第五章 三角函数 章末综合测试（能力提升）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章《三角函数》章末综合测试（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知函数在处取得最小值，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 7. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 与的终边相同 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角为第二象限角，则角为第一象限角 D. 命题“角为第一象限角”是“>0” 的充分不必要条件 10. 已知，，函数，，若，，且函数的最大值为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 曲线关于点对称 11. 关于函数，有以下四个结论，其中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上减函数 C. 方程的所有根之和为0 D. 若函数在上有且仅有5个零点，则 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则________． 13. 已知为锐角，且，则________． 14. 已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中. （1）求的值； （2）若是第三象限角，且,求 的值； （3）若 ，求 的值. 16. 设函数． （1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的最小正周期T及的解析式； （2）求函数的对称轴方程及单调递增区间； （3）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 18. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 19. 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． （1）若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围； （3）若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第五章《三角函数》章末综合测试（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C 0 B A A ABD BCD BD 一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知C为第四象限角，P(V2,m)为其终边上的一点，且cosa= 2 ,则实数m=( A.-4 B.4 C.-V14 D.14 【解析】C由题意可知：r=V2+m2，且m<0, 可得cosu= 222 V2+m24 ,解得m=-√14 cos 2.已知tana=-2,则 =() 3π sin(π-a）-sin 2 -a 4、2 2 B. C.-2 D.2 3 3 【解析】C cos -sin a 2 -s1n0 cos a -tamu--（-2）-2 3π sin(元-a)-sin sina+cos a tana+1-2+1 2 -a sina cos a cos a cos a 3.拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱、等边哥特拱、弓形拱、马蹄拱、 二心内心拱、四心拱、土耳其拱、波斯拱等如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径 作圆弧，交于点C,等边哥特拱是由线段AB,AC，BC所围成的图形若AB=2,则该拱 券的面积是（) 第1页共18页 C B $$A . \frac { 2 \pi } { 3 } - \sqrt 3$$ $$B . \frac { 2 \pi } { 3 } - 2 \sqrt 3$$ $$C . \frac { 4 \pi } { 3 } + \sqrt 3$$ $$D . \frac { 4 \pi } { 3 } - \sqrt 3$$ 【解析】D设 $$\wideparen { A C }$$ 的长为 $$l _ { 3 } \therefore \frac { l } { 2 } = \frac { \pi } { 3 } ， \therefore l = \frac { 2 } { 3 } \pi$$ 所以扇形ACB的面积为 $$\frac { 1 } { 2 } \times \frac { 2 } { 3 } \pi \times 2 = \frac { 2 } { 3 } \pi$$ △ABC 的面积为 $$\frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \sqrt 3 = \sqrt 3$$ 以该拱券的面积为 $$\frac { 2 } { 3 } \pi + \frac { 2 } { 3 } \pi - \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \sqrt 3 = \frac { 4 } { 3 } \pi - \sqrt 3 .