第15讲 三角恒等变换总结 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和与差、二倍角、辅助角公式及综合应用，按考情分析、公式再现、题型突破的逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生构建解题框架。 讲义突出高考考情导向，通过五年真题分析明确命题趋势，设计角拆分技巧等针对性策略，结合分层题型训练培养学生数学思维与模型观念，助力学生短时间突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第15讲三角恒等变换 一、 考向解读 考点 五年考情(2021-2025 命题趋势 1.高考对两角和 2025年全国二卷：利用二倍角余弦和两角差正弦公式求值； 与差公式考查频率 2024年新课标I卷：利用两角和余弦公式求三角函数值； 较高，主要体现在 2024年全国甲卷：弦化切及两角和正切公式的应用；2023年 利用公式进行三角 考点1：两角和 新课标I卷：和角、差角正弦及二倍角余弦公式的运用； 函数值的求解、化 与差公式 2023年全国乙卷：正弦定理边化角结合两角和正弦公式求角； 简变形以及在解三 2022年新高考全国Ⅱ卷：两角和差正余弦公式化简及同角三 角形等问题中的应 角函数关系应用； 用，是考查的热 点。 2.二倍角公式的 2025年全国一卷：二倍角公式在三角形面积相关问题中的应 考查主要集中在利 用；2024年上海卷：利用二倍角公式判断函数最小正周期； 用公式进行三角函 考点2：二倍角 2023年新课标Ⅱ卷：二倍角公式求三角函数值；2023年全 数的化简、求值以 国甲卷：向量问题中相关计算；2022年北京卷：二倍角公式化 公式 及结合其他公式解 简函数判断单调性；2021年新高考全国I卷：二倍角公式与 决函数性质等问 平方关系配方化简求值；2021年全国甲卷：二倍角公式化简求 三角函数值；2021年全国乙卷：诱导公式与二倍角公式化简； 题，在高考中考查 较为常见。 3.辅助角公式的 考查主要体现在利 用公式化简函数， 2025年北京卷：铺助角公式化简函数求最小正周期及零点相关 进而研究函数的周 考点3：辅助角 问题；2023年全国乙卷：辅助角公式在向量数量积求最值问题 期性、最值、零点 公式 中的应用；2022年北京卷：铺助角公式化简函数求数量积取值 以及在向量等问题 范围； 中的应用，有一定 的考查频率且应用 广泛。 二知识再现 1.两角和与差的正余弦与正切 ①sin(a±β)=sina cosβ±cosa sin B; ②cos(a±B)=cosa cos B干sina sin B; tana±tanB ③tan(a±B)= l千tan a tan B 2.二倍角公式 ①sin2a=2 sina cosa; 2 cos 2a cos2 a-sin2 a 2cos2a-1=1-2sin2a 第1页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 2tan a ③tan2a= 1-tan o 3.降幂公式 1 sina cosa = si:sinocos2a 2 2 4.辅助角公式 asina+beosa=a2+B2sin(a+p）（共中 b a sin =cOS (= tan = Va2+b2 Va2+b2 【常用结论】 1.三角函数类型的题目出现平方相关的式子，就他俩中的一个，降幂用的多！ ①sin20+cos20=1 ②sin2a= 1-cos 2a ,c0s2a= 1+cos 2a 2 2 2角的诉分钱g0a=a+0f;@a=月-(B-a):®异+a=号--a). 题型一两角和差的正余弦、正切公式 一、单选题 1.sin70°sin10°+c0sl0°c0s70°=() A.号 B月 C. √5 D.3 2 2 2.sin20°cos10°-cosl60°sinl0°的值为() A. C. D.、 2 3.在平面直角坐标系中，已知点P3,用为角0终边上一点，若c0sa+B)=了B∈(0，)，则cosB= () A.3-8V2 B.3+8V2 C.4+6V2 D. 6V2-4 15 15 15 15 则sina的值为() A.3-4V5 B.3+4V5 c.3-25 D. 3+2V3 10 10 10 10 第2页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 5.若a,B都是锐角，且cosa=5, sin(aB)=v,cosB=() 10 A.② B.② c.-5成-2 D.22 2 10 210 2 10 6.已知cosa+cosB=1 >s—simG三上，具可cOs〔C十F）的金为(> 13 59 D.2 tan 22.5 1-tan222.50=（). 7. A.-1 C. D.1 8.已知tana,tanB是方程x2-5x+6=0的两根，那么tan(a+阝)=（). A.1 B.2 C.-1 D.-2 第3页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 90}sn0+引-3 4-10 2,则an0=() B.2 C.2 D.3 3 10.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天项距 0(0°≤0≤180)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，琴影长 度I等于表高h与太阳天项距O正切值的乘积，即l=htan0.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次 1 太阳天项距分别为%，B,且tan(a-B)=了，若第二次的“翠影长”与“表高”相等，则第一次的“容影 长”是“表高”的(） A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 1.已知sin28=名，则sim日-3 /sin+π 4 =() 4 1 B. D. 6 c. π） 12.已知sina-4)4' 则 sina的值为(） 1-tana B.4 c 3-2 D. 题型二二倍角公式 第4页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 13.已知0满足sina+coso 3,则sin2a=(） B. 3 C.8 9 D. 14,在平面直角坐标系0中，角口以X轴的非负丰轴为始边，终边与单位国交于点(5，，则 22 sin2a=() A.3 B C. 、3 D. √2 2 2 2 15.已知0∈ 4'2且sim20=5 ππ 则tan0=() B.5 C.√1o D. 或5 5 6已sn0÷+eos9=509<号，sn9=(） 2 1 1 B,8 1 D. 1-cos2x 17.化简： () A.sinx B.coSx C.2sinx D.2cosx 第5页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 18.