8.2用配方法求解一元二次方程第1课时（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦直接开平方法及二次项系数为1的配方法，通过回顾平方根、完全平方公式，结合前课梯子滑动问题情境，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点是以情境问题激发探究欲，通过“议一议”“做一做”活动培养数学思维的推理与运算能力，如配方法步骤归纳体现推理意识，几何面积应用题渗透模型意识。课堂小结系统梳理方法，帮助学生构建知识体系，提升学生解决问题能力，也为教师提供结构化教学资源。

8.2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 第八章 一元二次方程 学 习 目 标 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程;（重点） 2.理解配方法的基本思路;（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点） 知识回顾 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的 .正数a的平方根记作 .读作“正、负根号a”. 平方根 1.平方根的定义是什么？ （a≥0） （a≥0） 开平方 2.开平方 3.填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 情境引入 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 x2 +12 x - 15 = 0. 我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 思考：你能解哪些特殊的一元二次方程？ 议一议 （1）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ ①x2=5； ②2x2+3=5； 新知探究 探究一：直接开平方法解一元二次方程 解:①x2=5 两边开平方，得x= ∴x1=， x2=-. ②2x2+3=5 移项，得 2x2=2 方程两边同除以2，得x2=1 两边开平方，得x= ∴x1=1， x2=-1. 根据平方根的意义,等号两边同时开平方即可求出x的值. 可以先将方程变形为x2=a的形式后再开平方. 新知探究 直接开平方法解一元二次方程： 知识归纳 （2）当a=0 时，方程x2 = a有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当a<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 =a无实数根. 一般的，对于方程 x2 = a, （1）当a>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = a有两个不等的实数根 x1=，x2=； 新知探究 1.利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=18； (2) x2－900=0； (3)（x＋1）2= 2. (2)移项,得 x2=900 两边开平方,得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. (3)两边开平方，得 x+1=, 即x+1=或x+1=, ∴x1=, x2=－. 解:(1)两边开平方,得 x=, ∴ x=, ∴x1=, x2=－. 将x+1看成一个整体. 新知探究 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0）的形式的方程，可得方程的根为x=或mx＋n=. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当a为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 应用直接开平方法解一元二次方程的注意事项： 知识归纳 ①x2+2x+1=5； ②（x+6）2+72=102. （1）你还能用直接开平方法解下列一元二次方程吗？如何将方程变形为x2=a的形式呢？ 议一议 新知探究 探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 可以利用完全平方公式将等号左边变形. 解：①x2+2x+1=5 (x+1)2=5 开平方,得 x+1= 即x+1=或x+1= ∴x1=1， x2=-. ②（x+6）2+72=102 (x+6)2=102-72 (x+6)2=51 开平方,得 x+6= 即x+6=或x+6= ∴x1=6， x2=. 新知探究 （2）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 我们可以将方程x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51， 两边开平方，得 x+6= 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=6， x2=. 方程(x+6)2+72=102 的一般形式. 这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为 ( x + m) 2 = n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 新知探究 做一做 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+ = ( x + 6) 2 ； x2-4x+ = ( x - ) 2 ； x2+8x+ = ( x + )2． 思考：在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？ 62 22 2 42 4 新知探究 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. x2+ax+( )2=(x+ )2 思考：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 配方的方法: 知识归纳 新知探究 怎样解方程: x2+8x-9=0？ 想一想 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9, 两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得 x2+8x+42=9+ 42， 即 （x+4)2=25, 可以变形成(x+n)2=a的形式后开平方求解. 两边开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5，或x+4=5， 所以 x1=1，x1=9. 移项 配方 开方 求解 新知探究 配方法的关键： 像上面这样通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的定义: 知识归纳 在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 新知探究 可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根 知识归纳 （2）当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个相等的实数根x1=x2=m； （3）当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n无实数根. 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, （1）当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个不等的实数根 x1=，x2=m； 新知探究 2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 B 典例分析 用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16. 例1 解：(1)移项，得x2＝16. 两边开平方,得x＝±4， 所以 x1＝4，x2＝－4. (2)移项，得3x2＝27. 两边同时除以3，得x2＝9. 两边开平方,得x＝±3， 所以 x1＝3，x2＝－3. (4)两边开平方,得2y－3＝±4， 即2y－3＝4或2y－3＝－4， 所以 y1＝，y2＝－. (3)两边开平方,得 x－2＝±3， 即x－2＝3或x－2＝－3， 所以 x1＝5，x2＝－1. 用配方法解方程：x2＋2x－1＝0. 例2 典例分析 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2， 即(x＋1)2＝2. 开平方，得x＋1＝±. 解得x1＝－1，x2＝－－1. 巩固练习 基础巩固题 1.下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A． x2＝4 B．4 x2－4x －3＝0 C． x2－3x ＝0 D． x2－2x －1＝9 A C. 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=;x2= D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 2.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2=-2,解方程，得x=± B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D 巩固练习 基础巩固题 3.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为　(　　) A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　   　D.(x+3)2＝3 4.用配方法解方程x2-3x-3＝0时，配方结果正确的是(   )   A.(x-3)2＝3 B.(x-)2＝3 C.(x-3)2＝ D.(x-)2＝ 5.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k，则 b，k的值分别为( ) A.6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13 A D C 8.把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的的形式后，h= ，k= . 巩固练习 基础巩固题 6.若关于x的一元二次方程(x-3)2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）. 25 7.把x2-4x+1化为(x+h)2+k（其中h，k是常数）的形式，是 . 3 (x-2)2-3 6 巩固练习 基础巩固题 (2)方程两边都除以3，得(x＋1)2＝， 开平方，得x＋1＝± ， 即x＋1=或x＋1 ∴x1＝－，x2＝－. 　　 9.解下列方程： (1)(3x＋2)2＝25； (2)3(x＋1)2＝； 解：(1)开平方，得3x＋2＝ ± 5， 即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5， ∴x1＝1，x2＝－. 巩固练习 基础巩固题 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. （3）x2+4x-9=2x-11； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. （4）x(x+4)=8x+12； 10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ A C B P Q 巩固练习 基础巩固题 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．   整理，得x2-14x+24=0, 即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2， x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 一般的，对于方程 x2 = a, (1)当a>0 时,方程有两个不等的实数根x1=,x2=; (2)当a=0 时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0； (3)当a<0 时,方程无实数根. 课堂小结 用配方法求解一元二次方程1 直接开平方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 理论依据:平方根的意义. 适用范围：能转化为x2=a或（mx＋n）2= a(a≥0)的形式的方程. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 步骤：移项、配方、开方、求解. 关键：在形如的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 感谢聆听! $