (10分) AD为y轴建立平面直角坐标系， 因此AB=X2√39=213 则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2), 53 5 .DE=(3,-6),AF=(6,2), (3分) 故游船的实际航程为2区km. (13分) :∠EMF是D2与A的夹角， 5 ∴.cos∠EMF- D元.A 12.解：(1)因为D为BC的中点， IDEAFI 所以AD=?(AB+AC, (2分) 18-12 2 √9+36X√36+4 10 又AB.AC=|AB1·|AC·cos∠BAC=2X1X “∠BMF的余弦值为品。 (6分) (-2）=-1 (4分) 所以AD=?√(AB+AC) =号VAB+A衣+2AB·Ad =34+1-2x- 2 故线段AD的长为。 (7分) (2)因为AD为∠BAC的平分线，且AC=1,AB (2)设M(x,y),DM=(c,3y-6), =2, :DM∥D, 所以8肥-2. .3(y-6)+6.x=0, 即2x+y-6=0. 则D是BC的一个三等分点， :AM=(x,y),AF=(6,2),A立∥AF, 故A市=号A店计号A心， (10分) ∴.2.x-6y=0,即x=3y, ·8· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 18 ③当点P在CD上时，设P(x,6)(0≤x<6), 2x+y-6=0 x 7 联立 解得 (x=3y 67 M市=(-，9) M(9,号) 亦.市=8-酷+号=0，解得x=-号，舍 (8分) 去 (16分) 由题得EF=(3,2). ④当点P在DA上时，设P(0,y)(0<y<6), ①当点P在AB上时，设P(x,0)(0≤x≤6)， -(x-19,-9), ∴M市-(-9y-9) 成，=3x一4号=0解得x=号 ∴E萨.M=-号+2y-号=0，解得y-9。 P(号.o).MP=√()+(-)-2厘 o.).MP-√)+（停）-9 7 (19分) (10分) ②当点P在BC上时，设P(6,y)(0<y≤6)， 综上，存在P(号oMP=2严或P(o,) ∴M-(4y-9), IMPI-9/13 7 (20分) 亦.市-号+2y号-0解得y=一9舍 去； ·9