已知sina-√2cosa=0,则cos2a=() A青 B.0 c D. 2 3 cos2a 19.已知ima=方+cosa,lae0别 1 则sina-4》 π）的值为() A.14 B.V14 c.14 D.V14 2 2 4 4 20.已知a∈(0，π)，且3c0s2a-8c0sa=5,则sin2a=（) A.-45 B.5 D. 45 9 3 27 21.已知3-tana=4,则an2a=（） 2tana c D.3 第6页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 3,Msa 2.若sin(r-aw)=-} 2 ,则tan2a=() 2 A.=4V2 B.4V2 c.4v2 D. 4V2 7 9 9 1 题型三降幂公式 25.已克4eo号-2 1,则tan2a=（） 2cosa+sina 2 A. B.1 4 C 24.已知tana=2,tanB=3,则tan(2a+β)的值为() 1 A.-1 B.1 0.3 第7页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 25.已知sin6+2cos20-5 24’ 则sin20=() A.15 1 6 B. 6 c寻 26.已知c0s2 4 4+a 5 则sin2a=() 3 A. 3 1 B.一5 .5 则f(x)是() A.奇函数且周期为π B.偶函数且周期为π C.奇函数且周期为2π D.偶函数且周期为2π 28.将强数)=sm2x+写》+2s加气r+)约因象狗左牛8op>0个单位长度，形到运最g() 的图要，共图象关于直我x对称，则4的最小位为( 第8页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 A B C.s D. 题型四辅助角公式 29.已知cosa+V3sina=3 ，可s之。父+ =() A.号 B.、47 50 C.、41 D. 50 0 0.esim0+sin0+写-1，则cosg+20=() A.3 B.、V3 C.I D. 1 3 3 3 3 若精品数f到=o心：-引o心(+到 4 的图象向左平移aa>0)个单位后，所得图象关于原 点对称，则a的最小值为() 罗 B. c. 2π D. 3n 4 第9页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 2.知通数f八到=cor+}co+母) 则下列说法正确的是（) A点(0是商线7=f孔的时你中心 π√2 B.点 8’4 是曲线y=∫(x的对称中心 C直线x=亚是曲线y=fx)的对称轴 D.直线x 8 3狐是曲线y=f()的对称轴 38,特藏载f到=sim2x-引+e0s-sinx份因象的右学移00<p<到 6 个单位长度后得到函数 gx)的图象.若x=T是函数g(x)的一个极值，点，则4的值为(） 3 A.G B.交 c D. 5n 4 12 34.设函数f(x)=V3cos2x+2 sinxcosx,其中所有正确结论的编号是() (1)f(x的最小正周期为n; (②)y=fx的图像关于直线x=工对称； 12 or& 上单调递减； 第10页共25页艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第15讲 三角恒等变换 一、考向解读 考点 五年考情 (2021-2025) 命题趋势 考点 1：两角和与差公式 2025 年全国二卷：利用二倍角余弦和两角差正弦公式求值；2024 年新课标 Ⅰ 卷：利用两角和余弦公式求三角函数值；2024 年全国甲卷：弦化切及两角和正切公式的应用；2023 年新课标 Ⅰ 卷：和角、差角正弦及二倍角余弦公式的运用；2023 年全国乙卷：正弦定理边化角结合两角和正弦公式求角；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：两角和差正余弦公式化简及同角三角函数关系应用； 1. 高考对两角和与差公式考查频率较高，主要体现在利用公式进行三角函数值的求解、化简变形以及在解三角形等问题中的应用，是考查的热点。 考点 2：二倍角公式 2025 年全国一卷：二倍角公式在三角形面积相关问题中的应用；2024 年上海卷：利用二倍角公式判断函数最小正周期；2023 年新课标 Ⅱ 卷：二倍角公式求三角函数值；2023 年全国甲卷：向量问题中相关计算；2022 年北京卷：二倍角公式化简函数判断单调性；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：二倍角公式与平方关系配方化简求值；2021 年全国甲卷：二倍角公式化简求三角函数值；2021 年全国乙卷：诱导公式与二倍角公式化简； 2. 二倍角公式的考查主要集中在利用公式进行三角函数的化简、求值以及结合其他公式解决函数性质等问题，在高考中考查较为常见。 考点 3：辅助角公式 2025 年北京卷：辅助角公式化简函数求最小正周期及零点相关问题；2023 年全国乙卷：辅助角公式在向量数量积求最值问题中的应用；2022 年北京卷：辅助角公式化简函数求数量积取值范围； 3. 辅助角公式的考查主要体现在利用公式化简函数，进而研究函数的周期性、最值、零点以及在向量等问题中的应用，有一定的考查频率且应用广泛。 二 知识再现 1.两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 2.二倍角公式 ①； ②； ③； 3.降幂公式 4.辅助角公式 （其中） 【常用结论】 1.三角函数类型的题目出现平方相关的式子，就他俩中的一个，降幂用的多！！ ① ② 2.角的拆分技巧①；②；③． 题型一 两角和差的正余弦、正切公式 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】． 故选：A. 2．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式和三角函数的两角和的正弦公式求解. 【详解】解：， ， 故选：A 3．在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求出与，再结合及求出，利用余弦差角公式求出答案. 【详解】由题意得：，，， 因为，所以， 因为，所以，故， 所以 . 故选：B 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，利用差角公式求解答案. 【详解】因为，所以，所以； . 故选：A. 5．若，都是锐角，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由平方关系求得，，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】，都是锐角，则， 则由题意得，又， ． 故选：A． 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案. 【详解】， ， 两式相加得， . 