(10)基本立体图形、直观图-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (十)基本立体图形、直观图 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A. B. C. D. 2.如图，一个水平放置的△ABO的斜二测直观图是等腰Rt△A'B'O',若BA'=B'O 2,那么原△ABO的周长是 A.4√2+2 A B.2+2√2+2√3 C.4√2+4 D.4√2+8 3.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且 有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则①、 ②、③处的字可能为 ① A.快、新、乐 年 B.乐、新、快 ② C.新、乐、快 ③ D.乐、快、新 4.已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球半径为 A.1 B.2 C.2 D.2√2 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.已知在直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA,=1,P为线段A1B上 的动点，则AP十PC1的最小值为 入号 B.v10 2 C.√5 D.W2+√2 6.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年 的谜局，究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大 谜团”.在这些图案中，有一只身长50米的大蜘蛛（如图），现用视角为30°的摄像头（注： 当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头 的视角)在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域 内，则该摄像头距地面的高度的最小值是 A.50米 摄像头 B.25(2√2+√6)米 视角 拍摄区域 C.50(2+3)米 摄像头的视角示意图 D.50(2√2+√6)米 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列判断正确的是 A.由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的 几何体是正六棱柱 B.一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围 成的几何体是圆台 C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D.一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体是球 8.下列物体，能够被整体放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：）的长方体容器（容器壁厚 度忽略不计)内的有 A.半径为0.6m的球体 B.一组相对棱为1.4m,其余棱都为2m的四面体 C.底面半径为0.5m,高为1m的圆锥体 D.底面半径为0.005m,高为2.5m的圆柱体 高一同步周测卷十 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面截圆柱所得的截面为 轴截面，则该圆柱的轴截面面积为 10.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋 巢，将半径为√2的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋 巢底面的距离为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) (1)画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图； (2)求出原图和直观图的面积， 75 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 已知一个圆台的母线长为13cm,两底面面积分别为16πcm和81πcm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 13.(本小题满分20分) 由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体，围成多面体的各个多边形叫作多面 体的面，两个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点.对于 凸多面体，有著名的欧拉公式：n一十f=2,其中n为顶点数，e为棱数，f为面数.我 们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如，每个 面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条 边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰 好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，=12，f=6,可以得到顶点数n =8. (1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条 棱相邻，试确定足球的棱数； (2)证明：n个顶点的凸多面体，至多有3n一6条棱； (3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相 同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 高一同步周测卷十 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 几何体的平面图形 易 0.80 选择题 原图形的周长 易 0.75 3 选择题 5 立体图形的还原 易 0.72 4 选择题 5 圆锥的内切球半径 中 0.55 几何体表面距离的 5 选择题 5 中 0.45 最值 6 选择题 圆锥的结构特征 中 0.35 选择题 6 几何体的结构特征 易 0.75 多面体以及旋转体 8 选择题 6 中 0.35 的放置问题 9 填空题 5 圆柱的轴截面面积 易 0.71 10 填空题 5 空间距离 中 0.55 11 解答题 13 直观图的作法 中 0.60 圆台有关性质的 12 解答题 15 0.45 考查 点与棱、点与面、棱 13 解答题 20 中 0.35 与面的数量关系 ·41· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 AC=BC,.∠BA1C1=90°，∴.∠A'AC=90°+ 1.A【解析】A中图形旋转能得到一个圆台与一个圆 45°=135°，利用余弦定理可知最小值为A'C= 锥的组合体，符合题意.