2025年12月重庆市重点高中强基自主招生提前招初联数学试题

重点高中强基自主招生提前招数学试卷 初联数学试题 (考试时间：120分钟总分150分) 一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1,三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那 么不同的购书方案有() A.9种 B.10种 C.11种 D.12种 2.已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y=二(x>O)的图象上，位于第二象限的点 B在反比例函数y=-4(x<0)的图象上，且OA⊥OB,则tan∠AB0的值为() A B. C.1 D.2 3.设[门表示不超过实数的最大整数，令仍=1-同.已知实数x调足？+=18，则树+母- () A.2 B.3-V5 c.3-) D.1 4.满足等式(2-m)m-m-2=1的所有实数m的和为（) A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1,连接AE,与CD交于点F, 连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为( A.6 3 B.5 C.26 D.25 3 3 3 6.若实数a,b,c满足等式2√a+3bl=6,4Wa-9b=6c,则c可能取的最大值为（) A.0 B.1 C.2 D.3 7.在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB=7,AC=8,则BC=() A.7V2 B.10 C.√105 D.7N3 8.如图，设AD、BE、CF为三角形ABC的三条高，若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为 (）. B A.18 B.4 5 C 5 09 9.已知x,少，2满足2=3=5 y-22+x, 则x-之值为(). y+2z A.1 B c月 D月 10.已知△ABC的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值 为() A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知△MBC的顶点A、C在反比例函数)-5（(s0的图象上，∠MCB=90,∠ABC=30,B1: 轴，点B在点A的上方，且AB=6,则点C的坐标为 12.己知锐角△ABC的外心为O,AO交BC于D,E、F分别为△ABD、△ACD的外心，若AB>AC, EF=BC,则∠C-∠B= E A OF o 13.使得不等式7<什<对唯一的整数k成立的最大正整数”为 14.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n(n>2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小 正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则”= 15.在△ABC中，已知AB=AC,∠A=40°，P为AB上一点，∠4CP=20,则BC= AP 16.能使2”+256是完全平方数的正整数n的值为 x3+y3=19 17.已知实数x,y满足方程组 则x2+y2= x+y=1 18.已知a,b是正整数，且满足2 是整数，则这样的有序数对(a,b)共有 对. 19.已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且m+n≤1.设 满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,9,则p+9=_一 20.设x=2一a是x的小数部分，b是-x的小数部分，则d++3ab= 三.解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 21.(12分)已知m,n,p为正整数，m<n.设A(-m,0),B(n,0),C(0,p),O为坐标原点.若 ∠ACB=90°，且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC). (1)证明：m+n=p+3: (2)求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式 22.(14分)设整数a,b,c(a2b≥c)为三角形的三边长，满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13,求符合 杀件且周长不超过30的三角形的个数. 23.(14分)已知a是正整数，如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数， 求a的值及方程的整数根 24.(14分)己知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN 分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB, H B M 25.