故选：C. 7．（    ）． A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据两角和正切公式的逆用，化简即可得出答案. 【详解】. 故选：C. 8．已知，是方程的两根，那么（    ）． A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】根据，是方程的两根，利用韦达定理得到，再利用两角和的正切公式求解. 【详解】解：因为，是方程的两根， 所以， 所以， 故选：C 9．已知，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得、，再根据两角差的正切公式计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 所以. 故选：C 10．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答. 【详解】依题意，，则， 所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍. 故选：B 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的正弦公式和二倍角公式进行求解即可 【详解】因为， 所以 故选：C 12．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的和差角公式可得，平方可得，进而化切为弦即可求解. 【详解】由，则，即， 所以，则， 故. 故选：A. 题型二 二倍角公式 13．已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. 【详解】，， 即， 故选:C． 14．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用任意角的三角函数定义,结合正弦二倍角公式求解即可. 【详解】由任意角三角函数定义得：,, 故选：A. 15．已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据二倍角正弦公式和正余弦齐次式的求法可构造方程求得可能的取值，结合的范围可求得结果. 【详解】，或， ，，则. 故选：B. 16．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果 【详解】由两边平方，得 即，所以， 故选：C. 17．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合诱导公式和二倍角公式，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】. 故选：C 18．已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解. 【详解】由可得，故， 故选：A 19．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与倍角公式即可求解. 【详解】依题意， ∵，∴， 两边平方可得，∴， ∴，∴． ，∴， ∴． 故选：B. 20．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦的二倍角公式，结合二次方程得，进而得，再根据正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】解：因为，且 所以，即， 所以，解方程得或（舍） 因为，所以， 所以. 故选：A 21．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正切公式求解. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A 22．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式求出，由同角三角函数关系结合的范围得到，得到正切值，进而利用二倍角公式求出答案. 【详解】由题意得， 又，所以， 所以， 故． 故选：D 题型三 降幂公式 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由， 解得， ， 故选：D 24．已知，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角的正切公式求出，再利用两角和的正切公式求. 【详解】 , . 故选：D. 25．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解. 【详解】由已知，化简得． 平方得，所以． 故选：A． 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式，化简求值. 【详解】，解得：. 故选：B 27．已知，则是（    ） A．奇函数且周期为π B．偶函数且周期为π C．奇函数且周期为 D．偶函数且周期为 【答案】A 【分析】利用降幂公式进行化简，再通过三角函数相关性质判断奇偶性及周期即可. 【详解】，故为奇函数，且最小正周期为 故选：A 28．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，其图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简解析式，通过三角函数图象变换求得的解析式，根据的图象关于直线对称列方程，求得的表达式，进而求得的最小值. 【详解】因为． 所以． 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以，因为，所以当时，． 故选：C 题型四 辅助角公式 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可. 【详解】，则， 则， 故选：D. 30．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，再整体法利用倍角公式即可. 【详解】， ，则. 故选：C. 31．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降次公式、辅助角公式化简，结合三角函数图象变换求得的最小值. 【详解】 . 向左平移个单位得到，其图象关于原点对称， 所以，由于，所以的最小值为. 故选：B 32．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是曲线的对称中心 B．点是曲线的对称中心 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的对称轴 【答案】C 【分析】由三角恒等变换化简得，由得对称中心坐标，由得对称轴方程. 【详解】由题意得 ， 由得，则的对称中心为，所以A，B错误. 