8.6应用一元二次方程第2课时（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦应用一元二次方程解决营销与增长率问题，通过新华商场冰箱销售情境导入，先回顾列方程步骤及利润公式，再以简单计算问题搭建支架，衔接旧知与新知探究。 其亮点在于以真实情境驱动学习，突出数学模型意识，提炼“总利润=单件利润×销量”“a(1±x)^n=b”等核心公式，培养学生用数学思维分析等量关系的能力。例题练习层次分明，助力学生提升实际问题转化能力，也为教师提供结构化教学资源。

8.6 应用一元二次方程 第2课时 第八章 一元二次方程 学 习 目 标 1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及增长率问题；（重点、难点） 2.进一步培养将实际问题转化为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 知识回顾 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？ (1)“审”，审清题意，找出等量关系； (2)“设”，设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)“列”，列一元二次方程； (4)“解”，解一元二次方程； (5)“验”，检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)“答”，作答. 2.利润问题中的常见公式: ①利润=售价 – 进价=进价× ； ②利润率= ×100%； ③总利润= ×销量. 利润率 利润 单价利润 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元. 调查发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台. 情境引入 问题：当销售价为2700元时，平均每天能多售出多少台？此时每天的的利润是多少元？ 解：（台）， 16×（2700-2500）=3200（元） 所以当销售价为2700元时，平均每天能多售出16台，此时每天的的利润是3200元. 新知探究 探究一：利用一元二次方程解决营销问题 例1：新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时，平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是 元，每台冰箱的销售利润为 元，平均每天销售冰箱的数量为 台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决. （2900 - x） （2900- x -2500） （8+4） 新知探究 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 ( 2900 – x – 2500 )( 8 + 4× ) = 5000. 解这个方程，得 x1 = x2 = 150. 2900 – 150 = 2750(元). 所以，每台冰箱应定价为 2750 元. 化简 x2-300x+22500=0 因式分解法解方程更简便. 新知探究 做一做 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个. 调查发现，售价在 40元至 60元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个. 为了实现平均每月 10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 涨价后每个台灯的利润 × 总销量= 10000 元 主要等量关系为： 解：设每个台灯上涨 x 元，则售价为( x + 40 )元， 根据题意，得(40 + x – 30)( 600 – 10x ) = 10000. 解得x1 = 10，x2 = 40(不合题意，舍去). 售价：40 + 10 = 50 (元)；进货量：600 – 10×10 = 500 (个). 答：每个台灯的售价定为 50 元，这时应购进台灯 500 个. 化简 x2-50x+400=0 新知探究 利润问题: 知识归纳 单件利润 = 售价 - 成本（成本为固定值，售价变化会直接影响单件利润）； 总销量 = 原销量 ± 因售价变化增减的销量（通常 “降价则销量增加，涨价则销量减少”，需根据题目条件确定增减幅度）； 总利润 = 单件利润 × 总销量（这是列方程的核心等量关系，题目常以 “总利润达到某一数值” 为目标，据此建立方程）。 新知探究 1.某商场购进一批商品，每件进价为8元，若售价为13元，每天可卖出48件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价0.5元，每天可多卖出2件，现在商家要使每天销售利润达到168元，则商家应将售价定为多少元？设定价为x元，则每件商品获利 元；此时定价相对13元降低 元，销售量应变为 件.故可列方程 . （x-8） （13-x） （48+） （x-8）（48+）=168 新知探究 探究二：利用一元二次方程解决增长率问题 例2：某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率； 下降率x 第一次降低前的量 400(1-x) 第一次降低后的量 400 下降率x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 400(1-x)(1-x) 400(1-x)2 分析： 新知探究 （2）361×（1-5%）＝ 342.95（万元）. 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95 万元. (2)请你预测4月份该公司的生产成本. 解： （1）设该公司每个月生产成本的下降率为x， 根据题意，得400(1-x)2 ＝ 361. 解得x1 ＝ 5%， x2 ＝ 1.95>1（不合题意，舍去）. 答：每个月生产成本的下降率为5%. 直接开平方法解方程更简便. 新知探究 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意，得 400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率． 做一做 注意：增长率不可为负，但可以超过1. 新知探究 增长率(或下降率)问题： 知识归纳 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 2.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( ) A．16(1＋2x)＝25 B．25(1－2x)＝16 C．16(1＋x)2＝25 D．25(1－x)2＝16 新知探究 D 新知探究 议一议 利用方程解决实际问题的关键是什么？ 利用方程解决实际问题，关键是从实际情境中准确找出 “等量关系”。 无论是利润问题中 “总利润 = 单件利润 × 总销量”，还是增长率问题中 “最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)²”，或是几何问题中 “周长 / 面积公式” 等，所有方程的构建都依赖于这一核心 —— 将题目中隐含的、表示数量之间相等关系的语句转化为数学等式。只有先找准等量关系，才能确定未知数、列出方程，进而解决问题。 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？ 例1 典例分析 解：设每张贺卡应降价 x 元，根据题意，得 (0.3－x) (×200＋500) ＝180. 解这个方程，得 x1＝0.1，x2＝． 又因为摊主想尽快减少库存，所以减得越多，卖得越多．所以在盈利相同的情况下选择降价 0.1 元更合适． 典例分析 某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率. 例2 解：设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 x， 根据题意，得 2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100. 解这个方程，得 x1=0.2，x2= -3.2(舍去)． 所以，该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 20％． 2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么 ( ) A．50(1＋x2)＝196　 B．50＋50(1＋x2)＝196x C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 巩固练习 基础巩固题 C 1.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( ) A.80(1-x²)=60 B.80(1-x)²=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 B 巩固练习 基础巩固题 3.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 A 4.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 D 巩固练习 基础巩固题 5.一个农业合作社以 64000 元的成本收获了某种农产品 80 t，目前可以以 1200 元/t 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用 1600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期后出售这批农产品可获利 122000 元？ 解: 设储藏 x 个星期后出售这批农产品可获利122000元， 根据题意，得 (1200＋200x)(80－2x)－1600x ＝ 122000 ＋64000. 解这个方程，得 x1＝x2＝15． 所以，储藏 15 个星期出售这批农产品可获利 122000元． 巩固练习 基础巩固题 6.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; 巩固练习 基础巩固题 (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 课堂小结 应用一元二次方程2 营销问题 常用公式： 单件利润=售价-成本； 总销量=原销量±因售价变化增减的销量； 总利润=单件利润×总销量. 增长率问题 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 感谢聆听! $