第七章 3 万有引力理论的成就-【新课程能力培养】2025-2026学年高中物理必修第二册学习手册（人教版）

N高中物理必修第二册（人教版 3.万有引力 知识梳理 川知识点1 “称量”地球的质量 1.“称量”地球的质量：地表物体的 近似等于引力，即mg=-GR,m= G 当G、m地、R已知时就可以“称量（算 出)”地球质量。 2.估算地球的密度：p=m=m地，m地= -TR3 & 3g G,p=4mGR° 川知识点2计算天体的质量 计算中心天体质量。 (1)计算太阳质量：地球绕太阳公转时， G72，式中 m本_m4r,可导n太=4”之3 2 r为 距离，T为 周期。 (2)计算地球质量：月球绕地球公转时， 2 ，可得m京，式中 Gmmm=m r r为 距离，T为 周期。 (3)计算地球密度：由(2)可知m地= 4m2-3 GT2, 4m2-3 地球密度为p=m地=GT2 _=3mr3 3mR3G7R3,式 V 4 中R为地球半径。 注意：①m=产、p产品不仅适州于地 44)学 理论的成就 球、太阳，也适用于其他天体。 ②若为近地卫星，即r=R,则p= 3m 知识点3发现未知天体及预言哈雷彗 星的回归 1.海王星的发现：人们在长期的观察中发现 天王星的实际轨道与应用万有引力定律计 算出的轨道存在一定的偏差。所以怀疑天 王星外侧还有一颗没有被发现的星球。英 国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天 文学家勒维耶各自独立地利用天王星的观 测资料，利用万有引力定律计算出这颗 “新”行星的轨道。1846年9月23日晚， 德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现 了这颗行星一海王星。海王星被称为 “笔尖下发现的行星”。 2.哈雷彗星的回归：英国天文学家哈雷在 1695年，从1337一1698年的彗星记录中 挑选了24颗彗星，依据万有引力定律， 用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531年、1607年和1682年出现的这三颗 彗星轨道可能是同一颗彗星的三次回归的 轨道。他大胆地预言，1682年出现的那 颗彗星，将于1758年底或1759年初再次 回归。1759年3月14日哈雷彗星通过 近日点，哈雷彗星最近的一次回归是1986 年，它的下一次回归将在 年 左右。 要点突破 川要点1解决天体问题的两大思路 1.动力学思路：环绕中心天体做圆周运动的 行星或卫星，万有引力提供向心力，由牛 顿第二定律知：Gm”=ma=m -=mor= T2r,a=Gm中m Gm中 ，0三 Vg,TarV oms 可以看出：①向心加速度、线速度、角 速度、周期均只与中心天体的质量和轨道半 径有关；②对于环绕同一中心天体的行星或 卫星而言，公转轨道半径越大，转得越慢， 具体表现为向心加速度小、线速度小、角速 度小、周期大。 2.黄金代换式：天体表面的物体，重力近似 等于引力，即Gm=mg,整理得Gm中= R2 gR,它把天体m中、g、R三者联系 起来。 例1嫦娥五号是我国月球探测第三期工程 的先导星，三期的任务难度更大，将突破包 括月面的起飞技术、月面的采样封装技术、 月球轨道的交会对接技术以及返回地球的高 速再入返回技术等多项关键技术。若测得嫦 娥五号在月球（可视为密度均匀的球体）表 面附近圆形轨道运行的周期T,已知引力常 量G,半径为R的球体体积公式V号m, 则可估算月球的() A.密度 B.质量 第七章万有引力与宇宙航行。 C.半径 D.自转周期 思路点拨 本题是典型的中心天体模型，飞行器 绕月球飞行，引力提供飞行器所需要的向 心力，由万有引力定律、牛顿第二定律、 圆周运动知识，再利用“近月”时的条件 就可以得到需要研究的物理量了。 P变式训练① (1)开普勒第三定律指出：行星绕太阳运动 的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公 转周期T的二次方成正比，即亮本，k是 一个对所有行星都相同的常量。将行星绕 太阳的运动按圆周运动处理，请你推导 出太阳系中该常量k的表达式。已知引力 常量为G,太阳的质量为M太。 (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一 切具有中心天体的引力系统（如地月系 统)都成立。经测定月地距离为3.84× 108m,月球绕地球运动的周期为2.36× 10°s,试计算地球的质量M地。(G-6.67× 10Nmkg2,结果保留一位有效数字) 学(45 N 高中物理必修第二册（人教版） 川要点2双星系统 1.双星：两颗相距较近的恒星，只在彼此万 有引力作用下，分别沿各自不同的轨道做 匀速圆周运动。 2.特点。 (1)向心力的来源：向心力由两星间的引力 提供。 (2)运动学的特点：由于稳定存在，两星的 运动周期和角速度是相等的，线速度与 各自的轨道半径成正比。 (3)动力学的关系：双星相 距L,质量分别为m m 和m2,线速度分别为 U1和v2,轨道半径分别 为r1和2，共同运转的周期为T、角速 度为w,如图所示，对m星：由万有 引力定律和牛顿第二定律可知： Gm2=mw1① 12 对m星：G=mo② 且r1+r2=L③ 在求解双星问题时，要注意双星各自的 轨道半径，切勿与两星之间的距离L相 混淆。 (4)几个基本结论。 ①轨道半径：联立①②③式，可得1= mL,=m1L,说明双星中心0点 m1+m2 m1+m2 恰好是两星的总质心，质量大的星体轨道 半径小，称为主星，质量小的星体轨道半 径大，称为伴星。 (46)学 ②周期：T=2m与①②③式联立可得T= 2TL1 G(m+m2) 。可以由双星间距离L 和双星周期T求解双星的总质量：m+m2= C7产；当m与m相差较大，当m,≥m, 4π2L3 时，T=2LVGm ，10，≈L,双星模 型转化为中心天体模型，即中心天体模型 是双星模型在两星质量相差较大时的简化 情况。 例2（多选）经过长期的观测，人们在宇 宙中发现了“双星系统”。“双星系统”由 两颗相距较近的恒星组成，每颗恒星的半径 远小于两颗恒星间的距离，而且“双星系 统”一般远离其他天体。两颗星球m、m2 组成双星，在它们相互之间的万有引力作用 下，围绕连线上的某一定点做匀速圆周运 动，现测得两颗星球之间的距离为L,质量 之比为m:m2=5:2,则可知（） A.m1、m2的角速度之比为1：1 B.m、m2的线速度之比为5：2 Cm的轨道半径为 Dm:的轨道半径为马 思路点拨 本题利用双星系统的特点，借助万 有引力定律、牛顿第二定律、圆周运动 知识求解。 B变式训练② (多选)在宇宙中有相距较近、质量可 以相比的两颗星球，若距离其他星球较远， 可忽略其他星球对它们的万有引力，这两颗 星球称为双星系统。双星系统在它们相互之 间的万有引力作用下，围绕连线上的某一固 定点做匀速圆周运动。关于质量分别为M 和m的两颗星球组成的双星系统，下列说 法正确的是() A.它们的线速度与质量成反比 B.它们的线速度与轨道半径成反比 C.它们的向心加速度与质量成反比 D.质量大的星球的向心力较大 川要点3三星系统 宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽 略其他星体对它们的引力作用)的三颗星组 成的三星系统，三星系统中各星体的公转周 期相同。主要有两种基本的构成形式：一种 是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央 星在同一半径为R的圆轨道上运动：另一种 是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并 沿圆轨道运动，如图所示。 R R At---- 0 (1)第一种形式中：对A星，B、C对A的 万有引力提供A做圆周运动的向心力， 0有G2一AR Ri(2R)=m (2)第二种形式中：对A星，B、C对A的 引力提供A做圆周运动的向心力，则有 cos30=m4何R,式中2Rcos30r. 2Gm2 第七章万有引力与宇宙航行。 例3天文学观测中观测到有三颗星位于边 长为1的等边三角形的三个顶点上，并沿等 边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运 动。已知引力常量为G,不计其他星体对它 们的影响，关于这个三星系统，下列说法正 确的是（) A.它们之间的引力为16m? 9GT4 B.某颗星的质量为3GT 4π2p 例3题图 C.它们的质量可能不相等 D.它们的线速度均为2V了l 思路点拨 三颗星的角速度、周期均相同。 B变式训练③ (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较 远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们 的引力作用，三星质量也相同，现已观测到 稳定的三星系统存在两种基本的构成形式： 一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕 中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是 三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿 外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙 所示。设这三个星体的质量均为m,且两种 系统中各星间的距离已在图甲、乙中标出， 引力常量为G,则下列说法中正确的是( 甲 变式训练3题图 学 N 高中物理必修第二册（人教版） A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速 度大小为V Gm B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期 为41V5Gm C.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的 角速度为21 /3Gm D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的 加速度大小为V3Gm 情境拓展 2019年1月3日，嫦娥四号探测器成功 着陆月球背面（如图甲），并通过鹊桥中继 卫星传回世界上第一张近距离拍摄月球背面 的图片。此次任务实现了人类探测器首次在 月球背面软着陆、首次在月球背面通过中继 卫星与地球通信，因而开启了人类探索月球 的新篇章。 探测器 月球 拉格朗日点 地球 地球 太阳 丙 情境拓展题图 探测器在月球背面着陆的难度要比月球 48)学 正面大得多，其主要原因在于月球的阻挡， 探测器将无法实现地球和月球间的实时通 信。2018年5月，我国发射了一颗名为“鹊 桥”的中继卫星，在地球和月球背面的探测 器间搭了一个“桥”，从而有效地解决了通 信问题。为了实现通信和节约能量，“鹊 桥”的理想位置，就是围绕“地一月”系统 的一个拉格朗日点运动，如图乙所示。所谓 的“地一月”系统的拉格朗日点是指空间中 的某一点，在该点放置一个质量很小的天 体，该天体仅在地球和月球的万有引力作用 下，保持与地球和月球的相对位置不变。 (1)设地球质量为m地，月球质量为m。地球 中心和月球中心间的距离为L。月球绕 地心运动，图乙中所示的拉格朗日点到 月球球心的距离为r。推导并写出r 与m地、m和L之间的关系式。 (2)地球和太阳组成的“日一地”系统同样 存在拉格朗日点，图丙是“日一地”系 统示意图，请在图中太阳和地球所在的 直线上，用符号“*”标记出几个可能 出现的拉格朗日点的大概位置。高中物理必修第二册（人教版） 变式训练3A 情境拓展 「1 (2)Gr 8d- 当d R时，两种计算结果相同 【解析】设完整的大球质量为M,则Mp号R， 小球质量为m→等号门，即m=名。(1)如图甲 所示，两球间的引力为F=GM-mm=7c 64P9 (2)把大球补充完整，两者之间的引力为F=GMm= 12 G片，由于填补空心球而培如的引力为AG多 2 、G,状R所以，这时大、小球之同的引力为 2 「1 1 F-GM8dF 当d≥R时，M'可以视为质 8 2 点。这时.引方变为C言学= 即两种计算结果相同。 >"3.万有引力理论的成就 知识梳理 知识点1 1.重力 知识点2 1.(1)日地间地球公转(2)月地间月球公转 知识点3 2.2061 要点突破 例1A【解析】由引力提供向心力有Gmm- R2 m2孚R,得月球质量mn-,又p=, 专R,得月球密度P识。已知周期T和引力常量 G,A正确，B、C、D错误。 变式训练1（1)乐M女(2)6x10kg 例2AD【解析】m、m2角速度相同，A正确； 方m行，B错误； Gm2=mwr=mwrn,=or,故4=1=业=2 由L=n,可得m=号私，作=m=号 m1+2 m1+m2 C错误，D正确。 26 变式训练2AC 例3A【解析】由几何关系知=V了1，任意两 3 颗星对第三颗星的引力的合力指向圆心，由对称性知三 颗星的质量一定相等，设每颗星的质量为m,2 Cmcos30° m答得m=密，它们之间的引力为F=管- 4π2P 72 7,故A正确，B、C错误，由=2m=2Y3 T3T’ D错误。故选A。 变式训练3BD 情境拓展 (1) L (2)见解析 【解析】(1)设在题图乙中拉格朗日点有一质量为 m'的物体(m'≤m),月球对其的万有引力与地球对其的 万有引力的合力，提供其绕地球做圆周运动的向心力， 自牛顿筇二定律可知g+化器mw.月球： 绕地球做圆周运动时，它们之间的引力远大于物体对月 球的引力，同理2=nL,联立解得學+ m(L+r）。 L (2)对于“日一地”系统，在太阳与地 球连线上共有3个拉格朗日点(L1、L2、L),其大概位 置如答图所示。 4⊙ 地球 太阳 情境拓展题答图 4.宇宙航行 知识梳理 知识点1 1.地球2.(1)越大(2)越小3.(1)焦点 (2)地心 知识点2 1.(1)最小速度最大速度2.地球3.太阳 知识点3 1.越小2.越小3.越大 要点突破 例1BC【解析】第一宇宙速度是最大的运行速 度，也是最小的发射速度，A错误，B、C正确，而卫 星在椭圆轨道近地点时引力不足以维持卫星做圆周运 动，速度大于第一宇宙速度，D错误。 变式训练1A 例2BD【解折】同步卫星：器m答(R