由得，则的对称轴方程为，C正确，D错误， 故选：C 33．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到，利用平移变换得到，再根据是函数的一个极值点，即当时，函数取得最值求解. 【详解】由，化简得， 所以． 又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值， 所以，解得．因为， 所以． 故选：A． 34．设函数，其中所有正确结论的编号是（    ） （1）的最小正周期为； （2）的图像关于直线对称； （3）在上单调递减； （4）把的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像． A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【分析】根据题意，利用辅助角公式和倍角公式化简得，根据求出最小正周期即可判断（1）；利用整体代入法求出的对称轴，即可判断（2）；利用整体代入法求出的单调减区间，从而可得在区间上先减后增，即可判断（3）；根据三角函数的平移变换求出平移后函数的解析式，从而可判断（4）. 【详解】函数， 所以的最小正周期为，故（1）正确； 令，解得：， 当时可得直线为的对称轴，故（2）正确； 令，解得：， 所以的单调递减区间为：， 当时，的一个单调递减区间为， 所以在区间上先减后增，故（3）错误； 把函数的图像上所有点向右平移个单位长度， 得到的图像，故（4）错误. 所以所有正确结论的编号是：（1）（2） 故选：A. 题型五 三角恒等变换的综合应用 35．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定，，，代入计算得到答案. 【详解】，故，又，， ， 故选：C 36．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值. 【详解】. 故选：D 37．若，是第二象限的角，则（    ） A． B． C．2 D．-5 【答案】D 【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出，再估算的范围，进而求得结论． 【详解】解：， 整理得， 解得或， ∵是第二象限的角， ， ， ，，∴ 原式． 故选：D． 38．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值. 【详解】. 故选：A． 39．已知函数的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（    ） A． B．的单调递增区间为，（） C．将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 D． 【答案】B 【分析】先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可. 【详解】 对于A：因为，∴，故A正确； 对于B：，令，，解得，，所以单调递增区间为，，故B错误； 对于C：将图像向左平移个单位得到，关于y轴对称，故C正确； 对于D： ，所以D正确； 故选：B． 40．以下关于的命题，正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象向左平移个单位，可得到的图象 【答案】D 【分析】根据三角函数恒等变换化简为，计算出，根据正弦函数的单调性，可判断A;采用代入验证的方法可判断;根据三角函数的平移变换可得平移后的函数解析式，判断D. 【详解】由题意得， 当时，，由于函数在不单调， 故函数在区间上不是单调递增函数，A错误； 当时，，故直线不是函数图象的对称轴，B错误； 当时，，故点不是函数图象的对称中心，C错误； 将函数图象向左平移个单位，可得到的图象，D正确， 故选：D 二、多选题 41．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； 由， 可得 ，D正确； 故选：ABD 42．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．的图像关于点对称 D．在有3个零点 【答案】ABC 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可 【详解】， 对A，最小周期为，故也为周期，故A正确； 对B，当时，为的对称轴，故B正确； 对C，当时，，又为的对称点，故C正确； 对D，则， 解得，故在内有共四个零点，故D错误 故选：ABC. 43．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最大值是2 B．函数在单调递减 C．函数的图像可以由函数的图像向右平移个单位得到 D．若方程在区间有两个实根，则 【答案】CD 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据函数解析式研究选项中相关的函数性质. 【详解】 . 对于A：函数的最大值是3，A选项错误； 对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项错误； 对于C：函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，即函数的图像，C选项正确； 对于D：由，解得，在上单调递增； 由，解得，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，，，所以方程在区间有两个实根，，D选项正确. 故选：CD 44．已知，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．函数的图象可以由函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到 D．是函数图象的一个对称中心 【答案】AB 【分析】由已知结合二倍角公式，和差角公式及辅助角公式对进行化简，然后结合余弦函数的性质即可检验各选项即可判断． 【详解】， 根据辅助角公式， . 由周期公式可知，故A正确； 令，，可得，，， 当时，可得函数的单调递减区间，故B正确； 函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，可得，故C错误； 令可得，，故不是函数图象的一个对称中心，故D错误. 故选：AB． 45．关于函数有以下四个选项，正确的是（    ） A．对任意的a，都不是偶函数 B．存在a，使是奇函数 C．存在a，使 D．若的图像关于对称，则 【答案】AD 【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】因为，其中，， 对于A，要使为偶函数，则，且，即对任意的a，都不是偶函数，故正确； 对于B，要使为奇函数，则，且，即不存在a，使是奇函数，故正确； 对于C，因为，故错误； 对于D，若的图像关于对称，则，， 解得，且，所以，即，故正确. 