（16分)已知a2+b=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,不等式 a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0(1)恒成立，当乘积ab取最小值时，求a,b的值. 数学参考答案 一，选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分) 1.C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算. 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a,b,C,根据题意得： a+b+c=30 10a+15b+20c=5001 b=20-2a 整理得： 1c=10+a 于是a有11种可能的取值（分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）· 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c, ∴.不同的购书方案共有11种. 故选：C. 2.A 【分析】作BD⊥x轴，AC⊥x轴.易得△ACOAODB, 设4》引 得到 0C=aAC=。0D=-6BD=分，求得a=子，根据三角函数的定义即可得到结论. 2 h 【详解】解：如图，作BD⊥x轴，AC⊥x轴. D O C OA⊥OB, ∴.∠AOB=90°， ,∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°， ∴.∠OAC=∠BOD ∴.△ACO∽aODB, ..OAOC AC OB BD OD' 1） 4 设4a- 0C=4C=,OD=-b,BD=-4, a 1 4号 ∴.ab=-2(正值已舍去)， 2 ∴.tan∠ABO= OA OC a OBBD4s、/ 4-2 b b 故选：A. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是 正确作出辅助线，构造相似三角形， 3.D 【释设÷o则+(+宁-3-a- 所以a(a2-3)=18,因式分解得(a-3)(a2+3a+6)=0,所以a=3 由x+女3解得x=0±，显然0<倒<1,0<得<1，所以树+母-】 4.A 【详解】当2-m=1即m=1时，满足所给等式： 当2-m=-1即m=3时，(2-m)m-m-2=(-1)=1,满足所给等式： 当2-m≠±1即m≠1且m=3时，由己知等式可得：m2-m-2=0且2-m≠0，解得m=-1. 因此，满足等式(2-m)m-2=1的所有实数m的和为1+3+(-1)=3. 5.D 【分析】利用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF,进而得出FG是△DCP的中位线，得出 DG=GP=PE=DE=9再利用勾股定理得出BG的长即可. 【详解】解：过点C作CP∥BG,交DE于点P. 0 G B C .'BC=CE=1, .CP是△BEG的中位线， P为EG的中点. 又，AD=CE=I,AD∥CE, 在△ADF和△ECF中， [∠AFD=∠EFC .{∠ADC=∠FCE, AD=CE .△ADF≌△ECF(AAS), ∴.CF=DF,又CP∥FG, ∴.FG是△DCP的中位线， .G为DP的中点. .'CD=CE=1, DE=√2， DG-GP=PE-DE= 3 连接BD,则∠BDC=∠EDC=45°， 所以∠BDE=90°. 又BD=√2， ∴.BG=VBD2+DG2 2+2=25 2+ 9 3 故选：D. 【点晴】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出 正确辅助线是解题关键 6.C 【详解】解：由已知，6c=4√ā-9bl=(2Vā+3b-15bl=12-15bl≤12，∴c≤2. 7.C 【详解】延长CA至D,使AD=AB,则∠D=∠ABD=号∠CAB=∠C,所以△CBD-△DAB, 所以BDCD 6品，故BD2=AB-CD=7x8+7)=105,所以BD=0. 又因为∠C=∠D,所以BC=BD=V1O5, 8.D 【分析】由三条高线，易得B、C、E、F四点共圆，于是△MEF∽△MBC,再由对应边的比和锐角三 角函数的性质，可求得答案 【详解】因为AD、BE、CF为三角形ABC的三条高，易知B、C、E、F四点共圆， 于是△MEF∽△MBC, 故A5=EF3 AC BC5' 即cos∠BAC=亏' 3 所以sin∠BAC=4 在Rt△ABC中， BE=ABsin.∠BAC=6x4=24 55 故选D 【点睛】本题考查了考查了直角三角形的性质和锐角三角函数的性质以及相似三角形的判定与性 质，是一道根据直角三角形的性质结合三角函数求解的综合题，要注意圆的性质应用：要注意数形结 合思想的应用. 9.B 【分析】设23=51 xy-2z+x,则X=2k,y=6k,x=3k.代入 5x一y求值即可 y+2z 【详解】设2=3=5=1 x y-z z+x k 则x=2k,z+x=5k, .z=3k,y-z=3k, y=6k, 则3x-y=5x2k-6k1 y+2z6k+2×3k31 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键 10.B 【分析】设△ABC的面积为S,所求的第三条高线的长为h,根据三角形面积公式可知三边长分别为 二、。