(11)空间点线面的位置关系、平行关系、垂直关系-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（北师大版）

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十一） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ⅢW ③④⑤⑥ 档次 系数 选择题 等角定理 / 易 0.80 选择题 判定三点共线 易 0.75 3 选择题 5 平行传递性的应用 易 0.72 4 选择题 5 面面平行的性质 中 0.65 5 选择题 5 求线面距 中 0.55 6 选择题 几何体的截面问题 难 0.28 空间位置关系的 选择题 6 易 0.72 判定 几何体中的位置关 8 选择题 6 中 0.45 系（数学文化） 与平行、垂直有关的 9 填空题 5 易 0.75 开放题 与线面角有关的数 10 填空题 5 中 0.35 学文化题 点共面、线共点的 11 解答题 13 易 0.72 证明 线面平行的证明，求 12 解答题 15 中 0.55 二面角 面面平行的性质，线 13 解答题 20 分 0.40 面垂直的证明 考答案及解析 一、选择题 A,B,C,D,E不共面，则BCCa,CDCa,BCCB,CDC 1.D【解析】由等角定理得，α，β相等或互补，所以3= B,则a,B必相交于直线l,且B∈l,C∈l,D∈l,故B, 30°或150°.故选D. C,D三点一定共线且位于平面ABCD与平面BCDE 2.B【解析】设平面ABCD为a,平面BCDE为B,且 的交线上.故选B ·45· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 3.C【解析】 ABBA,无交线，只需保证与正方形A,BCD无交 线即可， D C H R G 因为点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB, M BC,CD,AD的中点，所以FG∥BD,EH∥BD,HG∥ AC,EF∥AC,所以EH∥FG,HG∥EF,所以四边形 因为平面BCCB:∥平面ADDA:,平面AMNR与 EFGH是平行四边形，又AC与BD所成角的大小为 两个平面分别交于MN,AR,由面面平行的性质可得 90°，所以HG与FG所成角的大小为90°，即FG⊥ MN∥AR,因为点N在线段CC上，且CN=子，由 HG,所以四边形EFGH是矩形，又AC=BD,FG 是BD,HG=令AC.所以FG=HG,所以四边形EF 几何关系知，随着BM的增大，DR增大，故当R与D 重合时，BM最大，因为正方体ABCD一A1BCD的 GH是正方形.故选C. 体积为1，所以正方体棱长为1，如图所示，由于MN 4.D【解析】由已知可得，平面a∥平面ABC,平面 ∥AD,放△ADD,∽△MCN,故CM=CN=子，故 PAB∩a=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,根据面 面平行的性质定理可得，AB∥A'B,且AB_PA BM最长为号，故BME(0,号]放选D, AB PA D C 忌同理可得，BC/BrC,AC/AC,根据等角定理 可得，∠BA'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC, ∠A'C'B'=∠ACB,所以△ABC∽△A'B'C,所以 S△BC:S△ABc=(A'B')2:(AB)2=4:25.故选D. 5.C【解析】如图，连接A1C,BD1,它们交于点O,连 接AC,正方形中AC1⊥BD,又AA⊥平面 ABCD,BD1C平面ABCD,所以AA⊥ D B,D,AA1∩AC=A1,AA1,ACC平面AACC, 所以BD⊥平面AACC,所以BO的长即为棱 BB,到平面AAC,C的距离，而B,O=号a,所以所 二、选择题 7.BD【解析】对于A,因为a∥B,m⊥B,则m⊥a,所以 求距离为2 a,故选C. A错误：对于B,因为m⊥a,n⊥a,由线面垂直的性质 知，m∥n,所以B正确；对于C,因为m∥a,n∥a,则m D 与n可能是异面直线，也可能是相交直线，所以C错 误；对于D,因为n⊥a,n⊥B,垂直于同一直线的两个 O 平面互相平行，所以D正确.故选BD. A 8.ABD【解析】对于A,因为CC⊥平面ABC,AC,BC C平面ABC,所以CC⊥BC,CC⊥AC,所以四边形 AACC为矩形，又因为AC⊥BC,CC∩AC=C, CC,ACC平面A1ACC,所以BC⊥平面A1ACC,所 D 以四棱锥B-AACC1为“阳马”，故A正确；对于B, 连接BC1,由选项A的解析可知，BC⊥平面 A1ACC,又ACC平面A1ACC1,所以BC⊥A1C,即 △A:BC是直角三角形，由选项A的解析可知，AC⊥ 6.D【解析】要想平面AMN截正方体ABCD-AB,CD BC,CC⊥AC,又CC∩BC=C,CC,BCC平面 所得的截面为四边形，则要平面AMN与正方形 BBCC,所以AC⊥平面BBCC,因为AC∥AC, BCC1B,ADDA,分别交于MN,AR,显然与正方形 所以A1C1⊥平面BBCC,又BCC平面BBCC, ·46· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 所以A1C⊥BC1,即△ABC是直角三角形，又 PC-PA=2.AC=PA =√3，.AB= △ACC、△BCC都是直角三角形，所以四面体 π ACCB为“鳖臑”，故B正确；对于C,由选项A的解 sin6 析可知，BC⊥平面AACC,因为M为线段A,C上 √/AC-BC=√/AC-AD=l,∴.tan∠PBA= 的动点，所以AMC平面AACC,所以BC⊥AM,即 AM与BC所成角的大小恒为90°，故C错误；对于 器=1∠PBA=÷.PAL平面ABCD,BCC D,由A的解析可知，BC⊥平面AA,CC,又AFC平 平面ABCD,.PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB= 面AAC1C,所以BC⊥AF,因为AC∩BC=C,AC, A,PA,ABC平面PAB,∴.BC⊥平面PAB,PBC BCC平面A:BC,所以AF⊥平面A1BC,又A,BC平 面A1BC,所以AF⊥A1B,因为AE∩AF=A,AE,AF 平面PAB,.PB⊥BC,即∠PBC=受，又∠ABC= C平面AEF,所以AB⊥平面AEF,因为EFC平面 AEF,所以EF⊥AB,故D正确.故选ABD. 受点B的商率为2一受-受=职 三、填空题 四、解答题 9.①②→③（或②③→①）【解析】已知a,b是平面a 11.解：(1)连接AC,AC,如图所示， 外的两条不同直线，将所给论断选出两个作为条件， D 余下的一个论断作为结论，得到如下三个命题：①② →③，即如果b∥a,a⊥a,则a⊥b.此命题正确，证明 B 如下：过b作一个平面B,使得B∩a=c,如图， D b 因为ABCD-ABCD为正四棱台， :b∥a,bCB,βna=c,.b∥c,又a⊥a,cCa,可得a⊥ 所以AC∥AC, c,则a⊥b. 又E,F,G,H分别为棱A1B1,BC,AB,BC的 ②③→①，即如果a⊥a,a⊥b,则b∥a.此命题正确 中点， 证明如下：过b作一个平面y,使得y∩a=m,如图， 所以EF∥AC,GH∥AC, (3分) 则EF∥GH, (5分) 所以E,F,G,H四点共面. (6分) (2)因为AC≠AC, 所以EF≠GH, 所以EFHG为梯形，则GE与HF必相交， (7分) 设GE∩HF=P, 因为GEC平面AA1BB, .a⊥a,mCa,∴.a⊥m,又a⊥b,b,mCy,∴.b∥m,.'b 所以P∈平面AABB, (9分) ta,mCa,.b∥a. 因为HFC平面BB,CC, ①③→②，即如果b∥a,a⊥b,则a⊥a.此命题不正 所以P∈平面BBCC, 确，a与a相交、平行、垂直均有可能. 又平面AA1B1B∩平面BB1CC=BB, 10.8要 所以P∈BB, 【解析】设PA=1,则AD=√2PA=√2，PA 则GE,HF,BB交于一点. (13分) ⊥平面ABCD,·∠PCA即为PC与底面ABCD所 12.解：(1)设A1C∩AC1=O, 成角，即∠PCA= 则O是AC的中点， 6* 连接OD, 又D是BC的中点， ∴.OD∥BA, (3分) 又：BA丈平面CAD,ODC平面C1AD, .BA∥平面CAD. (6分) ·47· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 C 又在△ABC中，O为AB1的中点， 所以M是AC的中点. (8分) B B A W D (2)连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC, .AA1⊥平面ABC,BC,ADC平面ABC, .AA1⊥BC,AA⊥AD, (8分) (2)因为AA1⊥平面ABC,BMC平面ABC, AA:∩AD=A,AA1,ADC平面AAD, 所以AA1⊥BM, .BC⊥平面AAD, 又M为棱AC的中点，AB=BC, 而ADC平面AAD, 所以BM⊥AC. (10分) 故BC⊥AD, 因为AA1∩AC=A,AA1,ACC平面ACCA1, ∴.∠ADA是二面角A,一BC-A的平面角， 所以BM⊥平面ACC1A, (11分) 因为ACC平面ACCA1, 所以BM⊥AC, (13分) 在R△AAD中，AA=4,AD=合BC 因为AC=2, 含v2+g-E, 所以AM=1, 又AA1=√E, m∠AnA给方2 则在Rt△ACCi和Rt△AAM中，tan∠ACiC= tan∠A:MA=√2， ∴.二面角A-BC-A的正切值为2√2.(15分) 所以∠ACC=∠AMA, (16分) 13.解：(1)连接AB与AB交于点O,连接OM, 即∠ACC+∠CAC=∠AMA+∠CiAC=90°， 则O为AB1的中点， 所以A,M⊥AC, 因为平面ABM∥平面BCN,平面ABC∩平面 又BM∩AM=M,BM,AMC平面ABM, ABM=OM,平面BNC∩平面ABC=BC, 所以AC⊥平面ABM. (20分) 所以OM∥BC, (5分) ·48·高一同步周测卷/数学必修第二册 (十一)空间点线面的位置关系、平行关系、垂直关系 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知空间中两个角，3的两边对应平行，且α=30°，则B= A.309 B.60° C.120 D.30°或150 2.已知空间中A,B,C,D,E五点不共面，且A,B,C,D在同一平面内，B,C,D,E在同 一平面内，那么B,C,D三点 A.一定构成三角形 B.一定共线 C.不一定共线 D.与A,E共面 3.已知点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点，若AC= BD,且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是 A.梯形 B.空间四边形 C.正方形 D.有一内角为60°的菱形 4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,且a交线段PA,PB,PC于点 A',B',C,若PA':AA'=2:3,则S△A'B'C:S△ABC= A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 5.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为a,则棱BB1到平面AA1C1C的距离为 3 B.a D.√2a 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.已知正方体ABCD一A,B,CD1的体积为1，点M在线段BC上且异于点B,C,点N 在线段CC上，且CN=专，若平面AMN截正方体ABCD-ABCD,所得的截面 为四边形，则线段BM长的取值范围为 A[号 D A B B[合号] D c.(o. .(o. 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.设α，3是两个平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A.若a∥B,m⊥B,则n∥a B.若m⊥a,n⊥&，则m∥n C.若m∥a,n∥a,则m∥n D.若n⊥a,n⊥B,则a∥B 8.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，底面为 矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称 为“鳖臑”.如图在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC,且AA1=AB=2,则 A.四棱锥B一A1ACC1为“阳马” B.四面体A1CCB为“鳖臑” C C.若M为线段A,C上的动点，则AM与BC所成角的大小恒为60° D.过A点分别作AE⊥AB于点E,AF⊥AC于点F,则EF ⊥A1B 班级 姓名 分数 题号 1 3 x 5 6 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知a,b是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①b∥a;②a⊥a;③a⊥b. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命 题： 高一同步周测卷十一 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 10.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体 的面角，角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为交，所 以正四面体在各顶点的曲率为2x一牙×3=元.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,AD=√2PA,PC与底面ABCD所成的角为石，则在四棱锥 P一ABCD中，点B的曲率为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在正四棱台ABCD一A1BC1D1中，E,F,G,H分别为棱A1B1,BC1,AB,BC 的中点 (1)证明：E,F,G,H四点共面； D (2)证明：GE,HF,BB1相交于一点. E B D A 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱A1B1C1一ABC中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC 的中点 (1)求证：BA1∥平面C1AD: (2)求二面角A,一BC-A的正切值. B 13.(本小题满分20分) 如图，在直三棱柱ABC一A1BC,中，点M在棱AC上，点N为A1C的中点，且平 面ABM∥平面B1CN,AB=BC,AC=2,AA=√2. (1)求证：M是AC的中点； B1 (2)求证：AC⊥平面A,BM. B 高一同步周测卷十一 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)