故选：AD 46．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称 C．的最小值为2 D．在上为增函数 【答案】AD 【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A正确；举反例即可排除B；取特殊值计算即可判断C错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D正确. 【详解】对于A，因为， 设的正周期为，则，即， 所以， 由诱导公式可得，即， 又，故，即，则，故， 所以的最小值为，即的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为， 又与不关于轴对称， 所以的图象关于轴对称，故B错误； 对于C，因为，所以2不是的最小值，故C错误； 对于D，因为，所以，故在上单调递减，且， 又在上单调递减， 所以在单调递增，故D正确. 故选：AD. 47．已知函数的所有非负零点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项. 【详解】由， 可得， 即与的图象在第一象限交点横坐标即为， 因为，时，，如图， 由图可知，共有9个符合要求的交点，所以， 令，解得，，即， 故由图象可知，，，， 所以， 因为，若， 则需，由图知，，故不成立， 综上可知，BC正确，AD错误. 故选：BC 48．由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（    ） A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时， C． D． 【答案】AD 【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令，可得，可判断出B错误，令可得，结合可判断出C错误，根据二倍角公式可知，D正确． 【详解】因为， 所以，即，故选项A正确； 令，则，则，则，即选项B错误； 令，则，可得，由B知，所以选项C错误； 因为，所以， 由A可得， 而，故即， 所以（负根舍去）即选项D正确． 故选：AD． 高考真题再现 一、单选题 1．（2021·全国·统考高考真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 5．（2021·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 9．（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 二、填空题 10．（2020·全国·统考高考真题）若，则__________． 【答案】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题. 11．（2020·江苏·统考高考真题）已知 =，则的值是____. 【答案】 【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 三、双空题 13．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________． 【答案】     1     【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 14．（2020·浙江·统考高考真题）已知，则________；______． 【答案】          【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得 【详解】， ， 故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 课后巩固基础 一、单选题 1．若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】解：因为，，所以， 所以＝. 故选：D． 2．已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由两角和的正切公式变形后求得，由诱导公式变形后，利用商数关系变形可得． 【详解】由，解得，则. 故选：C． 3．已知，为钝角，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先求出，从而求出，再根据利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】解：因为，所以，因为为钝角， 所以，则， 所以. 故选：B 4．设为第一象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦与余弦的平方关系计算出，然后，利用正弦的两角差公式直接计算，可得答案. 【详解】，且，得， 则，，， . 故选：A 5．已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由平方关系求得、，再由两角和的余弦展开式求得答案. 【详解】依题意，均为锐角， 由得， 由得， 所以， 而，所以. 故选：A. 6．英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，则，，，所以，即可求解． 【详解】过点作，因为△PMQ是正三角形． 则，， 所以 则，解得 故选：C 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系直接可得结论. 【详解】由得，， 所以 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 8．已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角终边上的点的坐标，求得角的正弦值，继而求得，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知为角终边上一点，则， 故， 故， 故选：A 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式两边平方，结合同角的三角函数关系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案. 【详解】由可得，， 即， 故选：B 10．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用表示的等式，然后解方程即可. 【详解】 ，，又， 则，解得. 故选：D. 11．已知函数，若，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化简为，直接解出，即可求出的最大值. 【详解】． 当时，， 对于，由，则可以取：. 由，即，则可以取：. 所以当时，最大. 故选：D 12．下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二倍角、辅助角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期比较即可. 【详解】对于选项A，，∴ 选项B：且，∴ 对于选项C，，∴ 对于选项D，，∴, 故选：C. 13．已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简可得，根据x的范围，可求得的范围，根据题意，分析可得，计算即可得答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为有且只有1个最低点，所以，解得. 故选：D 14．已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】应用二倍角正余弦公式化简已知条件可得，即可得结果. 【详解】， ∴. 故选：D 15．已知，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系代换，可得，根据的范围即可求解. 【详解】由，得 ， 则，即，得， 则，得或，又，所以， 故. 故选：B 二、多选题 16．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称 D．函数在区间上单调递减 【答案】BCD 【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可. 【详解】，故最小正周期为，A错误； ，点是一个对称中心，B正确； 向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确； ，单调递减，D正确. 故选：BCD. 17．已知，则下列判断中，错误的是（    ） A．若，，且，则 B．存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为 D．若在上单调递增，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】首先利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可； 【详解】解：，周期． 对于A：由条件知，周期为，，故A错误； 对于B：函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对任意整数，，故B错误； 对于C：由，所以，所以，解得，故C不正确； 对于D：因为，所以，所以， ，故D正确． 故选：ABC． 18．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】先求出，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可. 【详解】 ，，A对． 是曲线的一个对称中心，B错． ，，，时，， ∴是的一条对称轴，C对． ，，， ∴在上单调递增，D对． 故选： ACD. 19．已知函数（，，）的最大值为，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列结论确的定（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时，函数的最小值为 C．若，则的值为 D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位 【答案】BD 【分析】由函数性质求出函数解析式，然后再确定正弦函数的其他性质判断各选项：计算是否为最值，判断A，确定函数在的单调性得最小值判断B，代入函数解析式求得，再由平方关系、二倍角公式计算判断C，由三角函数图象变换判断D． 【详解】由题意，，， ，，又，所以， ， ，不是对称轴，A错； 时，，此时递增，，B正确； ，，，C错； 将的图象向右平移个单位得函数解析式为，D正确． 故选：BD． 20．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D．的图象关于直线不对称 【答案】ABD 【分析】利用偶函数的定义及正弦函数、余弦函数的奇偶性判定选项A正确；先利用绝对值的代数意义将的解析式化为分段函数，再利用两角和的正弦、余弦公式化简，进而利用三角函数的性质判定选项B正确；利用两角和的正弦公式、三角函数的单调性判定选项C错误；利用对称的性质判定选项D正确. 【详解】对于A：因为的定义域为R， 且， 所以函数是偶函数， 即选项A正确； 对于B：由题意，得， 即， 当时，， 则，即； 当时，， 则，即； 综上所述，的值域为， 即选项B正确； 对于C：当时，， 且，令，得， 令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 即选项C错误； 对于D： ，， 即的图象不关于直线对称， 即选项D正确. 故选：ABD. 21．有下列4个关于三角函数的命题，其中是真命题的是（     ） A． B．函数的图象关于轴对称 C．若都是第一象限角，且，则 D．当取最大值时， 【答案】ABD 【分析】利用赋值角公式及正弦函数的性质判断A、D，利用二倍角公式及余弦函数的性质判断B，利用特殊值判断C； 【详解】解：因为， 所以，故A正确； 对于B：为偶函数，故图象关于轴对称，即B正确； 对于C：若，满足，此时，故C错误； 对于D：，其中，， 则，此时，所以， 所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 22．若,则__． 【答案】 【分析】解出,将用倍角公式写成,将代入即可得出结果. 【详解】因为,所以, 所以． 故答案为: 23．已知是第二象限角，且，则______． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果. 【详解】是第二象限角，， ，， . 故答案为：. 24．已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可. 【详解】解：由，，得， 所以． 故答案为： 25．函数在区间上的最大值为______ 【答案】3 【分析】先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为，然后求出的范围，最后求出函数的最大值. 【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为. 故答案为：3. 26．已知函数是奇函数，则____. 【答案】 【分析】由辅助角公式得，再根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】解：， 因为函数是奇函数，所以，解得， 因为，所以， 故答案为： 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $