(12)简单几何体的再认识、立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (十二)简单几何体的再认识、立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是 A.1 B.2 C.3 D.1或3 2.用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是 A.2 B.2π C.2或4 D.罗或平 3.一个长方体容器ABCD一A1B1C1D,中盛有水，侧面ABCD为正方形且AA1=16.如 图，当平面ABB,A,水平放置时，水面的高度恰好为AD,那么将平面ABCD水平 放置时，水面的高度等于 A.4 D B.8 C.10 B1 D.12 4.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台） 建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象 成ABCD一A,BC1D1的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为 1:16,方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为5673，则该方亭的表面 积约为(2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2) D A.380m B1 B.400m2 C.450m2 D.480m 5.已知正三棱柱ABC一A1B,C1的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，则异面直线AB1 与A,C所成角的余弦值为 品 我品 c D 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD一A,BC1D1中，点P为截面A,C1B上的动 点，若DP⊥A,C,则点P的轨迹长度是 号 D A B B.√2 c D.1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆 形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园 林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥. 已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为0，这个角接近30°，若取0=30°，侧 棱长为√21米，则 A.正四棱锥的高为√3米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为24√3平方米 D.正四棱锥的表面积为12√3十36平方米 8.如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为线段A,C1的中点，Q为线段BC1上的动 点，则 D A.存在点Q,使得PQ∥BD B.存在点Q,使得PQ⊥平面AB,C1D C.三棱锥Q一APD的体积不是定值 D.存在点Q,使得PQ⊥AC 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 高一同步周测卷十三 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知圆锥的轴截面是底面边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 ,体积 为 .（本题第一空2分，第二空3分) 10.在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比 古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球 体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为，大球半径为R,大球 内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若R =√3，则r的最大值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示的圆锥，顶点为O,底面半径O1A=4c,用一与底面平行的平面截得一圆 台，圆台的上底面半径为2cm,这个平面与母线OA交于点B,线段AB的长为 8 cm. (1)求圆台的体积和圆台的侧面积； (2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕一圈到点A,求这 根绳最短时的长度」 B 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一A,B,C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的 中点 (1)证明：平面EB1D1∥平面FBD: D (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. By E 13.