数学卷-【T8联考】2025-2026学年高三12月检测训练（山西版）

高三年级12月检测训练 数学试题 (试卷满分：150分考试用时：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A=xx2-2x-3≥01，B=女lnx≥号}，则AUB= A.[3,+∞) B.(-∞，-1]U[√e,+∞) C.(-∞，-1]U[3,+∞) D.[-1,We] 2.已知复数之满足2之+1=(3一之)i,则之·之= A.4 B.2√2 C.2 D.2 3.已知a>0,60wv西=君+分则22g2的最小值为 1 1 A.3 B.2 C.√2 D.1 4.已知点G为△ABC的重心，若BG=入BC+μAG,则入一μ= A.0 B.1 c D.3 5.已知数列{am}的前n项和为Sm,且满足a1=一5，am= +2(n-1),若对任意n∈N, λ≤S恒成立，则实数入的取值范围是 A.(-∞，-6] B.(-∞，-5] C.(-∞，-3] D.(-∞，-2] 6.图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农 业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒 车的轴心O距水面的高度为√3m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d (单位：m)(若在水面下则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t (单位：s之间的关系为d=Asin(ct十p)+KA>0,o>0,-子<9<引，则p 数学试题第1页共4页 水面 图1 图2 A一音 C.o D. 7.已知双曲线Cx2- m? =1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆O:x2+y2=1 的切线，交双曲线C的右支于点M,若∠P,M,=,则实数m= A.2+3 B.1+√3 C.2 D.1+ 3 8已奥数)-2s6=e+-.若)价有4个写 点，则实数的取值范围是 A.(-∞，1) B.(4e,+∞) C.(1,4e) D.(1,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知一组数据x1,x2,x3,…,xm的平均数为x(元≠0)，将这组数据分别加上它们的平均 数，得到一组新数据x1十元，x2十x,x3十x,·,xm十x,则新数据与原数据相比 A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同 10.已知函数f(x)=sin,g(x)=x-1-lnx,h(x)=f(x)·g(x),则下列说法正确 的是 A日)+s)=0 B.不等式g(x)>0的解集为(0,1) cA品 D.1为函数h(x)的极大值点 11.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，高为h,该正四棱锥的顶点P在正方体 ABCD-A1B1C1D1的内部（包括表面），则下列结论正确的是 A.h的取值范围是(0,1] B若正四校雏P-ARCD的侧棱长为，则么 2 C.当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心时，正四棱锥 P-ABCD外接球的表面积为 D.当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心时，正方体ABCD-A1B1C1D1的 内切球与正四棱雏P-ABCD的公共部分的体积为需 数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.e知+) (n∈N)的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3：1，则n的值为 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为1的直线l与抛物线C交于M,N 两点，则FM|一FN 的值为 MN 14.已知a,B∈R,(sina一|sinB|)·(cosB-|cosa|)=0,则sina十cos3-2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足cos分-6十C 22c (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足AB=3AD,求，tanA tan∠ACD的值. 16.(本小题满分15分) (1)1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点O,质点向 右移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为i,向左移动了i(i∈N)个单位长度后位置 记为一i).