7.2幂的乘方与积的乘方（4个知识点+7类题型+巩固练习）-2025-2026学年苏科版七年级数学下册

本讲义聚焦“幂的乘方与积的乘方”核心知识点，系统梳理幂的乘方法则及逆用、积的乘方法则及逆用4个要点，通过思维导图构建知识脉络，明确法则表述、公式推广及易错点提示，形成从基础理解到灵活运用的学习支架。 资料设计7类分层题型，含典例解析与变式训练，覆盖基础计算、逆用转化、混合运算、实际应用及新定义问题，助力学生提升运算能力与推理意识，如比较幂的大小需逆用公式培养创新思维，课中辅助教学高效，课后巩固练习帮助查漏补缺。

7.2幂的乘方与积的乘方（4个知识点+7类题型+巩固练习） 思维导图 知识要点 知识点01幂的乘方 幂的乘方法则 数学语言：(其中都是正整数). 语言表述：底数不变，指数相乘． 公式推广： (，均为正整数) 注意事项：① 底数是“幂的底数”，而非整个幂的符号（若含负号） ② 严格区分与同底数幂乘法的法则，前者是“指数相乘”，后者是“指数相加” ③ 公式推广中，多层乘方需将所有指数依次相乘，不可遗漏任意一层指数。 知识点02 幂的乘方公式的逆运用 数学语言： 语言表述：底数不变，将指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式。 知识点03 积的乘方 数学语言： (其中是正整数). 语言表述：积的乘方，把积的每一个因式都分别乘方，然后把所得的幂相乘. 公式推广： (为正整数). 知识点04 积的乘方的逆运用 数学语言： 语言表述：几个因式的同次幂相乘，等于这几个因式乘积的同次幂。 题型演练 题型01 幂的乘方公式计算 【典例】计算（x3）4的结果是（　　） A．x7 B．x12 C．x81 D．x64 【变式训练】 1．计算：（﹣a3）2＝　 　 ． 2．计算：（﹣a2）3•（﹣a3）2． 3．计算 （1）b•（﹣b）2+（﹣b）•（﹣b）2． （2）（a﹣b）2（b﹣a）3． （3）a3•（﹣a）3+（﹣a3）2． （4）a2•a4+a3•a3+（a3）2． 4．计算：a2•a4﹣（2a3）2+3（﹣a2）3． 题型02 幂的乘方公式的逆运用 【典例】若6m＝3，6n＝5，则62m+3n的值为（　　） A．21 B．90 C．134 D．1125 【变式训练】 1．若3m•3n＝35，（xm）2＝x4，则mn的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n的值为 　 　 ． 3．若am＝4，an＝3，则a2m+n的值为（　　） A．7 B．12 C．24 D．48 4．已知ax＝3，求a4x的值． 题型03 积的乘方公式计算 【典例】计算（2a）3的结果是（　　） A．6a3 B．8a C．2a3 D．8a3 【变式训练】 1．下列计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a3+a＝a3 C．a3•a2＝a5 D．（3a）3＝9a3 2．已知am＝2，an＝5，求：①am+n的值；②a2m的值． 3．计算： （1）（﹣3×104）3； （2）； （3）84×256． 题型04 积的乘方的逆运用 【典例】计算的结果等于（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 【变式训练】 1．计算（）2025×（﹣0.5）2024×（﹣3）2024的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 2．运用公式简便计算：•（）2020． 3．计算：（）100×（1）100×（0.5×3）2019×（﹣2）2020． 题型05 幂的乘方与积的乘方的混合运算 【典例】已知n为正整数，且xm＝2，xn＝3， （1）求x2m+3n的值； （2）（2xm）2﹣（x3）n的值． 【变式训练】 1．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 2．若3m+2n﹣4＝0，求8m×4n的值． 3．（1）若xm＝2，xn＝3，求x3m+2n的值． （2）若2×8x×16x＝222，求x的值． 4．若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．试利用该结论求x的值：3×9x×81＝321． 5．计算： （1）若a+3b＝4，求3a×27b的值； （2）若2x＝3，求（23x+2•22x）的值． 题型06 比较幂的大小 【典例】用幂的运算知识，你能比较出2444、3333和4222的大小吗？并说明理由． 【变式训练】 1．若a＝355，b＝444，c＝533，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 2．已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 3．已知a＝355，b＝444，c＝533，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c 4．请看下面的解题过程： “比较2100与375大小，解：∵2100＝（24）25，375＝（33）25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”． 请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法． 题型07 实际问题中的应用 【典例】球体表面积的计算公式为S＝4πr2，地球可以近似地看成一个球体，其半径r约为6.4×106米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，π取3）． 【变式训练】 1．如图，用4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片拼成一个大正方形后，中间恰好是一个小正方形．