专题7.1 相交线（知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“相交线”核心知识点，系统梳理直线位置关系（相交与平行）、垂线的定义及性质（垂线段最短、点到直线距离）、相交线中的角（对顶角、邻补角的定义与性质，同位角、内错角、同旁内角的识别），通过知识梳理、题型讲练、中考真题及分层训练构建完整学习支架。 资料亮点在于知识点梳理结合易错点拨与表格对比，助力学生形成几何直观；10个题型分类含典例与变式训练，强化推理意识（如利用对顶角相等求角度）；中考真题衔接与分层练习（基础夯实、培优拔高），培养应用意识（如引水问题用垂线段最短原理）。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

专题7.1 相交线 （知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：相交线 1 知识点梳理02：相交线中的角 2 题型讲练 4 题型1：对顶角的定义 4 题型2：对顶角相等 5 题型3：邻补角的定义理解 7 题型4：找邻补角 8 题型5：利用邻补角互补求角度 9 题型6：垂线的定义理解 11 题型7：画垂线 13 题型8：垂线段最短 16 题型9：点到直线的距离 17 题型10：同位角、内错角、同旁内角 19 中考真题 21 分层训练 25 基础夯实 25 培优拔高 30 知识点梳理01：相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 1.垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【易错点拨】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【易错点拨】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 知识点梳理02：相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【易错点拨】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【易错点拨】 如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 题型1：对顶角的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【规范解答】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【思路点拨】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【规范解答】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 【变式训练2】（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断． 【规范解答】解：A、B、C中，与的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有D． 故选：D． 题型2：对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴    ， 故选：B． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【规范解答】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【规范解答】解：， 答：的度数为． 题型3：邻补角的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【规范解答】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）把两根笔直的筷子交叉放在一起，如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义等知识，根据对顶角的性质可得出，，根据邻补角的定义可得，即可判断． 【规范解答】解∶根据题意，得，，， 根据已知无法得出，，， 故选∶A． 【变式训练2】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 【答案】 50 130 【思路点拨】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，的邻补角是或；的对顶角是， ∵， ∴，； 故答案为：、；；；． 题型4：找邻补角 【典例精讲】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ． 【答案】和 【思路点拨】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路点拨】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【规范解答】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【思路点拨】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【规范解答】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 题型5：利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，过直线上一点O作射线，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查邻补角的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角的定义进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，直线与直线相交于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查邻补角的性质，根据邻补角互补即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何图形中角度的计算、对顶角相等、角平分线的定义，由题意结合对顶角相等可得，从而可得，再求出，最后再由角平分线的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：，， . . . 平分， . 题型6：垂线的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【思路点拨】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 题型7：画垂线 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线． 【答案】作图见详解 【思路点拨】本题考查了垂线的概念和基本作图方法，属于初中几何的基础知识点，解题的关键是理解垂线的定义（两条直线相交成角），并掌握过一点作已知直线垂线的操作步骤；易错点在于作图时可能未准确保证垂直关系，或垂线未经过给定点，导致作图失误．明确垂线的几何性质：过点作直线的垂线，需作一条通过点且与垂直的直线；同理作的垂线． 【规范解答】 作的垂线： ①将三角板的一条直角边紧贴直线； ②平移三角板，使另一直角边恰好经过点； ③沿三角板的这条直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线． 作的垂线： ①将三角板的一条直角边紧贴直线； ②平移三角板，使另一直角边经过点； ③沿直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线． 最终，两条垂线应分别通过点，且与、垂直（相交成角）． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）在如图所示的方格纸上 (1)过点画直线的平行线． (2)作交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查利用方格纸的网格特性以及平行线、垂线的作图．借助网格的“平行关系”来画平行线：利用方格纸的“垂直网格”(横线与竖线互相垂直)，结合“垂线的定义(两条直线相交成直角时，互相垂直)”作图． （1）观察直线的“走向”：看经过了多少个横向、纵向的格子，确定其斜率(或说倾斜规律)过点，按照的“走向”，沿着网格线画出直线，使得与的倾斜程度完全相同(即平行)； （2）观察直线的方向，找到与“成直角”的网格方向． 【规范解答】（1）解：如图所示，直线即为所求， 利用格点特点，由于格点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， 则把点进行同样的平移可得到格点，则直线； （2）如图所示，直线即为所求， 把线段逆时针旋转得到，再延长交于，则． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）作图： (1)过点作的垂线； (2)过点作的垂线段； (3)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查画垂线，平行线，解题的关键是理解题意，正确作出图形； （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）根据平行线的性质画出图形． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，直线即为所求． 题型8：垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【规范解答】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【思路点拨】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【规范解答】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【思路点拨】本题考查了点到直线的距离． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【规范解答】解：要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 题型9：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【思路点拨】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【规范解答】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到） 【答案】图见解析；点A到线段的距离约为；点D到线段的距离约为 【思路点拨】本题考查的是垂线的画法、垂线段定义及点到直线距离的定义，首先分别画出，然后再量出长即可． 【规范解答】解：如下图，过点A作交于点E，则就是过点A画线段的垂线段，量出点A到线段的距离约为； 过点D作交于点F，则就是过点D画线段的垂线段，量出点D到线段的距离约为； 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 【答案】的长度可以算作跳远的成绩． 【思路点拨】本题考查垂线段的性质，理解跳远成绩的本质是“落点到起跳线的垂线段长度”是解题关键． 根据垂线段的性质，依次判断，，是否符合要求． 【规范解答】解：：起点不在起跳线上，不符合要求； ：不垂直于起跳线，不符合要求； ：起点在起跳线上且垂直于起跳线，符合要求． 答：的长度可以算作跳远的成绩． 题型10：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【规范解答】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 【答案】和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 【思路点拨】本题考查三线八角中的同位角、内错角和同旁内角的识别，掌握好每种角对应的模型是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形，借助模型去一一识别即可． 【规范解答】解： 和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【思路点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【规范解答】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 1．（2024·全国·中考真题）如图所示，直线，相交于点，，平分，下列结论： ①的余角是，补角是； ②； ③； ④． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路点拨】结合余角、补角的定义，垂线的定义、角平分线的定义可判断结论①、②正误；分别找出、和之间的关系，代入后即可判断结论③；根据结论③可判断结论④． 【规范解答】解：直线，相交于点，， 的补角是，余角是， 结论①错误； 平分， ， 结论②正确； ， ， ，， 、、在同一条直线上， ， 即， ， 即， 结论③正确， ， ， 则当时，有， 但题中没有该条件，结论④错误． 综上，正确的结论有个． 故选：． 2．（2024·江苏南京·中考真题）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【规范解答】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 3．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【思路点拨】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解． 【规范解答】解：，与的度数之比为， ， 直线、相交于点， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【思路点拨】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【规范解答】解：A、和是同位角，故此选项符合题意； B、和是内错角，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，故此选项不符合题意； D、和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的左侧，在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【规范解答】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【规范解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【规范解答】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 【答案】3 【思路点拨】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【规范解答】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 【答案】16 【思路点拨】根据同位角、内错角、同旁内角的概念去计算出的值并计算即可． 本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的基本概念，熟练掌握并能够识别是解决本题的关键． 【规范解答】解：同位角有与，与； 内错角有与，与； 同旁内角有与，与，与，与． 故，，， ∴． 故答案为：16． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【思路点拨】本题考查对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 本题观察图形中与的位置关系，判断其对应的角的性质，进而确定的依据． 【规范解答】解：由图可知，与是对顶角． 已知，因此． 故答案为：对顶角相等． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【答案】（1）同位角：；内错角：；同旁内角：；（2）同位角：；内错角：；同旁内角： 【思路点拨】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角，据此得出结论即可． 【规范解答】解：（1）同位角：； 内错角：； 同旁内角：； （2）同位角：； 内错角：； 同旁内角：． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【规范解答】解：如图所示： 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【思路点拨】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【规范解答】解： 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【规范解答】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 12．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【思路点拨】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【规范解答】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和是是解题的关键． 设，根据邻补角的概念用表示出，根据角平分线的定义求出，根据题意列式求出，根据对顶角相等解答即可． 【规范解答】解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【规范解答】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 15．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查邻补角的性质与角平分线的定义，掌握邻补角和为180°、角平分线平分角是解题的关键． 先利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角的和为得到的度数，最后结合与的数量关系，列方程求解． 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∵与是邻补角， ∴， 设，由，得， ∵， ∴， 解得， 故的度数是． 故答案为80°． 16．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【规范解答】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 17．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【思路点拨】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【规范解答】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【思路点拨】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线得出的度数，结合平角的性质，用含的式子表示； （2）先根据对顶角、角平分线求出的度数，再分在两侧的情况，结合垂直的性质计算的度数． 【规范解答】（1）解：∵直线相交于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：①当点F，A在直线CD的同侧时，如图①． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当点F，A在直线CD的异侧时，如图②． 同理可得． ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 相交线 （知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：相交线 1 知识点梳理02：相交线中的角 2 题型讲练 4 题型1：对顶角的定义 4 题型2：对顶角相等 4 题型3：邻补角的定义理解 5 题型4：找邻补角 6 题型5：利用邻补角互补求角度 6 题型6：垂线的定义理解 7 题型7：画垂线 8 题型8：垂线段最短 9 题型9：点到直线的距离 9 题型10：同位角、内错角、同旁内角 10 中考真题 11 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 15 知识点梳理01：相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 1.垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【易错点拨】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【易错点拨】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 知识点梳理02：相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【易错点拨】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【易错点拨】 如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 题型1：对顶角的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【变式训练2】（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 题型2：对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 题型3：邻补角的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）把两根笔直的筷子交叉放在一起，如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 题型4：找邻补角 【典例精讲】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 题型5：利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，过直线上一点O作射线，若，则 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，直线与直线相交于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 题型6：垂线的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 题型7：画垂线 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）在如图所示的方格纸上 (1)过点画直线的平行线． (2)作交于点． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）作图： (1)过点作的垂线； (2)过点作的垂线段； (3)过点作的平行线． 题型8：垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 题型9：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到） 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 题型10：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 1．（2024·全国·中考真题）如图所示，直线，相交于点，，平分，下列结论： ①的余角是，补角是； ②； ③； ④． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·江苏南京·中考真题）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ． 5．（2024·上海·中考真题）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 15．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是 ． 16．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 17．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 第 1 页 共 12 页 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