已知质点每次向右移动的概率为卫(0<p<1).记X为质点从原点O出 发，移动2次后的位置，求满足随机变量X的期望大于0的卫的取值范围； (2)1个质点从平面直角坐标系中某点A出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右 移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点A的概率. 17.（本小题满分15分) 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,O是 BC的中点. (1)求证：平面BCC1B1⊥平面A1AO; (2)若A1O⊥底面ABC,且直线AA1与底面ABC所成角为 60°，D是棱BB1的中点，求平面AC1D与平面ABC夹角 A 的余弦值. 数学试题第3页共4页 18.(本小题满分17分) 1y2 已知椭圆C:x2十2=1(a>b>0)的左、石焦点分别为F1(一2,0)，F2(2,0),且椭圆C 过点(2，√3)，椭圆的下顶点为E. (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F2的直线1与椭圆C交于A,B两点（点A在点B的上方），与y轴交于 点P(点P在点E的下方)，Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R,设 △PBQ,△BF2Q,△AF2Q的面积分别为S1,S2,S3. ①若直线1的斜率为2，求十s的值， S2+S3 ②是否存在直线1，使Q,R,F2,A四点共圆？若存在，试判断直线1的条数；若不存 在，请说明理由 0 19.(本小题满分17分) 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学 奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实 数x的最大整数，如[1.2]=1，[-1.3]=-2.已知函数f(x)=2cos2 (1)当x=4和x=5时，求[f(x)]的值； (2)设g（x)=√x十45-√x+5,x1=5,xm+1=g(xm),n∈N*. ①求∑[f(x)]的表达式；(g(5)>3.9,g(3.9)<4.1,g(4.1)>3.9) ②求[∑x]的表达式. 数学试题第4页共4页高三年级12月检测训练 数学试题参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 6 十2n(n-1),.当n≥2时，n(Sn-Sm-1)=Sm十 2n(n-1). 答案 B C A 题号 7 8 9 10 10 n-1DS.-nSa-1=2n(n-1,.s-S n n-1 答案 D AB ACD ACD =2(n≥2)， S)是首项为-5，公差为2的等 n 1.【答案】B 差数列 【解析】A={xx≤-1，或x≥3}，B={x|x≥ :S=-5+2(m-1）=2m-7,∴S.=n(2m e〉，.AUB={xx≤-1，或x≥√e. 2.【答案】C 7)=2n2一7n,.Sm的最小值为S2=一6，.≤ 【解析】方法一：(2+iDz=3i-1,之= 3i-1 -6. 2+i 方法二：当n≥2时，nam=Sm十2n(n-1)①，(n -y9D-号+酒1- -1)am-1=Sm-1+2(n-1)(n-2)②. 5 ①-②得(n-1)am-(n-1)am-1=4(n-1),n |z|2=2. ≥2，.am-an-1=4, 方法二：，(2+i)z=-1+3i,√5|x=√10， 数列{an}是首项为一5，公差为4的等差数列. ∴.am=-5十4(n-1)=4n-9,令am>0得n≥ z|=√2，x·z=|之|2=2. 3,∴.Sm的最小值为S2=-6,λ≤-6. 3.【答案】D 6.【答案】A 【解新】：瓜-。+名≥2 1 a6ab≥2， 【解析】由题得筒车半径为2m,转动一圈需要40 s,且轴心O距水面高度为√3m, 1 1 六1og2十iog2-1og:ab≥log:2=1心最小值为 A=2+8)25-0-2w-需-0K- 2 1,此时a=b=√2. 4.【答案】B (2+3)+(W3-2)=3(m). 2 【解析】如图，延长AG交BC于点D,则BG 又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，∴.d(0) Bi+D心=2BC-号AG,:BG=ABC+h· =0,∴.sinp= -9x-<9=- AG,且BC,AG不共线，∴λ= 1 1 2 7.【答案】D 【解析】如图，设点M在第一象限，过点F2作 u=1. F2G⊥MF1于点G,设N为圆O的切点，连接 ON,..FN=NG=m,F2G=2ON=2. G G 5.【答案】A 【解析】方法一：由a.