若大正方形的边长为7，长方形纸片的面积为12． （1）求中间小正方形的边长； （2）若长方形纸片的长和宽各增加1，求此时长方形纸片的面积； （3）求4a•8b÷2ab+b的值． 2．数学课上老师与同学们一起利用球体的体积公式Vπr3计算出地球的体积约是9.05×1011km3，接着老师问道：“太阳也可以看作球体，它的半径是地球的102倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢”同学们马上计算起来，不一会儿，小红、小刚、小明的答案出来了：小红的答案是9.05×1013km3，小刚的答案是9.05×1015km3，小明的答案是9.05×1017km3．他们的答案谁的正确呢？请你判断一下． 题型08 新定义问题 【典例】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，16）＝　 　 ，（﹣3，81）＝　 　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题： ①计算（9，100）﹣（81，10000）； ②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系． 【变式训练】 1．（1）规定a*b＝2a×2b，求： ①求（﹣4）*0的值； ②若2*（x+1）＝32，求x的值． （2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值． 2．在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题： （1）若9x＝312，求x的值． （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 巩固练习 1．若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 2．下列等式错误的是（　　） A．（2mn）2＝4m2n2 B．（﹣2mn）2＝4m2n2 C．（2m2n2）3＝8m6n6 D．（﹣2m2n2）3＝﹣8m5n5 3．比较255、344、433的大小（　　） A．255＜344＜433 B．433＜344＜255 C．255＜433＜344 D．344＜433＜255 4．若k为正整数，则（　　） A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k 5．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 6．（﹣0.125）2018×82019等于（　　） A．﹣8 B．8 C．0.125 D．﹣0.125 7．已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log323＝3log32； ③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0； ④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．4 B．3 C．2 D．1 9．若a3m+n＝54，am＝3，则an＝　 　 ． 10．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　 　 ． 11．化简：（﹣a2b3）3＝　 　 ． 12．3108与2144的大小关系是　 　 ． 13．已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的　 　 （按运算顺序填序号）． 14．若2x×8y＝64，若0＜x≤3，则y的取值范围是 　 　 ． 15．若3m＝a，3n＝b，其中m，n为正整数，则32m+3n+1＝ 　 　 ．（用含有a，b的式子表示） 16．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　 　 立方厘米． 17．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝　 　 ． 18．计算： （1）x3•x•（﹣x）2 （2）a3•（﹣a2）3 （3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2 （4）（）2018×（1）2019 19．（1）若4a+3b＝3，求92a•27b． （2）已知3×9m×27m＝321，求m的值 20．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝　 　 ，（2，）＝　 　 ； （2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c； （3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值． 21．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（　 　 ） 23﹣22＝ 　 　 ＝2（　 　 ）， 24﹣23＝ 　 　 ＝2（　 　 ）， …… （1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 22．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值； （2）若2×4x×8x＝216，求x的值． 23．基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！ ①如果2×8x×16x＝222，求x的值； ②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值． 