故选A √/1+1-2X1X1Xcos135=√2十√2.故选D. 2.D【解析】因为BA'=BO=2,由直观图可知， C OA'=2√2，所以还原平面图形中，OA=4√2，OB= OB'=2,在Rt△AOB中，AB=VAO+OB=6,则 △ABO的周长为4√2十2十6=4√2+8.故选D. 6,B【解析】依题意，要使整个蜘蛛图案落在边长为 50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小 0 为2r=50√2，若所成圆锥的母线长为a,此时由余弦 3.A【解析】根据题意，可知①、②与“年”相邻，应分别 定理得，2a2-2a2·cos30°=5000，即a2=5000(2+ 为“新”与“快”或“快”与“新”.故选A. √3)，所以该摄像头距地面的高度最小值=√a一 4.B【解析】如图， =√5000(2+√3)-(25√2)2=25/14+83 =25√8十8√5+6=25(2√/2+√6)米.故选B. 二、选择题 7.ABD【解析】有两个面是互相平行且全等的正六边 形，其他各面都是矩形，满足相邻两个矩形的公共边 圆锥与内切球的轴截面，点O为球心，内切球的半径 都互相平行，且公共边必定垂直于底面，故该几何体 为r,D,E为切点，设OD=OE=r,即BE=BD=2, 是正六棱柱，A正确；等腰梯形两底边中点的连线将 梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形 由条件可知，AB=√/(4√2)2+22=6，在△ADO中， 成半个圆台，故该几何体为圆台，B正确；当上、下底 AO=AD2+DO,即(4√2-r)2=(6-2)2+2,解得 面圆周上两点的连线与轴平行时才是母线，C错误； r=√2.故选B. 一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封 5.D【解析】将△AAB沿A1B折起到△AA'B的位 闭曲面围成的几何体是球，D显然正确.故选ABD. 置，使得平面AAB与平面A!BC共面，当P为线 8.BC【解析】对于A,半径为0.6m的球体的直径为 段AC与AB的交点时，A'P十PC=A'C最小， 1.2m>1m,故不能整体放入长、宽、高分别为2,1,1 即AP+PC最小，则有AC=A'A1,又：AB⊥AC, (单位：m)的长方体容器内，A错误；对于B,由于在棱 AB=AC=AA=1,·易得△A1AB与△ABA'均为 长分别2m,1m,1m的长方体ABCD-AB:CD 等腰直角三角形，∴∠A'A:B=45°，A1B=√12十1严 中，如图，设底面为边长为1m的正方形，高为2m, =√2，在Rt△ABC中，BC=√I+1F=√2，在 则AC=BD=√2m>1.4m,AD=CD=AB:= Rt△BCC中，BC=√/(2)+1=3，则AB+ CB=√5m>2m, ·42· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· D C 72 4: D' 8: 23 4 (6分) D 1 (2)原图的面积SBcD=S△ABD十S△D= ×6X2 +号×6X1=g. (9分) 故一组相对棱为1.4m,其余棱都为2m的四面体， 可被整体放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长 直观图的面积Scm=Saw十Saer=号X6 方体容器内，B正确：对于C,由于长方体底面的长、 宽分别为2m,1m,故底面半径为0.5m的圆可放在 X1Xm45+2×6x号×s如45=2 2 4 (13分) 该底面内，又圆锥的高为1m,与长方体的高相等，故 12.解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所 该圆锥体可放入长方体容器内，C正确；对于D,由于 示，过点A作AM⊥BO,垂足为M, 由已知可得上底面半径O,A=4cm,下底面半径OB 长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体的体对角 =9cm, 线长为√/22+1+1产=√6m,而2.5m>√6m,故底 又腰长AB=13cm, 面半径为0.005m,高为2.5m的圆柱体不可被整体 所以圆台的高AM=√/13-(9-4)z=12cm. 放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体容器 (7分) 内，D错误.故选BC 三、填空题 9.20【解析】由题可知轴截面为矩形，两边长分别为5 和4，故轴截面的面积为5×4=20. 10.32+6 2 【解析】由已知蛋巢的底面是边长为2 的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面 截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为√2，且蛋巢的高 B MO 度为号，又球的半径为V2,所以球心到裁面的距离 (2)如图所示，延长BA,OO,CD交于点S, 设截得此圆台的圆锥母线长为(， 为d=/2-2 =,枚鸡蛋最高点与蛋巢底面的 由△SA0∽△SB0,可得仁13=4 91 距腐为万+5+9-3+6 解得1= -cm, 2 2 四、解答题 所以裁得此圆台的圆锥的母线长为m,15分) 11.解：(1)由斜二测画法：纵向减半，横向不变： 13.解：(1)设足球有m个正五边形，则有32-m个正 即可知A,C的对应点为A'(3,1),C(0,-号)， 六边形， 而B,D对应点位置不变，即B(4,0),D'(一2,0)， 足球的顶点n=5m十6(32-m) 的 (3分) 则四边形ABCD的直观图如下图示： 棱数e=5m十6(32-m) ·43· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 由欧拉公式得5m+6(32-m2-5m十6(32-m）+ 边形， 3 2 32=-2, 则此多面体被数e-号=受：≥3，即了一兴 解得m=12, 即此足球中有12个面为正五边形， 由欧拉公式n一e十f=2,得n=2g+2p-gp 4g 所以此足球的棱数e=5m+6(32一m=90.《6分) 所以2q十2p-qp>0, 2 即1+1> (2)由n个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么 9p2 相当于每一个面尽可能均为三角形， 当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此 所以p<6, (16分) 时e=兰，即f=号e 2 2 当p=3时，q<6,所以g=3,4,5,n=4,8,20,e=6, 又n-e+f=2, 12,30: (17分) 即Re十号=， 当p=4时，g<4,所以q=3,n=6,e=12:(18分) 当b=5时g<号，所以9=3n=12e=30,19分) 解得e=3n-6, 故n个顶点的凸多面体，至多有3n一6条棱. 综上，棱数可能为6,12,30. (20分) (12分) (3)设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q ·44·