=氵十2(n-1）得ma.=S. 2 数学试题参考答案第1页共7页 在Rt△MGF2中，MG=23」 3,MF,=4 3,由双 时，需满足g(xo)<0,0<xo<k. ∴.g(xo)=e0（2x0-1)+k(-x。+1)= 曲线定义得|MF1|-|MF2|=2a=2,∴.2m十 e0(2x。-1)+e0(2x0+1)(-x0+1)= 25_45-=2m=1+ 33 3 xe0（-2x0+3)<0,x> 2 8.【答案】B 易知h(x)=e(2x+1)在区间(0，十∞)上单调 【解析】，g(x)=f(x)+f(-x),.g(-x)= 递增， f(-x)十f(x)=g(x).又g(x)定义域为{x|x ∴.k=e0(2x0+1)>4e2. ≠0}关于原点对称，g(x)为偶函数.要使y 综上所述，k∈(4e,十o∞). g(x)恰有4个零点，则需使y=g(x)在区间(0， 9.【答案】AB +∞)上恰有2个零点. 【解析】极差为最大值与最小值的差，∴极差相 当x>0时，g(x)=e2(2x-1)十k(-x+1)= 同，选项A正确； e2(2x-1)-k(x-1). 方法一：令e(2x-1)=k(x-1),显然x=1不 原数据的平均数元=十x十十2，新数据 n 是方程的根，=2，记人)= 的平均数y=+z+十x十…十，十z_ e(2x1D,问题转化为h(x)=在区间(0， x-1 x1十x十十x十元=2元，“平均数不同，小选 十∞)上有2个解. 项B正确； 又h'(x)=e(2.x2-3x) (x-1)2, 原数据的方差号-红1P十：)+十 x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； ,》f,W《)<0Aa)单涧递减 。一P门新数超的方老=【1十一2四十 (x2十x-2x)2+…+(xn十x-2x)2]=s1,方 x∈(（含+时，()>0)单调道指， 差相同，.选项C错误； 中位数显然不同，∴选项D错误 且h(0)=1.当x从1的左侧无限趋近于1时， 10.【答案】ACD h(x)趋近于一∞；当x从1的右侧无限趋近于1 1 时，h(x)趋近于+∞；当x趋近于+∞时，h(x) 趋近于十.又A) =4e2,.k∈(4e,+o∞). =0,∴.选项A正确； x 方法二：g'(x)=e(2x十1)-k,易知g'(x)在 区间(0，十∞)上单调递增，∴.要使y=g(x)在 g'(x)=1+ 11=2+1-x>0,g(x) x2 x 区间(0，十∞)上恰有2个零点，则需满足g'(x) 在区间(0，十∞)上单调递增.又g(1)=0, 在区间(0，十∞)上有零点，记为xo,且g'(0)= ∴g(x)>0解集为(1，十∞)，.选项B错误； 1-<0,.k>1,且g'(x0)=ex0(2x0+1) 'sin k=0. 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当 x∈(xo,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 16 ,g(0)=k-1>0,g(k)=e(2k-1)+k(-k+ 1)>k(2k-1)+k(-k+1)=k2>k-1, ∴.当y=g(x)在区间(0，+∞)上恰有2个零点 数学试题参考答案第2页共7页 ()=-si·g)a9)n) 6·n！ 61(n-61(n-5)！=(m-6)1,n=6. 选项C正确； h'(x)=f'(x)g(x)十f(x)g'(x)=πcosπx· 18.【答案唱 x2+1-x 【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),由抛物线定 x2 （合1时Ax)≥0x∈1，)时，A)0. 义得1PM1=a十号FN=2:+号 又h'(1)=0,.1为h(x)极大值点，∴.选项D .FMI-IFNI +)(+) MN 正确. √1+k2|x1-x2 11.【答案】ACD |x1-x2 ② 【解析】记正方形ABCD和正方形A1B1C1D1 √1+k1x1-x221 的中心分别为O和O1,则点P在线段OO1上， 14.【答案】-3 易知0<h≤1，选项A正确； 【解析】令x=sina,y=cosB,则(x-一√1一y)· 在Rt△POC中，h=PO=√PC2-OC= (y-√1-x2)=0,x=√1-y,或y= √一4=2心选项B错误； 321 √1-x2,x2+y2=1(x≥0)，或x2+y2=1 (y≥0. 如图，记四棱锥P-ABCD的外接球球心为G, .点(sina,cosB)在圆x2+y2=1位于第一、 则点G则在OP上，连接CG.在Rt△OGC中， 二、四象限（包括坐标轴）的部分上. 0G=1-R,0C=2 ,GC=R,则R2=(1-R)+ .点(sina,cosB)到直线x十y-2=0距离为 Isina+cosB-21-d. ,S=4R=4r 99 164π， √2 又sina+cosB-2≤0，.sina+cosB-2= ∴选项C正确； -√2d. 下求d的最大值.如图，d的最大值为点(-1， 0)到直线x十y一2=0的距离，∴.dmx= G D C 1-1+0-23 √2 √2 B +.(sina+cos B-2)mi=-2x3=-3. 该正方体可放入与四棱锥P-ABCD体积相同 2 的6个四棱锥，∴公共部分的体积为正方体内 切球体积的行，“公共部分的体积为日×专xX (侣)广-希达暖D正确 12x x+y-2=0 12.【答案】6 【解析】，T6=Cx" ∴.第6项系数为 15.解：(1)在△ABC中，cos4-6+c. 2c 2 2(1+ C%·25,又T2=C%x ()第7项系数为 casA)-2(色+1casA=名…2分 C%·2. 方法一：在△ABC中，由正弦定理得cosA= nl 由题可知C·25=3C·2,心51m-5)1 sin C,'sin B-cos Asin C. 数学试题参考答案第3页共7页 A+B+C=π，∴.sinB=sin(A+C). =256,每个样本点出现的可能性相等，且为有 .sin Acos C++cos Asin C=cos Asin C, 限个，…9分 ,∴.sin Acos C=0..sinA≠0，，.cosC=0, 记质点经过4次移动后回到点A为事件B,要 4次回到起点A,则向左向右移动次数相等，向 …6分 上向下移动次数相等，∴.事件B包含的样本点 方法二c0sA=台， .b2+c2-a2_b A A 2bc 个数为m=A A8·A十A8·A=36,(或m a2+b2=c2,C= ……6分 =A4十2C=36)…13分 2 (2)方法一：如图，过点D作DH垂直于AC于 由吉美复型计算公式得P(国）=治-品质 点H,由题可得是-品- 点移动四次后回到点A的概率为9…15分 设AH=x,HC=2x,tanA= HD 17.(1)证明：如图，连接A1B,A1C -,tan∠ACD x HD tan A 2 tan∠ACD =2. …13分 CD 方法二：在△ACD中，由正弦定理得 sin A ,AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A, AD sin∠ACD①， …8分 .△A1AB≌△A1AC,∴.A1B=A1C. ,O为BC中点，∴.BC⊥A1O.又AC=AB, CD 在△BCD中，由正弦定理得 .BC⊥AO.…4分 一A sin 2 又AO∩A1O=O,AOC平面A1AO,A1OC平 BD CD BD 面A1AO,.BC⊥平面A1AO.…5分 cos∠ACD ②， cos A ,BCC平面BCC1B1,.平面A1AO⊥平面 sin 、2 -∠ACD BCC1B1.…6分 …10分 (2)解：A1O⊥平面ABC,.∠A1AO为A1A ②÷①，得 tan∠ACD=2.…13分 tan A 与平面ABC所成的角，即∠A1AO=60°.由题 可知OA,OB,OA1两两垂直，以O为坐标原 16.解：(1)由题可知X的可能取值为-2,0,2， 点，OA,OB,OA1分别为x轴、y轴、之轴正方 .P(X=-2)=(1-p)2,P(X=0)=2(1-p), 向，建立如图所示的空间直角坐标系， P(X=2)=p2.… …3分 X的分布列如下. X -2 0 2 P (1-p)2 2p(1-p) ∴.E(X)=-2·(1-p)2+2p2=4p-2>0, 号<p<1.(不列分布列不扣分)…7分 (2)移动四次，样本空间的样本点总数为n=44 数学试题参考答案第4页共7页 设AC=AB=4,.A1(0,0,2√6)，A(2√2,0， ②假设存在直线l,设直线l方程为x=my十 0),B(0,22,0),C(0,-2√2,0).AC= 2,A(x1,y1),B(x2,y2). A1Ci,.C1(-2√2，-2√2,26)，B1(-2√2， [x2,y2 =1, 联立84消去x,得(m2+2)y2+4my 2√2,2√6)，…10分 x=y+2, D(-2,22,6),AD=(-32,22, 4=0,△>0恒成立， √6)，AC1=(-4√2，-2√2,2√6) -4m -4 设平面AC1D的一个法向量为n=(x,y,z), y1+y2= m2+2'y1y2= m2+2'(y1 in=0, 32(m2+1) y2)2=(y1十y2)2-4y1y2=(m+2)2 AC1·n=0, :厂32x+22y+62=0, 如图，延长QA交x轴于点S,若Q,R,F2,A 令y=3 四点共圆，则∠AF2S=∠AQR.…11分 -4√2x-2√2y+2√6z=0, n=(33,W3,7).…13分 AO⊥平面ABC,.取平面ABC的法向量 m·n m=(0,0,1),.cos〈m,n〉= m·n 7 7√79 √(33)+(3)+72 79 .平面AC1D与平面ABC夹角的余弦值为 P 779 …15分 791 tan∠Ar:S-an∠AQR-= 18.解：(1)椭圆C的左、右焦点分别为F1(一2， 又∠AQR=∠1-∠2，∴.tan∠AQR=tan(∠1 0),F2(2,0),且过（√2，W3), -12a-0n此 tan∠1-tan∠2 ∴.W(W2-2)2+3+√(W2+2)+3=42, 2a=4√2，.a=2√2..b2=a2-c2=4, 步骤不推理不扣分) 稀圆C的方程为后+苦-1.…4分 、2 由kQA= 1 my,十2得tan∠AQR (2)①直线1方程为x=2y十2，设A(x1y), y1+2,kon 4(y1-y2） B(x2,y2). (m2+1)y1y2+ + 8 =1, 4 4(y1-y2) 联立 消去x,得9y2+8y-16=0, 一 2y+2, (m2+1)y1y2+ 2 2m- (y1+y2)+4+ m :+yg=-号=9 8 ,116√2m2+2 9 …6分 ,∴.2m√2m2+2=2+ m 由题得+S:=BP+|AE,l=y+4+y 16+8 -8m2 m2 S:+S,IBF:1+AF:T y1-y2 1 -m2.…15分 y2+4+y1 4 m" 7√10 Wy1+y2)2-4y1y2 /64,64 20. 由点P在点E下方得-只<-2，∴0<m<1, √81+9 …9分 记f(m)=2mV2m+2+m2- m-2,0<m 数学试题参考答案 第5页共7页 <1, ∈N". ∴.f'(m)=2√2m2+2+ 4n √/2m2+2 +2m+ 2 ∑[fx,)】=1-n,n∈N.或∑[f(x] i=1 >0.又f日)0，fa>0, 0,n=1, …10分 1-n,n≥2，且n∈N* ∴.存在直线1，条数为1条。 17分 ②设p(x)=x十g(x),x>0,9(x)=1+ 1.解：0当x=4时，[2]-[] -1, 2 >0恒成立，.当x>0 2v√x+452√x+5 …2分 时，p(x)单调递增.…11分 当x=5时， 2cos 5 5 =0.…4分 p(4)=8,由①知x2<4,x2+1>4,t∈N, 且x1>4,p(x1)=x1+x2>8, 40 (2)①由条件g(x)= 三可知，当 √x+45+√x+ ∴.p(x2+1)>p(4)=8,p(x2)<p(4)=8,t∈ x>0时，g(x)连续且单调递减…5分 N*,…12分 ,x1=5,.x2=g(x1)=g(5).g(4)=4, 当n=1时，[x1]=5; g(5)<g(4)=4.又g(5)>3.9,.3.9<g(5) 当n=2t(t∈N*)为偶数时，由p(x)=x+ <4,即3.9<x2<4. g(x)得p(xm)=xn十g(xn)=xn十xn+1, xg=g(x2),3.9<x2<4,g(3.9)>g(x2） ∴x1+x2十x3十…+xm=(x1十x2)十(x3十 >g(4).又g(4)=4,g(3.9)<4.1,∴.4<x3< x4)+…十(x2-1十x2)=p(x1)十p(x3)+ 4.1. +p(x24-1)>8t=4n, x4=g(x3),4<x3<4.1,.g(4)>g(x3)> x1十x2+x3+…十xm=x1+(x2十x3)十(x4 g(4.1).又g(4)=4,g(4.1)>3.9,.3.9<x4 十x5)十…+(x21-2十x2-1)+x2:=x1十9(x2） <4. +p(x4)+…+p(x2-2)+x2<5+8(t-1)+ 同理，可得4<x5<4.1,.依此规律，归纳可得 4=8t+1=4n+1, x2:∈(3.9,4)，x2+1∈(4,4.1)，t∈N [∑x]=4n;… …14分 =1 下面用数学归纳法证明此归纳结论： 同理，当n=2t+1(t∈N*)为奇数时， 当t=1时，x2∈(3.9,4)，x3∈(4,4.1). x1十x2十x3+…十xm=(x1十x2)十(x3十x4) 假设当t=k(k∈N")时，x2∈(3.9,4)，x2+1∈ +…+(x2-1+x2)+x2+1=p(x1)十p(x3)+ (4,4.1). …+p(x2-1)+x2+1>8t+4=4n, 则当t=友十1时，x2k+D=x2+2=x2+1+1= x1十x2+x3+…+xn=x1+(x2+x3)+(x4 g(x2+1)∈(g(4.1),g(4))C(3.9,4). +x5)+…+(x2-2+x24-1)+(x2+x2+1)= x2k+1)+1=x2+3=g(x2+2)∈(g(4),g(3.9) x1十p(x2)+p(x4)+…+p(x2)<5+8t= C(4,4.1). 4n+1, 综上可知，x2:∈(3.9,4)，x2+1∈(4,4.1)，对Vt ∈N成立.（不用数学归纳法证明不扣分）… [2]=4m.…16分 i=1 …9分 综上所述，[∑x]= 5,n=1, …17分 .cosx1∈(0,1)，cos∈(-1,0)，n≥2，n∈ i-1 4n,n≥2. N[2a]=0[2]-1m≥2， 数学试题参考答案第6页共7页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学逻辑数学直观 数学 数据 分析 易 中 难 抽象推理建模 想象 运算 数学试题参考答案第7页共7页