24．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 25．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2． （1）根据上述规定，填空：2※16＝　 　 ，　 　 ※36＝﹣2； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明； 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：5※7+5※9＝5※63； ②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝　 　 ※　 　 （结果化成最简形式）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2幂的乘方与积的乘方（4个知识点+7类题型+巩固练习） 思维导图 知识要点 知识点01幂的乘方 幂的乘方法则 数学语言：(其中都是正整数). 语言表述：底数不变，指数相乘． 公式推广： (，均为正整数) 注意事项：① 底数是“幂的底数”，而非整个幂的符号（若含负号） ② 严格区分与同底数幂乘法的法则，前者是“指数相乘”，后者是“指数相加” ③ 公式推广中，多层乘方需将所有指数依次相乘，不可遗漏任意一层指数。 知识点02 幂的乘方公式的逆运用 数学语言： 语言表述：底数不变，将指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式。 知识点03 积的乘方 数学语言： (其中是正整数). 语言表述：积的乘方，把积的每一个因式都分别乘方，然后把所得的幂相乘. 公式推广： (为正整数). 知识点04 积的乘方的逆运用 数学语言： 语言表述：几个因式的同次幂相乘，等于这几个因式乘积的同次幂。 题型演练 题型01 幂的乘方公式计算 【典例】计算（x3）4的结果是（　　） A．x7 B．x12 C．x81 D．x64 【解答】解：（x3）4＝x12， 故选：B． 【变式训练】 1．计算：（﹣a3）2＝a6 ． 【解答】解：（﹣a3）2＝a6． 2．计算：（﹣a2）3•（﹣a3）2． 【解答】解：原式＝﹣a6•a6＝﹣a12． 3．计算 （1）b•（﹣b）2+（﹣b）•（﹣b）2． （2）（a﹣b）2（b﹣a）3． （3）a3•（﹣a）3+（﹣a3）2． （4）a2•a4+a3•a3+（a3）2． 【解答】解：（1）b•（﹣b）2+（﹣b）•（﹣b）2， ＝b3﹣b3， ＝0； （2）（a﹣b）2（b﹣a）3， ＝﹣（a﹣b）2（a﹣b）3， ＝﹣（a﹣b）5； （3）a3•（﹣a）3+（﹣a3）2， ＝﹣a6+a6， ＝0； （4）a2•a4+a3•a3+（a3）2， ＝a6+a6+a6， ＝3a6． 4．计算：a2•a4﹣（2a3）2+3（﹣a2）3． 【解答】解：原式＝a6﹣4a6+（﹣3a6） ＝﹣6a6． 题型02 幂的乘方公式的逆运用 【典例】若6m＝3，6n＝5，则62m+3n的值为（　　） A．21 B．90 C．134 D．1125 【解答】解：∵6m＝3，6n＝5， ∴62m＝（6m）2＝32＝9，（63n）＝（6n）3＝53＝125， ∴62m+3n ＝62m•63n ＝9×125 ＝1125， 故选：D． 【变式训练】 1．若3m•3n＝35，（xm）2＝x4，则mn的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：∵3m•3n＝35， ∴3m+n＝35， ∴m+n＝5， ∵（xm）2＝x4， ∴x2m＝x4， ∴2m＝4， ∴m＝2， ∴2+n＝5， ∴n＝3， ∴mn＝23＝8， 故选：C． 2．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n的值为 　32　 ． 【解答】解：∵2m+3n＝5， ∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32． 故答案为：32． 3．若am＝4，an＝3，则a2m+n的值为（　　） A．7 B．12 C．24 D．48 【解答】解：∵am＝4，an＝3， ∴a2m+n＝（am）2×an ＝42×3 ＝48． 故选：D． 4．已知ax＝3，求a4x的值． 【解答】解：∵ax＝3， ∴a4x ＝（ax）4 ＝34 ＝81． 题型03 积的乘方公式计算 【典例】计算（2a）3的结果是（　　） A．6a3 B．8a C．2a3 D．8a3 【解答】解：（2a）3＝8a3； 故选：D． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a3+a＝a3 C．a3•a2＝a5 D．（3a）3＝9a3 【解答】解：A、（a2）5＝a10，此选项错误； B、a3+a＝a3+a，此选项错误； C、a3•a2＝a5，此选项正确； D、（3a）3＝27a3，此选项错误． 故选：C． 2．已知am＝2，an＝5，求：①am+n的值；②a2m的值． 【解答】解：①∵am＝2，an＝5， ∴am+n＝am•an＝2×5＝10； ②∵am＝2， ∴a2m＝（am）2＝22＝4． 3．计算： （1）（﹣3×104）3； （2）； （3）84×256． 【解答】解：（1）（﹣3×104）3 ＝（﹣3）3×（104）3 ＝﹣27×1012 ＝﹣2.7×1013； （2） ＝（）2010×82010×8 ＝[（）×8]2010×8 ＝（﹣1）2010×8 ＝1×8 ＝8； （3）84×256 ＝84×254×252 ＝（8×25）4×252 ＝（2×102）4×252 ＝24×（102）4×252 ＝42×252×108 ＝（4×25）2×108 ＝（102）2×108 ＝104×108 ＝1012． 题型04 积的乘方的逆运用 【典例】计算的结果等于（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 【解答】解： ＝（﹣1）2024×5 ＝1×5 ＝5， 故选：B． 【变式训练】 1．计算（）2025×（﹣0.5）2024×（﹣3）2024的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【解答】解：（）2025×（﹣0.5）2024×（﹣3）2024 ＝（）2025×（）2024×（﹣3）2024 （）2024×（）2024×32024 （）2024 12024 ． 故选：C． 2．运用公式简便计算：•（）2020． 【解答】解：•（）2020 ＝1 ． 3．计算：（）100×（1）100×（0.5×3）2019×（﹣2）2020． 【解答】解：原式 ． 题型05 幂的乘方与积的乘方的混合运算 【典例】已知n为正整数，且xm＝2，xn＝3， （1）求x2m+3n的值； （2）（2xm）2﹣（x3）n的值． 【解答】解：（1）∵xm＝2，xn＝3， ∴x2m+3n ＝x2m•x3n ＝（xm）2•（xn）3 ＝22•33 ＝4×27 ＝108； （2）（2xm）2﹣（x3）n ＝4（xm）2•（xn）3 ＝4×22﹣33 ＝16﹣27 ＝﹣11． 【变式训练】 1．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【解答】解：（1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2 ＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2 ＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 2．若3m+2n﹣4＝0，求8m×4n的值． 【解答】解：∵3m+2n﹣4＝0， ∴3m+2n＝4， ∴8m×4n ＝（23）m×（22）n ＝23m×22n ＝23m+2n ＝24 ＝16． 3．（1）若xm＝2，xn＝3，求x3m+2n的值． （2）若2×8x×16x＝222，求x的值． 【解答】解：（1）∵xm＝2，xn＝3， ∴x3m+2n＝x3m•x2n＝（xm）3•（xn）2＝23×32＝8×9＝72； （2）∵2×8x×16x＝222， ∴2×（23）x×（24）x＝222， ∴2×23x×24x＝222， ∴21+7x＝222， ∴1+7x＝22， 解得x＝3． 4．若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．试利用该结论求x的值：3×9x×81＝321． 【解答】解：∵3×9x×81＝3×32x×34＝31+2x+4＝32x+5， ∴2x+5＝21， ∴x＝8． 5．计算： （1）若a+3b＝4，求3a×27b的值； （2）若2x＝3，求（23x+2•22x）的值． 【解答】解：（1）∵a+3b＝4， ∴原式＝3a×（33）b ＝3a×33b ＝3a+3b ＝34 ＝81； （2）∵2x＝3， ∴原式＝23x+2+2x ＝25x+2 ＝25x×22 ＝（2x）5×22 ＝35×22 ＝972． 题型06 比较幂的大小 【典例】用幂的运算知识，你能比较出2444、3333和4222的大小吗？并说明理由． 【解答】解：因为2444＝（24）111，3333＝（33）111，4222＝（42）111， 而24＝42＜33， 所以，2444＝4222＜3333． 【变式训练】 1．若a＝355，b＝444，c＝533，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【解答】解：∵355＝（35）11＝24311， 444＝（44）11＝25611， 533＝（53）1112511， 又∵125＜243＜256， ∴12511＜24311＜25611， ∴533＜355＜444． 即b＞a＞c， 故选：D． 2．已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【解答】解：∵a＝96＝（32）6＝312，b＝314，c＝275＝（33）5＝315， ∴a＜b＜c， 故选：C． 3．已知a＝355，b＝444，c＝533，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c 【解答】解：∵a＝355＝（35）11＝24311， b＝444＝（44）11＝25611， c＝533＝（53）11＝12511， 又∵256＞243＞125， ∴b＞a＞c， 故选：A． 4．请看下面的解题过程： “比较2100与375大小，解：∵2100＝（24）25，375＝（33）25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”． 请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法． 【解答】解：∵3100＝（35）20，560＝（53）20， 又∵35＝243，53＝125，243＞125， 即35＞53， ∴3100＞560． 题型07 实际问题中的应用 【典例】球体表面积的计算公式为S＝4πr2，地球可以近似地看成一个球体，其半径r约为6.4×106米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，π取3）． 【解答】解：当r＝6.4×106时， S＝4πr2＝4π×（6.4×106）2 ＝4π×（6.4）2×1012 ≈4×3×（6.4）2×1012 ＝491.52×1012， ＝4.9152×1014（平方米）． 答：地球的表面积约为4.9152×1014平方米． 【变式训练】 1．如图，用4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片拼成一个大正方形后，中间恰好是一个小正方形．若大正方形的边长为7，长方形纸片的面积为12． （1）求中间小正方形的边长； （2）若长方形纸片的长和宽各增加1，求此时长方形纸片的面积； （3）求4a•8b÷2ab+b的值． 【解答】解：∵大正方形的边长为7，长方形纸片的面积为12 ∴a+b＝7，ab＝12， （1）设中间小正方形的边长x， 依题意得：x2+4×12＝72， ∴x＝1（舍去负值）， ∴中间小正方形的边长为1． （2）长方形纸片的长和宽各增加1，则长为a+1，宽为b+1， 设此时长方形纸片的面积为S， 则S＝（a+1）（b+1）＝ab+（a+b）+1＝12+7+1＝20； （3）4a•8b÷2ab+b ＝（22）a•（23）b÷2ab+b ＝22a•23b÷2ab+b ＝22a+3b﹣ab﹣b ＝22（a+b）﹣ab ＝22×7﹣12 ＝22 ＝4． 2．数学课上老师与同学们一起利用球体的体积公式Vπr3计算出地球的体积约是9.05×1011km3，接着老师问道：“太阳也可以看作球体，它的半径是地球的102倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢”同学们马上计算起来，不一会儿，小红、小刚、小明的答案出来了：小红的答案是9.05×1013km3，小刚的答案是9.05×1015km3，小明的答案是9.05×1017km3．他们的答案谁的正确呢？请你判断一下． 【解答】解：∵V地πr3，若r代表地球的半径，则太阳的半径为：102r， ∴V太阳π（102r）3π•106•r3＝106•（πr3）， ∵V地πr3＝9.05×1011km3， ∴V太阳＝106•（πr3）＝9.05×1017（km3）． 即太阳的体积约是9.05×1017立方千米，故小明的答案正确． 题型08 新定义问题 【典例】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，16）＝　2　 ，（﹣3，81）＝　4　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题： ①计算（9，100）﹣（81，10000）； ②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵42＝42＝16， ∴（4，16）＝2， ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4， 故答案为：2，4． （2）①∵9＝32，100＝102， ∴（9，100）＝（3，10）， ∵81＝34，10000＝104， ∴（81，10000）＝（3，10）， ∴（9，100）﹣（81，10000）＝（3，10）﹣（3，10）＝0； ②∵16＝42，49＝72，（16，49）＝a， ∴（4，7）＝a，即4a＝7， ∵（4，3）＝b， ∴4b＝3， ∵42＝16，212＝441，（16，441）＝c， ∴（4，21）＝c，即4c＝21， ∴4a×4b＝4c， ∴a+b＝c． 【变式训练】 1．（1）规定a*b＝2a×2b，求： ①求（﹣4）*0的值； ②若2*（x+1）＝32，求x的值． （2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值． 【解答】解：（1）①由题意得； ②由题意得22×2（x+1）＝25， 即22+（x+1）＝25， ∴2+x+1＝5， 解得x＝2； （2）∵x2n＝4， ∴（x3n）2﹣2（x2）2n ＝（x2n）3﹣2（x2n）2 ＝43﹣2×42 ＝32． 2．在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题： （1）若9x＝312，求x的值． （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 【解答】解：（1）32x＝312， ∴2x＝12， 解得：x＝6， ∴x的值为6． （2）∵3x+2﹣3x+1＝3•3x+1﹣3x+1＝2•3x+1，3x+2﹣3x+1＝162， ∴2•3x+1＝162， ∴3x+1＝81＝34， ∴x+1＝4， 解得：x＝3， ∴x的值为3． （3）2x＝m﹣1， ∴n＝（22）x+2x ＝（2x）2+2x ＝（m﹣1）2+m﹣1 ＝m2﹣2m+1+m﹣1 ＝m2﹣m， ∴n＝m2﹣m． 巩固练习 1．若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 【解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128， ∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6 ∵x，y均为正整数， ∴或 ∴x+y＝5或4， 故选：C． 2．下列等式错误的是（　　） A．（2mn）2＝4m2n2 B．（﹣2mn）2＝4m2n2 C．（2m2n2）3＝8m6n6 D．（﹣2m2n2）3＝﹣8m5n5 【解答】解：A、结果是4m2n2，故本选项不符合题意； B、结果是4m2n2，故本选项不符合题意； C、结果是8m6n6，故本选项不符合题意； D、结果是﹣8m6n6，故本选项符合题意； 故选：D． 3．比较255、344、433的大小（　　） A．255＜344＜433 B．433＜344＜255 C．255＜433＜344 D．344＜433＜255 【解答】解：255＝（25）11＝3211， 344＝（34）11＝8111， 433＝（43）11＝6411， ∵32＜64＜81， ∴255＜433＜344． 故选：C． 4．