$$ 已知直线 $$x = x _ { 1 } ， x = x _ { 2 }$$ 是函数 $$f \left( x \right) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ， \left( \omega > 0 \right)$$ )图象的任意两条对称轴，且 $$| x _ { 1 } - x _ { 2 } |$$ 的最小值为 $$\frac { \pi } { 2 } ，$$ 则 f(x) 的单调递增区间是() $$A . \left[ k \pi + \frac { \pi } { 6 } ， k \pi + \frac { 2 \pi } { 3 } \right] ， k \in Z$$ $$B . \left[ k \pi - \frac { \pi } { 3 } ， k \pi + \frac { \pi } { 6 } \right] ， k \in Z$$ $$C . \left[ 2 k \pi + \frac { \pi } { 3 } ， 2 k \pi + \frac { 4 \pi } { 3 } \right] ， k \in Z$$ $$D . \left[ 2 k \pi - \frac { \pi } { 1 2 } ， 2 k \pi + \frac { 5 \pi } { 1 2 } \right] ， k \in Z$$ 【解析】B∵直线 $$x = x _ { 1 } ， x = x _ { 2 }$$ 是函数f(x) $$f \left( x \right) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right)$$ 图象的任意两条对称轴， 且 $$| x _ { 1 } - x _ { 2 } |$$ 的最小值为 $$\frac { \pi } { 2 } ，$$ $$\therefore \frac { T } { 2 } = \frac { \pi } { 2 } \Rightarrow T = \pi = \frac { 2 \pi } { \omega } \Rightarrow \omega = 2 ， 则 f \left( x \right) = \sin \left( 2 x + \frac { \pi } { 6 } \right) .$$ $$2 x + \frac { \pi } { 6 } \in \left[ 2 k \pi - \frac { \pi } { 2 } ， 2 k \pi + \frac { \pi } { 2 } \right] ， k \in Z ，$$ $$则 x \in \left[ k \pi - \frac { \pi } { 3 } ， k \pi + \frac { \pi } { 6 } \right] ， k \in Z ，$$ $$\left[ k \pi - \frac { \pi } { 3 } ， k \pi + \frac { \pi } { 6 } \right] ， k \in Z .$$ 第2页共18页 5.若函数f)=Asin(ox+p)(其中A>0,lp水孕图象的一个对称中心为写，0)， 其相邻一条对称轴方程为x=7正，该对称鞋处所对应的函数筐为-1小，为了得到 12 g(x)=cos2x的图象，则只要将f(x)的图象 A向右平移”个单位长度 B.向左平移石个单位长度 6 12 C向左平移”个单位长度 D.向右平移公个单位长度 6 12 【解析】B根据已知函数f(x)=Asin(ox+p) (共中A>0,<孕胸图象过点（怎0小（臣-小 12π_7ππ 可得A=1,40123 解得：0=2. 再根据五点法作图可得2·二+p=π， 可得：p=。 3 可得函数解析式为：f(x)=sin 2+到 故把f(x)=sim 2x+ 的图象向左平移交个单位长度， 12 可得y=sin =cos2x的图象 元3π 6.已知函数f(x)=4cos2x+4cosx-1,x∈ 6’4 在x=0处取得最小值，则 3=() sine-3sin+ A.0 B.5 C.3 D.25 1A层w吾 f(x)=4cos2x+4cosx-1=(2cosx+1)-2, 第3页共18页 2 即cosx=-】时，f(x)取得最小值，此时x=0= 2 3 则sin0-5sm9+2 元 sin 3sin 2π+3沉 3 32 =m2-5m2+ 2元 =sin 3 -3 sin 6 5-5x0 2 2 内有最大值，但无最小值，则⊙的取 6 值范围为() B [+ 【解所】A由x02 ,由题意可得 <0+≤3江，解得2<0 2 .8 2262 3 3 当0>2时，令x0+ 62 30 则函数f(在0)上避塔，在引 (3o'2 上单调递减， 由题意可得f(0)>f八 6 化简可得6 元 4 二o+二，解得0> 6 3 综上所述，⊙的取值范围为 48 33 第4页共18页 [1og2x,0<x<4 8.函数f(x)= 4sin 一x+ ,4≤x≤14'若方程/(x)=m有四个不等的实根 6 6 x,七，x3,x4,且<x2<3<x4,则下列结论正确的是() A0≤m≤2 B.为x2=2 C.x3+x4=16 D.xx取值范围为(0,5) 【解析】C对于A,当0<x<1时，log2x<0,则f(x)=-log2x=log1x, 2 易得f(x)在(0,1)上单调递减，且f(x)>f(1)=0, 当1≤x<4时，log2x≥0，则f(x)=log2x, 易得f(x)在[1,4)上单调递增，且f(1)≤f(x)<f(4),即0≤f(x)<2, 当4≤x≤14时，f(x)=4sim + 6 则由正弦函数的性质可得f(x)在[4,8)上单调递减，在[8,14]上单调递增， f(8)=4sin f(11)=4sim =0, 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出∫(x)的图象，如图所示， 2 m 14x 因为方程f(x)=m有四个不等的实根，所以f(x)与y=m的图像有四个交点， 第5页共18页 所以0<m<2,故A错误； 对于B,结合选项A中分析可得-log2x=l0g2x2, 所以1og2Xx2=0，则xx2=1，故B错误； 对于C,由正弦函数的性质结合图像可知(x3,m)与(x4,m)关于x=8对称， 所以x3+x4=16,故C正确； 对于D,当0<x<1时，f(x)=1og1x, 1 令f()=2,得x=4所以45<1,4K6<5, 又由图像可知x,x3同增同减，所以xx3∈(L,5)，故D错误。 二·多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列结论正确的有() A1110°与390°的终边相同 B.若圆心角为兀的扇形的弧长为元，则该扇形的面积为 元 C.若角a为第二象限角，则角g为第一象限角 D.命题“角C为第一象限角”是“cosC>0”的充分不必要条件 【解析】ABD对于A,因1110°=390°+2×360°，故A正确； 对于B,设扇形的半径为r,依题意，几=工，解得=3，则该扇形的面积为 1××32=3元，故B正确： 23 对于C,因a=480°是第二象限角，但g=240°是第三象限角，故C错误： 对于D,若角a为第一象限角，则必有cos>0,充分性成立；若cosa>0,则a 为第一或第四象限角或终边落在x轴正半轴上的角， 故必要性不成立，即“角a为第一象限角”是“c0s>0”的充分不必要条件，故D正确 10.已知a>0,网<7，函数f(y)=sin0xosp+os0sinp,g(y=(ox+p, 若go)-。,f@)<0,且函数a()f)g)的星大值为25 则() 3 第6页共18页 A0= 3 B.p=- 3 C当x0,2时，fx)K() D.曲线y=h(x)关于点 元，0 称 【解析】BCD根据题意，f(x)=sin@xcosp+cosoxsinp=sin(ox+p), h(x)=f(x)-g(x)=sin(@x+p)-@cos(@x+), 其最大值为M+-25,由0>0，待0=5 3 oox(o.0+)-3 3 6 由p<2f(0)=sinp<0,得p=(舍去)或p=-,A错误，B正确： 于停到到 25V -x 显然h(x)<0, 则f(x)<g(x),故C正确； 32 °2 5 所以曲线y=h(x)关于点 兀，0对称，D正确 2 11.关于函数f(x)=2sind+sinx,有以下四个结论，其中正确的有() Af(x)的最小正周期为2π B.f(x)在 π3π 22 上为减函数 第7页共18页 C.方程f(x)-1=0的所有根之和为0 D若联数aXo>0)在，2对上有且仅有5个零点，测0e[2引 【解析】BD因为f(-x)=2sim-x+-simx=2sinx+sinx=f(x), 所以函数f(x)为偶函数， 3sinx,2km≤x≤元+2m 当x≥0时，f(x)=2sinx+sinx= ,k∈N, sinx,π+2km≤x≤2元+2k 如图，作出函数f(x)的图象， 4元 5元 由图可知，函数∫(x)不是周期函数，故A错误： 函数f(x)在 π3π 2’2 上为减函数，故B正确； 对于C,显然x=0是方程xf(x)-1=0, 当x≠0时，则方程()-1=0的根即为函数y=f(x),y=1交点的横坐标， 因为函数)y=()是得函数，函数)=士是奇函数， 所以两个函数的交点不具有对称性， 所以方程f(x)-1=0的所有根之和显然不为0，故C错误； 对于D,当x∈[0,2元]时，x∈[0,2元， 因为函数f(ox)(@>0)在[0,2π上有且仅有5个零点， 所以20m∈[4元，5元)，所以0∈ 2 故D正确 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 第8页共18页 12.已知函数y=a1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角a的终边上， 则sin a cos a= 【解析】因为函数y=a++1(a>0且a≠1)的图象经过定点P, 令x+1=0,则x=-1,y=2,所以P(-1,2), 2225 -1 5 于是sina= -1)2+2255, cos a= V(-1)2+22 5 55三一 55 13.己知C为锐角，且cos +m-小 6，所以 【解街】因为a为复角，所以a+()归ma+- ) >0 6 得sima+）=6 ema+oa+8- 63 由诱与会式角（任[-a+】=ma+- +6) sin - v3 3 √2 所以tan 3 -a 3 -2 cos 3 - 3 14已知函数f0四=4(om+X4>00>0lp<孕，者函数f四的-个零点为G共图 象的一条对称轴为直线一径且0侧在传孕上单闭、则0的最大值为一 【解析】函数f)的最小正周期T=2江，由函数f田)的一个零点为，其图象的一条 对称轴为直线x) 第9页共18页 2k+DT5元不=kEN,解得T2keN,则o=22k+0kGN 41264 由在爱孕上单词得号经名音即7名因此若 6 廨得k,而k∈N,于是kE0,12乃 当k=2时，0=10，f(9=Asin10x+p),由f凸=Asinπ+)=0， 3 得x+0=版neZ,而p受，则n=2p-子f)=sn0x+学， 当xe后孕时，10r+号x,函数在后孕上不群词，不符合愿意， 6 当k=1时，0=6，f)=4sin(6x+9,由f爱=Asn(x+p)=0, 得无+p=meZ,而p水5则n=Lp=0,f)=4s6s， 当x后孕时，6xex劳，在爱孕上单调，符合题意： 641 当k=0时，=2，f)=4sin2x+p9,由f爱=Asin写+0=0， 6 得骨+p=mne2,而p水受则u=09=子f=4sn2x-孕， 3 当xe爱孕时，2x骨0爱，四在后孕上单调，符合题恋， 64 3 因此0=2或0=6，所以0的最大值为6. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 sin(r-a）cos(2r-w)cs(5a） 15.已知f(a) ，其中au≠kπ，k∈Z cos(+w)sin(元+W) 11 ()求f(3可的值： ②)若u是第三象限角，且c0s(Q-=-求/)的值 21 1 3)若fa)=2sim&,求s1n+sin o cosC的值 1+cos-a 【解析】(1)因 sin(r-@)os(2z-@)cos(-a f(a)= sina cosasin a cos a cos(+a)sin() (-sina)(-sina) 第10页共18页