8.3用公式法求解一元二次方程第1课时（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦“用公式法求解一元二次方程”，核心涵盖求根公式推导、公式法解题步骤及根的判别式应用。课堂导入先回顾配方法步骤，通过解具体方程引导学生发现通用规律，自然过渡到推导一般形式方程求根公式，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以学生自主探究为核心，推导求根公式时让学生尝试用配方法解一般形式方程，培养抽象能力与推理意识。根的判别式通过实例（如不解方程判断根的情况、含参数方程k的取值范围讨论）发展运算能力，步骤总结（化、定、算、求）和课堂小结结构化呈现，帮助学生形成模型意识。学生能提升探究与知识结构化能力，教师可借助清晰路径和丰富实例提高教学效率。

8.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 第八章 一元二次方程 学 习 目 标 1.经历求根公式的推导过程；（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程；(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式； 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 知识回顾 用配方法解一元二次方程的步骤： ①化：二次项系数化为 ； ②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ③配方：左、右两边同时加上 ，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式； ④开方：若方程右边为负数，则方程 ，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得 ； ⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为 . 1 一次项系数一半的平方 没有实数根 x + m = x= 情境引入 问题：你能用配方法解方程2x2−7x+3=0吗？ 思考：有没有其他更简单的方法？ 解：两边同除以2,得 x2 x +=0. 移项,得 x2 x =， 配方,得 x2 x+（）2 =, 即 （x -）2 =. 两边开平方，得 x -=±, 即 x -= 或 x -=. 所以 x1=, x2 = -. 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多． 新知探究 探究一：一元二次方程求根公式的推导 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)吗？请试一试，并与同伴交流. . 移项，得 . 配方，得 . 事实上，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，因为二次项系数a≠0，所以方程两边同除以a，得 即 . 接下来能用直接开平方解吗？ 新知探究 ∵a ≠0， ∴4a2>0. 当b2-4ac ≥0时，是一个非负数，此时，两边开平方，得 ， . 即 新知探究 一元二次方程的求根公式： 知识归纳 这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当b2-4ac ≥0时，它的根是： 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 新知探究 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子: ,就得到方程的根. 知识归纳 新知探究 1.一元二次方程x2－px＋q＝0(p2－4q>0)的两个根是( ) A. B. C. D. A 新知探究 例 解方程：（1）x2-7x-18=0； （2）4x2+1=4x. 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18. ∵b2-4ac =(-7)2-4×1×(-18)=121＞0， ∴x=， 即9， (2)将原方程化为一般形式，得 4x2-4x+1=0. 这里a=4，b=-4，c=1. ∵b2-4ac =(-4)2-4×4×1=0， ∴x=， 即 探究二：公式法解一元二次方程 新知探究 公式法解方程的步骤： 1.化: 若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）; 2.定:确定a，b，c的值; 3.算: 计算b2-4ac的值; 4.求：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 知识归纳 新知探究 2.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是( ) A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝－3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝－3 D．a＝3，b＝－2，c＝3 D 新知探究 探究三：一元二次方程根的判别式 议一议 （1）你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ （2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），当b2 - 4ac < 0 时，它 的根的情况是怎样的？与同伴交流． 对于方程x2−2x+3=0，其中a=1，b=−2，c=3，b2−4ac=(−2)2−4×1×3=4−12=−8<0， 所以该方程没有实数根. 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根． 新知探究 一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系 知识归纳 由此可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 即 Δ=b2-4ac 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）， 当b2 - 4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根. , 新知探究 3.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9. (2)将原方程化为一般形式，得4x2－12x+9=0, ∴a=4，b=-12，c=9. ∴Δ=b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 解:(1)∵ a=3，b=4，c=－3, ∴Δ=b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． 典例分析 解方程：(1)x2 +7x – 18 = 0; (2)（x - 2) (1 - 3x) = 6. 例1 解：(1)这里 a=1, b= 7, c=-18. ∵ b2 - 4ac =72 – 4×1×(-18 )=121>0, 即 x1 = -9, x2 = 2 . (2)将原方程化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. ∵b2 -4ac=(-7)2 –4×3×8 =49-96 = - 47 < 0, ∴原方程没有实数根. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ） A. k＜5 B. k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 例2 典例分析 解析：由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根， ∴ ∴ k＜5且k≠1， 故选B. B 巩固练习 基础巩固题 2. 关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1 C 1.用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a，b，c依次为( ) A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1 B 3. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( ) 巩固练习 基础巩固题 B 4. 下列一元二次方程中有两个不相等实数根的是( ) A．x2－x＋＝0 B．x2＋2x＋4＝0 C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x＝0 D 巩固练习 基础巩固题 5.等腰三角形的底和腰长是方程x2－2x＋1＝0的两根，则它的周长是 ． 7.若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是 ． 6.已知关于x的方程ax2－bx＋c＝0的一个根是x1＝，且b2－4ac＝0，则此方程的另一个根x2＝ ． k≤4且k≠0 3＋1 巩固练习 基础巩固题 8.用公式法解下列方程： (1)0.3y2＋y＝0.8； (2)6x2－11x＋4＝2x－2. 解：(1)移项，得0.3y2＋y－0.8＝0， a＝0.3，b＝1，c＝-0.8， Δ＝b2-4ac＝12-4×0.3×(-0.8)＝1.96. ∴ (2)原方程可化为6x2－13x＋6＝0， a＝6，b＝-13，c＝6. Δ＝b2－4ac＝(-13)2-4×6×6＝25. ∴ 巩固练习 基础巩固题 9.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)∵1为原方程的一个根， ∴1＋a＋a－2＝0. ∴. 将代入方程，得x2＋x－＝0. 解得. ∴ a的值为，方程的另一个根为. (2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中， Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 课堂小结 用公式法求解一元二次方程1 求根公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),当b2-4ac ≥0时,它的根是：（求根公式） 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 公式法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 1.化; 2.定;3.算;4.求. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）， 当b2 - 4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根. b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 感谢聆听! $