若k为正整数，则（　　） A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k 【解答】解：（k•k）k＝（k2）k＝k2k， 故选：A． 5．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15， ∴a3mb3n＝a9b15， ∴3m＝9，3n＝15， ∴m＝3，n＝5， 故选：B． 6．（﹣0.125）2018×82019等于（　　） A．﹣8 B．8 C．0.125 D．﹣0.125 【解答】解：（﹣0.125）2018×82019＝（﹣0.125）2018×82018×8＝（﹣0.125×8）2018×8＝1×8＝8， 故选：B． 7．已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝27×3， ∴a+2c＝7，b＝1， ∵a，b，c为正整数， ∴当c＝1时，a＝5； 当c＝2时，a＝3； 当c＝3时，a＝1， ∴a+b+c不可能为8． 故选：D． 8．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log323＝3log32； ③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0； ④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0，说法①符合题意； 由于dm•dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn， 则m＝logdM，n＝logdN， 于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意； 则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意； 设p＝logab，则ap＝b， 两边同时取以c为底的对数， ，则plogca＝logcb， 所以即， 则log23， ∵log2（3﹣a）＝log827＝log23， ∴a＝0，说法③符合题意； 故选：A． 9．若a3m+n＝54，am＝3，则an＝　2　 ． 【解答】解：∵a3m+n＝（am）3•an＝54，am＝3， ∴． 故答案为：2 10．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　45　 ． 【解答】解：22x+y＝22x•2y＝（2x）2•2y＝32×5＝45， 故答案为：45． 11．化简：（﹣a2b3）3＝　﹣a6b9 ． 【解答】解：原式＝（﹣1）3a2×3b3×3＝﹣a6b9， 故答案为：﹣a6b9． 12．3108与2144的大小关系是　3108＞2144 ． 【解答】解：3108＝（33）36＝2736， 2144＝（24）36＝1636， ∵27＞16， ∴2736＞1636， 即3108＞2144． 故答案为3108＞2144． 13．已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的　③②①　 （按运算顺序填序号）． 【解答】解：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的③②①， 故答案为：③②①． 14．若2x×8y＝64，若0＜x≤3，则y的取值范围是 　1≤y＜2　 ． 【解答】解：∵8＝23，64＝26，2x×8y＝64， ∴2x×（23）y＝26，即2x×23y＝26． ∴2x+3y＝26． ∴x+3y＝6． ∴x＝6﹣3y． ∵0＜x≤3， ∴0＜6﹣3y≤3． ∴1≤y＜2． 故答案为：1≤y＜2． 15．若3m＝a，3n＝b，其中m，n为正整数，则32m+3n+1＝ 　3a2b3 ．（用含有a，b的式子表示） 【解答】解：32m+3n+1 ＝（3m）2×（3n）3×3 ＝a2×b3×3 ＝3a2b3， 故答案为：3a2b3． 16．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　1021 立方厘米． 【解答】解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm）， 故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3）， 故答案为：1021． 17．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝　　 ． 【解答】解：∵6x＝192，32y＝192， ∴6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6， ∴6x﹣1＝32，32y﹣1＝6， ∴（6x﹣1）y﹣1＝6， ∴（x﹣1）（y﹣1）＝1， ∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1 18．计算： （1）x3•x•（﹣x）2 （2）a3•（﹣a2）3 （3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2 （4）（）2018×（1）2019 【解答】解：（1）x3•x•（﹣x）2 ＝x4•x2 ＝x6； （2）a3•（﹣a2）3 ＝a3•（﹣a6） ＝﹣a9； （3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2 ＝（m﹣1）3•（m﹣1）4﹣（m﹣1）5•（m﹣1）2 ＝（m﹣1）7﹣（m﹣1）7 ＝0； （4）（）2018×（1）2019 ＝（1）2018×1 ． 19．