(本小题满分20分) 如图，将边长为√2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点D'的位置，连 接BD',O为AC的中点. (1)若平面D'AC⊥平面ABC,求点O到平面D'BC的距离； (2)不考虑点D'与点B重合的位置，若二面角A-BD'-C的余弦值为-号，求BD 的长度， D 高一同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十二） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 选择题 确定平面个数问题 易 0.80 2 选择题 5 圆柱的侧面展开图 易 0.72 棱柱体积的实际 3 选择题 中 0.65 应用 4 选择题 5 棱台的表面积 中 0.55 求异面直线所成 5 选择题 5 的角 L 中 0.45 立体儿何中的轨迹 6 选择题 5 中 0.30 问题 V 棱锥的面积问题（数 7 选择题 6 易 0.75 学文化) 立体几何中的动态 8 选择题 6 难 0.28 问题 9 圆锥的侧面积与 填空题 / 体积 易 0.75 棱锥的外接球问题 10 填空题 5 中 0.45 (数学文化) 圆台的侧面积与体 11 解答题 13 中 0.55 积、最值问题 面面平行的判定，求 12 解答题 15 中 0.45 面面距 求点面距，由二面角 13 解答题 20 中 0.32 的大小求参 ·49· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 AB:与A,C所成角的余弦值即|cos∠FED|,由正 1.D【解析】过空间任意一点引三条直线，当三条直线 三棱柱的特征可知FG⊥底面ABC,而DGC底面 在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是1；当 三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个 ABC,所以FG⊥DG,易知EF-气=ED,DG=名 2 数是3.故选D. FG=2→FD= √17 2 由余弦定理知|cos∠FED= 2.C【解析】设圆柱的底面半径为r,若矩形的长恰好 为卷成圆柱底面的周长，则2元r=8,所以r=4;若矩 2EF-FD 2EF2 形的宽恰好为卷成圆柱底面的周长，则2π=4，所以 6.B【解析】在棱长为1的正方体ABCD-ABCD =是综上=或子故选C 中，连接DC1,BD,AC, D C 3.A【解析】设正方形ABCD的边长为a,则水的体积 为16aX冬=4a,将平面ABCD水平放置时，设水面 B1 的高度为h,则有ah=4a,解得h=4.故选A. 4.C【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长 AB=a,则AB=4a,棱台的高h=3a,所以V= 3 C:: C ×3a(a2+16a2+√a2×16a2)=567,解得a=3,所 以正四棱台的上底面边长为3m,下底面边长为 12m,棱台的高为9m,所以方亭的斜高为 由AA1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得BD⊥ AA,而BD⊥AC,AA∩AC=A,AA1,ACC平面 √(2a一号)广+(3a)=3,由于各侧面约为全 AAC,则BD⊥平面AAC,又ACC平面AA1C,于 等的等腰梯形，所以S照，4=a士4)×3e 是BD⊥AC,同理BC⊥AC,而BC∩BD=B, 2 2 BC,BDC平面BCD,因此AC⊥平面BCD,因为 155a,所以方亭的表面积S=d+16a+4× DP⊥AC,则DPC平面BCD,而点P为截面 4 A1C1B上的动点，平面ACB∩平面BCD=BC,所 155a=17a2+155a2≈450m2.故选C. 4 以点P的轨迹是线段BC1,长度为√2，故选B. 5.A【解析】 二、选择题 7.AC【解析】 D G-2 D B 如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为正方形ABCD 如图所示，取棱AC,AA,AB,AB的中点分别为 的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB,OH⊥AB,由 D,E,F,G,易知EF∥AB,EF=AB,ED∥CA, 二面角的定义，故∠SHO=30°.设底面边长为2a,所 ED=CA,DG∥CB,DG=CB,所以异面直线 以0H=AH=a,OS= 3a,SH=2 3a,在Rt△SAH ·50· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 巾。+(2。)=21，所以a=,底面边长为6米。 D 高50=0H=厅米，侧面积S=号×6×2×4= 3 24W3平方米，表面积S=24√3+6=24√5十36平方 米.故选AC. 8.BCD【解析】对于A,在正方体ABCD-ABCD, D C 中，BB:∥DD1,BB=DD1,则四边形BBDD为平 行四边形，所以BD∥BD1,而P为线段AC的中 点，四边形ABCD1为正方形，所以P为B1D1的 所以Q在线段BC1上运动时，Q到平面APD的距离 不是定值，又△APD的面积为定值，故三棱锥 中点，所以BD∩PQ=P, C Q-APD的体积不是定值，C正确；对于D,因为AC ⊥BD,AC⊥BB,BD,BB1C平面BDDB1,BD∩ B BB=B,所以AC⊥平面BDDB1,又BPC平面 A BDDB,所以AC⊥BP,所以若点Q与点B重合，则 PQ⊥AC,D正确.故选BCD. D C D八------- P 若存在点Q,使得BD∥PQ,且BD、PQ不重合，又 BD∥BD,所以PQ∥BD,这与BD∩PQ=P矛 盾，假设不成立，A错误；对于B,若Q为BC1的中点， 则PQ∥AB,而AB⊥AB,故PQ⊥AB,又AD⊥ 平面ABBA,ABC平面ABB,A1,则AB⊥AD,故 B(O) PQ⊥AD,因为AB∩AD=A,AB、ADC平面 三、填空题 AB,CD,则PQ⊥平面ABCD,所以存在Q使得 9.2元 3π 【解析】由已知可得，圆锥的母线长l=2, 3 PQ⊥平面ABCD,B正确： 圆锥的高为h=2sin60°=√3，底面圆半径r=1,所以 圆锥的侧面积为S=πrl=π×1×2=2π，体积为V= 子×xh=寸xX1X有- 31 10.1【解析】由题意，小球与正四面体的各条棱相切， 大球为正四面体的外接球，即可保证，最大，如图所 示，设正四面体的棱长为a,E为△BCD的中心，O 为圆心，可得AE⊥平面BCD,因为CEC平面 BCD,则AE⊥CE,且CE=名X5a=5。 对于C,在正方体ABCD-A1BCD中，AB∥ 3 2 a,所以 CD,AB=CD1,所以四边形ABCD为平行四边 AE=AC-CE-5a,在R△0CE巾，OC= 形，则BC1∥AD,而AD∩平面APD=A,故BC 与平面APD不平行， 0E+CE,可得(6)=(5a-5)+(a)八， 解得a=2√2，过O点作OF⊥AC,垂足为F,在 Rt△OCF中，可得OF=√OC-CF= √R-(9)=V)-2-1,即小球的最 ·51· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 大半径为r=1. 9 A G D -- 所以EB:∥DF, (3分) B 四、解答题 由DF平面EBD, 11.解：(1)由已知圆台下底面半径R=4cm,上底面半 则DF∥平面EBD, (5分) 径r=2cm,可得OB=AB=8cm, 又正方体中BD∥BD, ∴.圆台的高h=√/82-(4-2)2=2√/15cm, 则同理BD∥平面EBD, (6分) (2分) 又DF∩BD=D,DF,BDC平面FBD, 故平面EB,D∥平面FBD. (8分) “圆台的体积V=号元(R+护+R)h=子xX 1 (2)由(1)知，平面EB:D1与平面FBD之间的距离 (16+4+8)×2√5=6Y压 等于B,到平面FBD的距离h, cm3, (4分) 3 连接B1F,BD, 圆台的侧面积S=π(R十r)·AB=π×(4十2)X8 则VB-FBD=VF-DB1, =48元cm2. (6分) (2)作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度 而FD=FB=,BD=-Ea, 为侧面展开图中MA'的长度. 由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为2×π 故△FBD中BD边上的高为 2a, X4=8π， 所以SAFBD= XaX2a= a2, (11分) 商S=合×aXEa=号公，F到平面BD,B 的距离为 2a, 2a,可得h=6 , 0 B 故平面EB,D,与平面FBD之间的距离为5。 3a. ÷侧面展并图的圆心角为0一语=受， (10分) (15分) 13.解：(1)连接OD,OB,则OD'⊥AC 则在△M0A中，∠AOM=受， D' 则MA'=√OA2+OM证=√/16+12=20cm, 即这根绳最短时的长度为20cm. (13分) 12.解：(1)取G为BB的中点，连接FG,AG, 又F是CC的中点， A 所以FG∥BC∥AD,FG=BC=AD, :平面DAC⊥平面ABC,平面D'AC∩平面ABC 故四边形AGFD为平行四边形， =AC,ODC平面DAC, 所以AG∥DF, .OD'⊥平面ABC, 又E是AA1的中点，易知AG∥EB:, 又OBC平面ABC, ·52· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· ∴.OD'⊥OB. (4分) :AB=AD=BC=DC=√2， 又正方形ABCD的边长为√2， .AE⊥BD,EC⊥BD, ∴.OD=OB=OC=1,BD=BC=D'C=√2，(6分) ∴.∠AEC为二面角A一BD'-C的平面角， 设点O到平面D'BC的距离为h, os∠AEc=-子 (15分) 则Vp-o=Vo-DBc, 由题可知△ABD≌△CBD, 在△AEC中，AC=2,AE=CE,cos∠AEC= 。h, AEH5caC-号 2AE·CE h= 3, ·AE=CE= 5 即点0到平面D'BC的距离为停. (10分) DE=AD:-AE=2-号=专 (2)取DB的中点E,连接AE,EC, D' BD=2DE-华5， 即BD的长度为 (20分) ·53·