、，然后根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可确定第三条高的长的最 大值. 【详解】解：设△ABC的面积为S,所求的第三条高线的长为h, 则三边长分别为25、2S、28 5、20、h, 「2S,2S、2S 根据三角形的三边关系为 20 ,2S、2S 20 > 20 解得4<h< 3 所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6. 故选：B. 【点晴】本题主要考查了三角形的面积公式、三角形三边关系及不等式组的解法，利用三角形的面积 公式，表示出△ABC三边的长度，从而运用三角形三边关系列出不等式组是解题的关键， 二、填空题 （本题共10小题，每小题4分，共40分) 11. 92 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解方程组、解直角三角形，过点C作CD⊥AB于 点D,解直角三角形求出BC、BD、CD,得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可. 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D, AY :在Rt△ACB中，BC=AB.Cos∠ABC=3V, .在RtaBCD中，CD=BC.sin B= 3V5 BD=BC-cosB-9 2 3 ∴AD=AB-BD= 2 设c0m点. ,5 依题意知n>m>0,故CD=n-m,AD=5_5 m n 3V3 n-m= 于是 5_3 m m=-25 m= ⑤ 解得： 2, 1 (舍去)， n=2v3 n-2 5-5 即m5 2 2 故点C的坐标为 ,2) 故答案为： ,2 2 12.60° 【详解】作EM⊥BC于点M,FN⊥BC于点N,FP⊥EM于点P :E、F分别为△ABD、△ACD的外心，∴.M、N分别为BD、CD的中点又EF=BC, .PF=MN=2BC=EF,∠PEF=30° 2 又EF L AD,EM⊥BC,∠ADC=∠PEF=30°. 又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+80P-2∠C)=0+∠B-∠C, .∠C-∠B=90°-∠ADC=60°. MMD 13.144 【详解1由条件得号会号由的唯一性，得片号且出号所以子行-分号名方 n9 8nn-n29872 所以n≤144. 当n=144时，由 <<8可得126<k<128,k可取唯一整数值127. 8n9 故满足条件的正整数n的最大值为144， 14.8 【详解】只有一个面染红色的小正方体的总数为6(-2)？个，任何面均不是红色的小正方体的总数为 (n-2)个，由题意知6(n-2)=(n-2)°，解得n=8 15.5 【详解】解：作AD L BC于点D,则点D是BC的中点，在△ABC外作∠CAE=20°，则∠BAE=60°， 作CE⊥AE,PF⊥AE,则CE=CD(角平分线的性质)， [AC=AC 在△4CE和aACD中，CE=CD' ∴.△ACE≡△ACD(HL), 所以cE=c0c. 又因为PF=PAsin∠BME=PAsin60=5AP,PF=cE, 2 所以 之AP LBC' 因此BC=5. AP 故答案为：√5. 16 【详解】当n<8时，2”+256=2”（1+28-")，若它是完全平方数，则n必为偶数 若n=2,则2"+256=22×65：若n=4,则2"+256=24×17；若n=6,则2"+256=2×5；若n=8, 则2"+256=2×2. 所以，当n≤8时，2"+256都不是完全平方数， 当n>8时，2”+256=2(2-8+1)，若它是完全平方数， 则2-8+1为一奇数的平方. 设2-8+1=(2k+1)2（k为自然数)，则2-10=k(k+1). 由于k和k+1一奇一偶，所以k=1,于是2-0=2，故n=11. 17.13 【详解】解： x2+y2=19Jx2+y2-y=19」 r+y=1 S. x2+y2+2y=1→x+y2=13 18.7 【分折】起2微在根号下，得出酒面，2（臣厚 a b )是整数，a、b的值进行讨论，使V6@ a 和60为整数或和为整数，从而得出答案. b 【】（侣停 广a 6@ ∴.当a、b的值为15,60， 135,240,540时， 1515 当a=15,b=15时，即2( +b a )=4: 当a=60,b=60时，即2( 15.15 后+6 )=2: 当a=15,b=60时，即2( 15.15 )=3: 当a=60,b=15时，即2( 15,15 Va+vb =3: 当a=240,b=240时， )=1: 当a=135,b=540时，即2( 5 硒 ）=1: 当a=540,b=135时，即2( 的 ）=1: 综上可得共有7对. 故答案为7. 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出、b可能的取 值. 1 19.2 【详解】解：根据题意，m,n是一元二次方程x2+am+b=0的两根， 所以m+n=-a,mn=b. m+n≤1， ∴.m+n≤ml+nls1,m-nl≤m+n≤1. 方程x2+a+b=0的判别式A=a2-4b≥0， :6e四+n心s好 44 ∴.4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≥(m+n)2-12-1,