（1）若4a+3b＝3，求92a•27b． （2）已知3×9m×27m＝321，求m的值 【解答】解：（1）∵4a+3b＝3， ∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27； （2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321， ∴1+2m+3m＝21， 解得m＝4． 20．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝　3　 ，（2，）＝　﹣2　 ； （2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c； （3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值． 【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3， ，（2，）＝﹣2， 故答案为：3；﹣2； （2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝60， ∴4a×4b＝4c， ∴a+b＝c； （3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r， ∴mp＝16，mq＝5，mr＝t， ∵（m，16）+（m，5）＝（m，t）， ∴p+q＝r， ∴mp+q＝mr， ∴mp•mq＝mr， 即16×5＝t， ∴t＝80． 21．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（　1　 ） 23﹣22＝ 　2×22﹣1×22 ＝2（　2　 ）， 24﹣23＝ 　2×23﹣1×23 ＝2（　3　 ）， …… （1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 【解答】解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝21， 23﹣22＝2×22﹣1×22＝22， 24﹣23＝2×23﹣1×23＝23， （1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24； （2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n； （3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2） ＝﹣2． 故答案为：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3 22．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值； （2）若2×4x×8x＝216，求x的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，am＝2，an＝3， ∴a3m+2n ＝a3m•a2n ＝（am）3•（an）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72； （2）∵2×4x×8x ＝2×（22）x×（23）x ＝21+2x+3x ＝216， ∴1+2x+3x＝16， 5x＝15， 解得：x＝3． 23．基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！ ①如果2×8x×16x＝222，求x的值； ②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值． 【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222， ∴1+7x＝22， ∴x＝3； ②∵2x+2+2x+1＝24， ∴2x（22+2）＝24， ∴2x＝4， ∴x＝2． 24．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　 ，D（16）＝　4　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 25．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2． （1）根据上述规定，填空：2※16＝　4　 ，　±　 ※36＝﹣2； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明； 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：5※7+5※9＝5※63； ②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝　（x﹣2）　 ※　[（y+1）（y﹣3）]　 （结果化成最简形式）． 【解答】解：（1）∵2c＝16＝24， ∴2※16＝4， ∵a※36＝﹣2， ∴a﹣2＝36， ∴a﹣2＝（±6）2， ∴a＝±． （2）①∵设5※7＝x，5※9＝y， ∴5x＝7，5y＝9， ∴5x×5y＝7×9＝63， ∴5x+y＝63， ∴5※63＝x+y， 即5※7+5※9＝5※63； ②∵3n※4n＝3※4， ∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n ＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3） ＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]． 故答案为：（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/5 14:19:26；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $