专题06 三视图与表面展开图（期末复习讲义，9知识点+9题型）九年级数学上学期浙教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统对应核心考点、复习目标与考情规律，分九个知识点梳理投影、三视图、表面展开图等内容，用表格呈现常见几何体三视图特征及表面积公式，清晰展现重难点分布与知识内在联系。 讲义亮点在于题型分类配套解题技巧，如“分层计数法推断小立方体个数”“三视法求表面积”，典例与变式练习覆盖基础到综合，培养空间观念和推理意识，助力不同层次学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

专题06 三视图与表面展开图（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 投影 理解平行投影与中心投影的概念，能区分两种投影的形成特点及在现实生活中的应用。 基础概念题，常以选择题或填空题形式出现，考查对投影类型的识别。 简单的几何体三视图 能画出基本几何体（如正方体、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）。 基础必考技能，常以作图题或选择题形式出现，要求掌握“长对正、高平齐、宽相等”原则。 由三视图描述几何体 能根据简单几何体的三视图想象并描述出几何体的形状及基本构成。 高频考点，常出现在选择题中，考查空间想象能力，是难点之一。 简单几何体的表面展开图 能识别或绘制正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的表面展开图，并判断其能否折叠成原几何体。 中考常考题型，常以选择题形式出现，对正方体展开图的“邻面”与“对面”关系考查较多。 求几何体视图的面积 能根据几何体的三视图，计算某个视图（通常是主视图或左视图）的平面图形面积。 中档计算题，需结合视图与几何体尺寸关系进行求解。 由三视图，判断小立方体的个数 能根据由小立方体搭成的几何体的三视图，推断所用小立方体的最少或最多个数。 高频易错点，对空间推理能力要求较高，常以填空题形式出现，需掌握分层计数等方法。 求圆锥侧面积和底面半径与高 掌握圆锥侧面积公式，并能与底面半径、高构成的直角三角形结合进行计算。 中档计算考点，常与勾股定理结合考查。 求圆锥侧面展开图的圆心角 能根据圆锥的底面半径和母线长，计算其侧面展开图（扇形）的圆心角度数，公式为。 常考计算题，要求熟练运用扇形与圆锥的对应关系。 已知三视图求侧面积或表面积 能根据几何体（多为组合体）的三视图，还原其形状并计算侧面积或表面积。 综合应用题，难度较高，考查识图、还原、计算等综合能力，常出现在解答题中。 圆锥侧面上最短路径问题 能将圆锥侧面上两点间的最短路径问题，转化为其侧面展开图（扇形）上两点间的线段长度问题，并利用勾股定理求解。 高频难点，是“立体图形表面最短路径”的典型问题，对转化思想要求高，常作为压轴填空题出现。 知识点一、投影的基本概念 1. 投影的定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子，叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2. 投影的分类 · 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影。 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. · 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 易错点： 平行投影中，物体与投影面平行时，投影与原物体全等；中心投影则会发生变形，且“近大远小”。 知识点二、三视图的形成与规律 1. 三视图的定义 从三个不同的方向（正面、左面、上面）观察同一个物体，并分别画出所看到的平面图形，即得到物体的三视图。 · 主视图：从正面（从前向后）观察物体得到的视图。 · 左视图：从左面（从左向右）观察物体得到的视图。 · 俯视图：从上面（从上向下）观察物体得到的视图。 2. 三视图的画法规则 画三视图时，应遵循以下规则： · 位置规定：主视图在左上边，左视图在右边，俯视图在主视图的正下方。 · 尺寸对应（三等关系）： · 长对正：主视图与俯视图的长度相等，且左右对齐。 · 高平齐：主视图与左视图的高度相等，且上下对齐。 · 宽相等：俯视图与左视图的宽度相等。 易错点： 画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。三视图反映的是物体的形状，而非视觉上的“远近”或“透视”关系。 知识点三、由三视图描述几何体 1. 还原基本方法 根据三视图想象几何体时，应综合三个视图的信息，通常可以： 1. 通过俯视图确定物体的底面形状和基本布局。 2. 通过主视图和左视图确定物体的高度和各部分的上下、前后、左右关系。 3. 对于组合体，常采用“拆分法”或“补形法”。 易错点： 由三视图判断小立方体的个数时，要同时满足三个视图的要求，常需要找出最少和最多两种情况，或根据俯视图在每个格子标出可能的层数。 知识点四、常见几何体的三视图 1. 基本几何体的三视图特征 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（带圆心点） 球 圆 圆 圆 易错点： 圆锥的俯视图是一个带圆心点的圆，圆心点代表圆锥的顶点在正上方。球的三视图是三个全等的圆。 知识点五、立体图形的表面展开图 1. 展开图的概念 将立体图形的表面，沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，这个平面图形叫做该立体图形的表面展开图。 2. 常见几何体的展开图 · 正方体：有11种不同的展开图，分为“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”四种类型。相对的面在展开图中不相邻。 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: · 圆柱：由两个相同的圆（底面）和一个矩形（侧面）组成，矩形的长等于底面圆的周长。 · 圆锥：由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成，扇形的弧长等于底面圆的周长。 易错点： 判断一个平面图形能否折叠成指定的立体图形时，要想象折叠过程，注意相邻面在展开图中的位置关系，以及边长是否匹配（如圆柱侧面矩形的长必须等于圆的周长）。 知识点六、最短路径问题（立体表面） 1. 基本思想 在立体图形（如圆柱、圆锥）的表面上，求两点之间的最短路径，通常采用“化曲面为平面”的策略，即将立体图形的表面展开，在展开图上连接两点，线段长度即为最短路径。 2. 典型应用 · 圆柱：侧面展开为矩形，最短路径为矩形上两点的线段（可能需绕行）。 · 圆锥：侧面展开为扇形，最短路径为扇形上两点的线段长，常需结合勾股定理计算。 易错点： 展开时，必须明确从哪条棱剪开，并确保展开图上的对应点准确。在圆锥侧面上，顶点到底面圆周上一点的最短路径，即为侧面展开图（扇形）的半径。 知识点七、几何体的表面积 1. 表面积的定义 几何体所有面的面积之和，称为它的表面积（也称全面积）。 2. 常见几何体的表面积公式 几何体 表面（侧）面积公式 说明 正方体 为棱长 长方体 分别为长、宽、高 圆柱 侧面积： 表面积： 为底面半径，为高。表面积 = 两底面积 + 侧面积 圆锥 侧面积： 表面积： 为底面半径，为母线长（注意：，为高） 球※ 为球半径 易错点： ◎在求圆锥的表面积时，容易将母线长与高混淆，需牢记，且。 ◎实际问题中，有时只求侧面积（如无盖、无底的情况），需仔细审题。 ◎计算时，注意单位统一，并保留或按题目要求取近似值。 知识点八、几何体的体积 1. 体积的定义 几何体所占空间的大小，称为它的体积。 2. 常见几何体的体积公式 几何体 体积公式 说明 正方体 为棱长 长方体 分别为长、宽、高 柱体（棱柱、圆柱） 底面积 × 高。适用于所有直柱体 圆锥 底面积 × 高 ÷ 3。为底面半径，为高 球※ 为球半径 易错点： ◎柱体与锥体的体积公式易混淆，锥体体积是同底等高柱体体积的三分之一。 ◎在非直柱体（斜柱体）中，公式中的是指垂直于底面的高，而非侧棱长。 ◎组合体的体积通常通过割补法转化为基本几何体的体积和或差来计算。 知识点九、表面积与体积的综合应用 1. 已知三视图求表面积或体积 此类问题通常分为两步： 1. 由三视图还原几何体，并确定其尺寸。 2. 选择合适的公式进行计算。 · 求表面积时，需清楚还原后的几何体各个面的形状。 · 求体积时，关键是确定底面积和高。 2. 与实际问题的结合 · 包装用料问题→ 通常求表面积（考虑接口、损耗）。 · 容量、装载问题→ 通常求体积或容积（注意单位换算：。 · 缩放问题：若几何体按比例放大倍，则： · 所有线性尺寸（棱长、半径、高）变为原来的倍。 · 面积（表面积、底面积）变为原来的倍。 · 体积变为原来的倍。 易错点： ◎计算组合体的表面积时，需注意接合处的面是否暴露在外，可能需减去重叠部分的面积。 ◎在圆锥、圆台的侧面展开图计算中，弧长公式与底面圆周长相等是列方程的关键。 题型一 投影 解｜题｜技｜巧 ☆理解平行投影与中心投影的核心区别。平行投影由平行光线（如太阳光）形成，物体与投影面平行时，投影与原物全等；中心投影由点光源发出，具有“近大远小”的特点 ◎判断类型：根据光源性质判断。题目提到“太阳光”、“探照灯”通常为平行投影；“灯泡”、“手电筒”通常为中心投影 ◎比较大小：在平行投影下，同一时刻不同物体的影长与其本身高度成正比；在中心投影下，不成立此比例 ◎作图应用：根据光线方向和物体位置，画出投影时，平行投影光线平行，中心投影光线交于一点（光源） 【典例1】（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ． 【答案】 【分析】根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例，列出比例式，即可求解． 【详解】解：设这棵树的高为 ，依题意得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意列出比例式是解题的关键． 【变式1】（2024浙江·期末）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ． 【答案】/10米 【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可． 【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴△EAB∽△ECD， ∴， ∴AB(米)． 答：树高AB为米． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3】（22-23九年级上·浙江·期末）如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯． (1)请你在图中画出小敏在照明灯照射下的影子(用线段表示)； (2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米)．(参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574) 【答案】(1)线段AC是小敏的影子 (2)照明灯到地面的距离为5.9米 【分析】（1）连接P点和小敏头顶，其延长线和地面交点C和A的连线即为影子； （2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，要求P到地面的距离，由题可知，只需求出PD即可，而在直角三角形PDQ中，55°角的邻边数值已知，求对边，可用正切便可求出PD=3tan55°≈4.3米，再加上眼睛高度1.6米，便可求出照明灯到地面的距离为5.9米． 【详解】（1）如图线段AC是小敏的影子 （2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D， 则PF⊥EQ， 由题意可知DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3米，∠PQD=55°． ∵，即， ∴PD=3tan55°≈4.3米． ∵DF=QB=1.6米， ∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9米． 答：照明灯到地面的距离为5.9米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数即可解答． 题型二 判断几何体三视图 解｜题｜技｜巧 ☆掌握常见几何体（正方体、圆柱、圆锥、球等）三视图的固定特征，并能根据视图特征反推几何体 ◎记特征：正方体（三视图都是正方形）、圆柱（主、左视图是矩形，俯视图是圆）、圆锥（主、左视图是等腰三角形，俯视图是带中心点的圆）、球（三视图都是圆） ◎细观察：观察俯视图确定底面形状和布局，观察主视图和左视图确定高度和层数 ◎避陷阱：注意虚实线，实线为可见轮廓，虚线为不可见轮廓 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从前往后看，可得到主视图，正确得到几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：主视图是从前往后看，是一个凹字形状的图形， 故选：A． 【典例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）下图是一个由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图的知识，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．左视图是从物体的左面看得到的视图． 【详解】解：从左面看，是一列两个相邻的正方形． 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·浙江·期末）下列几何体中，俯视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解答本题的关键． 根据常见的简单几何体的三视图，即可解答． 【详解】解：A、球的俯视图是圆，故A选项不符合题意； B、圆锥的俯视图是圆，故B选项不符合题意； C、圆柱的俯视图是圆，故C选项不符合题意； D、三棱柱的俯视图是三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（九年级下·浙江温州·月考）一个空心正方体如图所示，它的俯视图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看是一个正方形，正方形中间有一个圆， 故选：． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 【变式3】（2021·浙江宁波·一模）如图是由若干个完全相同的正方体搭成的几何体，取走下列选项序号对应的正方体，其中三视图不会发生变化的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据三视图的定义即可判断． 【详解】A、取走①则主视图和左视图会变化，故此选项不符合题意； B、取走②则俯视图变化，故此选项不符合题意； C、取走③则主视图和俯视图变化，故此选项不符合题意； D、取走④三视图不会变化，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题的关键． 题型三 由三视图还原几何体 解｜题｜技｜巧 ☆综合三个视图的信息，在脑海中或通过草图构建立体形状。关键在于将二维信息转化为三维形象 ◎“俯视打地基”：先在俯视图的每个小方格上标出可能的堆积高度（层数），范围由主视图和左视图限定 ◎“主视定列高”：主视图的每一列，代表从正面看该位置的最大层数 ◎“左视定行高”：左视图的每一行，代表从左面看该位置的最大层数 ◎“综合定真身”：结合三个限制，确定每个位置小立方体的确切个数，从而还原几何体 【典例1】（2023·浙江湖州·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：∵主视图和左视图是长方形， ∴几何体是柱体， ∵俯视图是圆， ∴该几何体是圆柱，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 【变式1】（22-23九年级·浙江金华·期末）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图等边三角形，主视图的长为，高为，则该几何体的左视图的面积为 ． 【答案】 【分析】由三视图可知该几何体为三棱柱，再根据给出的主视图的长和高即可知道该三棱柱的底面边长和高．即可求出左视图的面积． 【详解】由三视图可知该几何体为底面是等边三角形的三棱柱， ∵主视图的长为1，高为2． ∴该三棱柱底面的等边三角形边长为1、高为2． ∴左视图的长，左视图的高为2． ∴左视图的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查三视图、等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键． 【变式2】某几何体的三视图如图，则该几何体是（    ） A．长方体 B．正三棱柱 C．球 D．圆柱 【答案】D 【分析】首先判断该几何体为柱体，然后根据其左视图为圆得到该几何体为圆柱． 【详解】解：根据主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，左视图为圆可得此几何体为圆柱， 故选D． 【点睛】主要考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，重点训练空间想象能力． 题型四 已知三视图求几何体相关 解｜题｜技｜巧 ☆先准确还原几何体，再根据其形状和尺寸，选择公式求表面积、体积、棱长等 ◎先还原：这是最关键的一步，务必保证还原的几何体形状正确 ◎再标数：从三视图中提取长、宽、高、半径等关键数据，并标注在还原图上 ◎后计算：根据问题（求表面积、体积等），选择合适的公式进行计算。对于组合体，常采用割补法 【典例1】（21-22九年级下·浙江·期末）某几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原图形，求几何体的体积，由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】解：由三视图可知原图为圆锥和圆柱的组合体， ∴体积是， 故选：C． 【典例2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（    ）      A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 【答案】A 【分析】由几何体的正视图和俯视图，我们可以判断出这个几何体由一些相同的小正方体构成，其中根据俯视图我们可以判断该几何体共有7摞小正方体组成，然后根据主视图推算每摞小正方体的最少个数，即可得到答案． 【详解】根据俯视图我们可以判断该几何体共有7摞小正方体组成， 根据正视图，可得：左边2摞，最高层数为3，故小正方体最少有3+1=4个， 中间2摞，最高层数为2，故小正方体最少有2+1=3个， 右边3摞，最高层数为4，故小正方体最少有4+1+1=6个， 故小正方体最少有13个． 故选A． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，掌握三视图的定义，是解题的关键． 【典例3】（2020·浙江·模拟预测）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】该正三棱柱底面等边三角形的高为，底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值． 【详解】解：∵由左视图知底面正三角形的高为， ∴正三角形的边长为4， ∴表面积中两正三角形的面均为， ∵正三棱柱的表面积为， ∴24=（4+4+4）a， 解得：a=2， 故选：D． 【点睛】本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 【变式1】（2020·浙江·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为（　　） A．6 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】从主视图和左视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最少与最多的数目． 【详解】解：由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块． 由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一列与第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最底层有一块即可． 因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第二列中有一个二层，其余为一层，第三列一层，共10块． 故选：C． 【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 【变式2】（九年级下·浙江·期末）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（      ） A．2，3 B．3，2 C．2， D．3， 【答案】B 【详解】解：设底面边长为x，则x2+x2=（2）2，解得：x=2（负值舍去），即底面边长为2， 根据图形，这个长方体的高是3， 故选：B． 【变式3】（2021·浙江金华·一模）如图为一个圆锥的三视图，这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】利用三视图得到这个圆锥的高为8mm，底面圆的半径为6mm，再利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【详解】解：这个圆锥的高为8mm，底面圆的半径为6mm， 所以圆锥的母线长=（mm）， 所以圆锥的侧面积=（mm2）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．也考查了圆锥的计算． 【变式4】（20-21浙江金华·期末）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)图中有 块小正方体； (2)请在方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】（1）根据图形中所摆放的情况可以得出小立方体的个数； （2）按照三视图的画法，分别画出从正面、左面、上面看所得到的图形即可． 本题考查了简单组合体的三视图和组合几何体的构成，熟练掌握知识点并发挥空间想象能力是解题的关键． 【详解】（1）解：图中有6块小正方体； （2）如图所示： 题型五 求小立方块堆砌图形的表面积 解｜题｜技｜巧 ☆表面积是所有外露面的面积之和。每个小立方体的一个面若没有被其他立方体遮挡，就算一个外露面 ◎三视法（高效）：几何体三视图的面积和的两倍，就是它的表面积。即：表面积 = 2 × (主视图面积 + 左视图面积 + 俯视图面积) ◎逐个数（基础）：分别从前后、左右、上下六个方向去数能看到的小正方形面数，然后相加 ◎注意：方法一只适用于“凸”型堆砌，若有凹陷，需用方法二或补全后计算 【典例1】（24-25浙江台州·期末）如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意以及图形特征得1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值，再分别研究每种方式的特征，运用整体思想进行作答即可． 【详解】解：设这个涌泉蜜桔包装箱的6个面分别记作，前、后、上、下、左、右， 则1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值， 而图2中①表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，4个上面，4个下面的和； ②表面积为4个前，4个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ③表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，2个上面，2个下面的和； ④表面积为2个前，2个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ∴在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是①， ∴第①叠放方式符合题意， 故选：A． 【变式1】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 【变式2】如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． （1）该几何体的表面积（含下底面）为________． （2）该几何体的主视图如图所示，请按照主视图的阴影方式在下面的方格纸中分别画出它的左视图和俯视图． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）直接利用几何体的表面积求法，分别求出各侧面即可； （2）利用从不同角度进而得出观察物体进而得出左视图和俯视图． 【详解】（1）该几何体的表面积（含下底面）为： ， 故答案为26 cm2； （2）如图所示． 【点睛】此题主要考查了几何体的表面积求法以及三视图画法，注意观察角度是解题的关键． 题型六 求圆锥圆柱侧面积 解｜题｜技｜巧 ☆熟记侧面积公式，并能在已知不同条件时灵活运用 ◎圆柱侧面积：S侧 = 底面圆周长 × 高 = 2πr × h。关键是找到r和h ◎圆锥侧面积：S侧 = 底面圆周长 × 母线长 ÷ 2 = πr × l。关键是区分母线长l和高h，它们满足l² = r² + h² ◎已知展开图：若侧面展开图已知，则直接计算展开的矩形或扇形的面积即可 【典例1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）圆锥的半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出底面周长，即为侧面展开图的弧长，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：弧长为，扇形的半径为， 圆锥侧面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查求圆锥侧面积，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【典例2】（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3， ∴圆锥的侧面积是； 故答案为∶． 【变式1】（浙江宁波·中考真题）如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 【变式2】（九年级上·浙江杭州·期末）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积为 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的运用，勾股定理，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点． 利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径，高， 圆锥的母线长为， 圆锥的侧面积为， 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图是一个高为的圆柱，其底面周长为，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】先求出该圆柱的底面半径，然后根据圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加上两个底面的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该圆柱的底面半径为， 该圆柱的表面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆柱的表面积，熟练掌握圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加上两个底面的面积是解题的关键． 题型七 求圆锥底面半径 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥的底面半径r是其与侧面、高构成直角三角形的关键边，常需结合勾股定理或侧面展开图来求解 ◎已知高h和母线l：用勾股定理 ◎已知侧面展开图（扇形）：扇形弧长等于底面圆周长，即，可解出（n为圆心角度数） ◎已知侧面积S侧和母线l：由 S侧 =πrl 得r =S侧÷(πl) 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆周长，以及侧面扇形公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面半径为r，圆锥的侧面展开图扇形圆心角为， ∵圆锥的侧面积为，母线长为4， ∴侧面弧长为：，整理得， 圆锥的侧面积为， 解得：， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 【答案】12 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：设底面半径是， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：12． 【变式2】（2024·浙江宁波·一模）如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：5． 【变式3】（23-24九年级上·浙江衢州·期末）用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 题型八 求圆锥的高 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥的高h是顶点到底面圆心的垂直距离，与底面半径r、母线l构成直角三角形 ◎已知母线l和底面半径r：直接用勾股定理 ◎已知体积V和底面半径r：由体积公式得 ◎已知侧面展开图圆心角n和母线l：先由求出r，再用勾股定理求h 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 【变式1】（浙江宁波·一模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（　　） A．r B．2r C． r D．3r 【答案】B 【详解】∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr． 设圆锥的母线长为R，则=2πr， 解得：R=3r． 根据勾股定理得圆锥的高为2r． 故选：B． 【变式2】如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ． 【答案】． 【分析】由圆心角为，半径为6的扇形求弧长=，可求圆锥底面圆周长：，解得，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理即可． 【详解】解：圆心角为，半径为6的扇形弧长=， 圆锥底面圆周长：， 解得， 如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形， 由勾股定理， 这个圆锥的高是． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理，掌握扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理是解题关键． 题型九 求圆锥侧面展开图的圆心角 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥侧面展开后是扇形，其圆心角n与圆锥底面半径r、母线长l有固定关系：扇形弧长=底面圆周长 ◎核心公式：，推导式为 ◎计算步骤：先确定r和l，直接代入公式计算 ◎单位注意：结果n是角度数 【典例1】（九年级上·浙江金华·期末）一张半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，要求圆锥底面圆的半径为4cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（  ） A．150° B．240° C．200° D．180° 【答案】B 【分析】直接利用圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长进而得出答案． 【详解】设这张扇形纸片的圆心角度数是n， 根据题意可得：=2×4π， 解得：n=240， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长是解题关键． 【变式1】已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为 ． 【答案】 【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算． 【详解】根据弧长的公式l=得到： 80π=， 解得n=160度． 侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160°． 【变式2】圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 解得， 所以侧面展开图的圆心角为． 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】先根据条件求出侧面展开图（扇形）的面积，在根据扇形面积公式求角度即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为 将，代入公式得： 代入数据解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积与扇形各元素的关系，相关知识点有：圆锥的侧面积公式、扇形的面积公式，熟记公式是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江丽水·二模）如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图．俯视图是从物体的上面向下看得到的视图，据此作答即可． 【详解】 解：从上面向下看，从左到右有两排，且其正方形的个数分别为2、1，且为 故选：B． 2．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图所示的几何体的俯视图是图中的 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：几何体的俯视图是： ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江·月考）已知圆锥的底面半径是，母线长是，那么它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，母线长是， ∴圆锥的侧面积， 故选：． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，交于点， ∵两端的坐标分别为，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2021·浙江衢州·二模）已知圆锥的底圆半径为，侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 根据圆锥的侧面积公式可知，进而计算即可． 【详解】． 故答案为：． 6．（2025·浙江温州·三模）如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长计算解答． 【详解】解：设这个圆锥形容器的底面半径为， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________． (3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)；． 【分析】本题考查了作图——三视图以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出三视图以及由视图判断几何体的形状． （）根据三视图的看法作出三视图即可求解； （）根据图可得每个正方体的体积为，即可解答； （）由俯视图易得最底层小立方块的个数，再根据主视图即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：这个几何体的体积是， 故答案为：； （3）解：搭这样的一个几何体最少需要小立方块个，第一层个，第二层，搭这样的一个几何体最多需要小立方块个，第一层个，第二层， 故答案为：；． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算公式是．根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．根据已知条件可得圆锥底面半径和母线长，即可求得圆锥的侧面积． 【详解】解：∵一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆， ∴这个几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2， 因此圆锥的侧面积为． 故选：B． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图是用5个相同的小立方体搭成的几何体，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据三视图的知识，主视图是视线从正面看，然后即可求解； 【详解】 解：从正面看，其主视图是， 故选：A； 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体以及勾股定理，将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥， 圆锥的底面圆的半径为1，母线长， 所以圆锥的侧面积． 故选：B． 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】本题利用了勾股定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定． 蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B， ∵，， ∴由勾股定理可得母线， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ． ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：D． 5．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表面积最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查立体图形，熟练掌握立体图形表面积的计算方法是解题的关键，根据个棱长为1的正方体积木摆成一堆，当每个小正方体相互重合的面最多时表面积最小，即可得到答案． 【详解】解：将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，如图， 此时几何体表面积最小， 表面积的最小值为：， 故答案为：． 6．（22-23九年级下·浙江湖州·月考）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的半径为，则底面周长，侧面面积． 故答案为：． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图． (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键，画三视图时，要根据几何体合理想象，看得见的轮廓线用实线画，看不见的轮廓线用虚线画． （1）根据从正面，左面，上面看到的平面图形画图即可； （2）根据从正面，左面，上面看到的平面图形画图即可； 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出它的三视图． (2)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以有 种添加方法． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查作图-三视图、简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画图即可． （2）根据题意，可以在第一列最底层最前面添加一个相同的正方体，或在第三列最底层最前面添加一个相同的正方体，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以在第一列最底层最前面添加一个相同的正方体，或在第三列最底层最前面添加一个相同的正方体， ∴可以有2种添加方法． 故答案为：2. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三视图与表面展开图（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 投影 理解平行投影与中心投影的概念，能区分两种投影的形成特点及在现实生活中的应用。 基础概念题，常以选择题或填空题形式出现，考查对投影类型的识别。 简单的几何体三视图 能画出基本几何体（如正方体、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）。 基础必考技能，常以作图题或选择题形式出现，要求掌握“长对正、高平齐、宽相等”原则。 由三视图描述几何体 能根据简单几何体的三视图想象并描述出几何体的形状及基本构成。 高频考点，常出现在选择题中，考查空间想象能力，是难点之一。 简单几何体的表面展开图 能识别或绘制正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的表面展开图，并判断其能否折叠成原几何体。 中考常考题型，常以选择题形式出现，对正方体展开图的“邻面”与“对面”关系考查较多。 求几何体视图的面积 能根据几何体的三视图，计算某个视图（通常是主视图或左视图）的平面图形面积。 中档计算题，需结合视图与几何体尺寸关系进行求解。 由三视图，判断小立方体的个数 能根据由小立方体搭成的几何体的三视图，推断所用小立方体的最少或最多个数。 高频易错点，对空间推理能力要求较高，常以填空题形式出现，需掌握分层计数等方法。 求圆锥侧面积和底面半径与高 掌握圆锥侧面积公式，并能与底面半径、高构成的直角三角形结合进行计算。 中档计算考点，常与勾股定理结合考查。 求圆锥侧面展开图的圆心角 能根据圆锥的底面半径和母线长，计算其侧面展开图（扇形）的圆心角度数，公式为。 常考计算题，要求熟练运用扇形与圆锥的对应关系。 已知三视图求侧面积或表面积 能根据几何体（多为组合体）的三视图，还原其形状并计算侧面积或表面积。 综合应用题，难度较高，考查识图、还原、计算等综合能力，常出现在解答题中。 圆锥侧面上最短路径问题 能将圆锥侧面上两点间的最短路径问题，转化为其侧面展开图（扇形）上两点间的线段长度问题，并利用勾股定理求解。 高频难点，是“立体图形表面最短路径”的典型问题，对转化思想要求高，常作为压轴填空题出现。 知识点一、投影的基本概念 1. 投影的定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子，叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2. 投影的分类 · 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影。 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. · 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 易错点： 平行投影中，物体与投影面平行时，投影与原物体全等；中心投影则会发生变形，且“近大远小”。 知识点二、三视图的形成与规律 1. 三视图的定义 从三个不同的方向（正面、左面、上面）观察同一个物体，并分别画出所看到的平面图形，即得到物体的三视图。 · 主视图：从正面（从前向后）观察物体得到的视图。 · 左视图：从左面（从左向右）观察物体得到的视图。 · 俯视图：从上面（从上向下）观察物体得到的视图。 2. 三视图的画法规则 画三视图时，应遵循以下规则： · 位置规定：主视图在左上边，左视图在右边，俯视图在主视图的正下方。 · 尺寸对应（三等关系）： · 长对正：主视图与俯视图的长度相等，且左右对齐。 · 高平齐：主视图与左视图的高度相等，且上下对齐。 · 宽相等：俯视图与左视图的宽度相等。 易错点： 画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。三视图反映的是物体的形状，而非视觉上的“远近”或“透视”关系。 知识点三、由三视图描述几何体 1. 还原基本方法 根据三视图想象几何体时，应综合三个视图的信息，通常可以： 1. 通过俯视图确定物体的底面形状和基本布局。 2. 通过主视图和左视图确定物体的高度和各部分的上下、前后、左右关系。 3. 对于组合体，常采用“拆分法”或“补形法”。 易错点： 由三视图判断小立方体的个数时，要同时满足三个视图的要求，常需要找出最少和最多两种情况，或根据俯视图在每个格子标出可能的层数。 知识点四、常见几何体的三视图 1. 基本几何体的三视图特征 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（带圆心点） 球 圆 圆 圆 易错点： 圆锥的俯视图是一个带圆心点的圆，圆心点代表圆锥的顶点在正上方。球的三视图是三个全等的圆。 知识点五、立体图形的表面展开图 1. 展开图的概念 将立体图形的表面，沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，这个平面图形叫做该立体图形的表面展开图。 2. 常见几何体的展开图 · 正方体：有11种不同的展开图，分为“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”四种类型。相对的面在展开图中不相邻。 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: · 圆柱：由两个相同的圆（底面）和一个矩形（侧面）组成，矩形的长等于底面圆的周长。 · 圆锥：由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成，扇形的弧长等于底面圆的周长。 易错点： 判断一个平面图形能否折叠成指定的立体图形时，要想象折叠过程，注意相邻面在展开图中的位置关系，以及边长是否匹配（如圆柱侧面矩形的长必须等于圆的周长）。 知识点六、最短路径问题（立体表面） 1. 基本思想 在立体图形（如圆柱、圆锥）的表面上，求两点之间的最短路径，通常采用“化曲面为平面”的策略，即将立体图形的表面展开，在展开图上连接两点，线段长度即为最短路径。 2. 典型应用 · 圆柱：侧面展开为矩形，最短路径为矩形上两点的线段（可能需绕行）。 · 圆锥：侧面展开为扇形，最短路径为扇形上两点的线段长，常需结合勾股定理计算。 易错点： 展开时，必须明确从哪条棱剪开，并确保展开图上的对应点准确。在圆锥侧面上，顶点到底面圆周上一点的最短路径，即为侧面展开图（扇形）的半径。 知识点七、几何体的表面积 1. 表面积的定义 几何体所有面的面积之和，称为它的表面积（也称全面积）。 2. 常见几何体的表面积公式 几何体 表面（侧）面积公式 说明 正方体 为棱长 长方体 分别为长、宽、高 圆柱 侧面积： 表面积： 为底面半径，为高。表面积 = 两底面积 + 侧面积 圆锥 侧面积： 表面积： 为底面半径，为母线长（注意：，为高） 球※ 为球半径 易错点： ◎在求圆锥的表面积时，容易将母线长与高混淆，需牢记，且。 ◎实际问题中，有时只求侧面积（如无盖、无底的情况），需仔细审题。 ◎计算时，注意单位统一，并保留或按题目要求取近似值。 知识点八、几何体的体积 1. 体积的定义 几何体所占空间的大小，称为它的体积。 2. 常见几何体的体积公式 几何体 体积公式 说明 正方体 为棱长 长方体 分别为长、宽、高 柱体（棱柱、圆柱） 底面积 × 高。适用于所有直柱体 圆锥 底面积 × 高 ÷ 3。为底面半径，为高 球※ 为球半径 易错点： ◎柱体与锥体的体积公式易混淆，锥体体积是同底等高柱体体积的三分之一。 ◎在非直柱体（斜柱体）中，公式中的是指垂直于底面的高，而非侧棱长。 ◎组合体的体积通常通过割补法转化为基本几何体的体积和或差来计算。 知识点九、表面积与体积的综合应用 1. 已知三视图求表面积或体积 此类问题通常分为两步： 1. 由三视图还原几何体，并确定其尺寸。 2. 选择合适的公式进行计算。 · 求表面积时，需清楚还原后的几何体各个面的形状。 · 求体积时，关键是确定底面积和高。 2. 与实际问题的结合 · 包装用料问题→ 通常求表面积（考虑接口、损耗）。 · 容量、装载问题→ 通常求体积或容积（注意单位换算：。 · 缩放问题：若几何体按比例放大倍，则： · 所有线性尺寸（棱长、半径、高）变为原来的倍。 · 面积（表面积、底面积）变为原来的倍。 · 体积变为原来的倍。 易错点： ◎计算组合体的表面积时，需注意接合处的面是否暴露在外，可能需减去重叠部分的面积。 ◎在圆锥、圆台的侧面展开图计算中，弧长公式与底面圆周长相等是列方程的关键。 题型一 投影 解｜题｜技｜巧 ☆理解平行投影与中心投影的核心区别。平行投影由平行光线（如太阳光）形成，物体与投影面平行时，投影与原物全等；中心投影由点光源发出，具有“近大远小”的特点 ◎判断类型：根据光源性质判断。题目提到“太阳光”、“探照灯”通常为平行投影；“灯泡”、“手电筒”通常为中心投影 ◎比较大小：在平行投影下，同一时刻不同物体的影长与其本身高度成正比；在中心投影下，不成立此比例 ◎作图应用：根据光线方向和物体位置，画出投影时，平行投影光线平行，中心投影光线交于一点（光源） 【典例1】（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ． 【变式1】（2024浙江·期末）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？ 【变式3】（22-23九年级上·浙江·期末）如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯． (1)请你在图中画出小敏在照明灯照射下的影子(用线段表示)； (2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米)．(参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574) 题型二 判断几何体三视图 解｜题｜技｜巧 ☆掌握常见几何体（正方体、圆柱、圆锥、球等）三视图的固定特征，并能根据视图特征反推几何体 ◎记特征：正方体（三视图都是正方形）、圆柱（主、左视图是矩形，俯视图是圆）、圆锥（主、左视图是等腰三角形，俯视图是带中心点的圆）、球（三视图都是圆） ◎细观察：观察俯视图确定底面形状和布局，观察主视图和左视图确定高度和层数 ◎避陷阱：注意虚实线，实线为可见轮廓，虚线为不可见轮廓 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）下图是一个由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·浙江·期末）下列几何体中，俯视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（九年级下·浙江温州·月考）一个空心正方体如图所示，它的俯视图是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2021·浙江宁波·一模）如图是由若干个完全相同的正方体搭成的几何体，取走下列选项序号对应的正方体，其中三视图不会发生变化的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型三 由三视图还原几何体 解｜题｜技｜巧 ☆综合三个视图的信息，在脑海中或通过草图构建立体形状。关键在于将二维信息转化为三维形象 ◎“俯视打地基”：先在俯视图的每个小方格上标出可能的堆积高度（层数），范围由主视图和左视图限定 ◎“主视定列高”：主视图的每一列，代表从正面看该位置的最大层数 ◎“左视定行高”：左视图的每一行，代表从左面看该位置的最大层数 ◎“综合定真身”：结合三个限制，确定每个位置小立方体的确切个数，从而还原几何体 【典例1】（2023·浙江湖州·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级·浙江金华·期末）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图等边三角形，主视图的长为，高为，则该几何体的左视图的面积为 ． 【变式2】某几何体的三视图如图，则该几何体是（    ） A．长方体 B．正三棱柱 C．球 D．圆柱 题型四 已知三视图求几何体相关 解｜题｜技｜巧 ☆先准确还原几何体，再根据其形状和尺寸，选择公式求表面积、体积、棱长等 ◎先还原：这是最关键的一步，务必保证还原的几何体形状正确 ◎再标数：从三视图中提取长、宽、高、半径等关键数据，并标注在还原图上 ◎后计算：根据问题（求表面积、体积等），选择合适的公式进行计算。对于组合体，常采用割补法 【典例1】（21-22九年级下·浙江·期末）某几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（    ）      A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 【典例3】（2020·浙江·模拟预测）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值为（ ） A． B． C． D．2 【变式1】（2020·浙江·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为（　　） A．6 B．7 C．10 D．13 【变式2】（九年级下·浙江·期末）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（      ） A．2，3 B．3，2 C．2， D．3， 【变式3】（2021·浙江金华·一模）如图为一个圆锥的三视图，这个圆锥的侧面积为 ． 【变式4】（20-21浙江金华·期末）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)图中有 块小正方体； (2)请在方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图． 题型五 求小立方块堆砌图形的表面积 解｜题｜技｜巧 ☆表面积是所有外露面的面积之和。每个小立方体的一个面若没有被其他立方体遮挡，就算一个外露面 ◎三视法（高效）：几何体三视图的面积和的两倍，就是它的表面积。即：表面积 = 2 × (主视图面积 + 左视图面积 + 俯视图面积) ◎逐个数（基础）：分别从前后、左右、上下六个方向去数能看到的小正方形面数，然后相加 ◎注意：方法一只适用于“凸”型堆砌，若有凹陷，需用方法二或补全后计算 【典例1】（24-25浙江台州·期末）如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． （1）该几何体的表面积（含下底面）为________． （2）该几何体的主视图如图所示，请按照主视图的阴影方式在下面的方格纸中分别画出它的左视图和俯视图． 题型六 求圆锥圆柱侧面积 解｜题｜技｜巧 ☆熟记侧面积公式，并能在已知不同条件时灵活运用 ◎圆柱侧面积：S侧 = 底面圆周长 × 高 = 2πr × h。关键是找到r和h ◎圆锥侧面积：S侧 = 底面圆周长 × 母线长 ÷ 2 = πr × l。关键是区分母线长l和高h，它们满足l² = r² + h² ◎已知展开图：若侧面展开图已知，则直接计算展开的矩形或扇形的面积即可 【典例1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）圆锥的半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是 ． 【变式1】（浙江宁波·中考真题）如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（九年级上·浙江杭州·期末）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积为 【变式3】（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图是一个高为的圆柱，其底面周长为，则该圆柱的表面积为 ． 题型七 求圆锥底面半径 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥的底面半径r是其与侧面、高构成直角三角形的关键边，常需结合勾股定理或侧面展开图来求解 ◎已知高h和母线l：用勾股定理 ◎已知侧面展开图（扇形）：扇形弧长等于底面圆周长，即，可解出（n为圆心角度数） ◎已知侧面积S侧和母线l：由 S侧 =πrl 得r =S侧÷(πl) 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 【变式2】（2024·浙江宁波·一模）如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江衢州·期末）用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ． 题型八 求圆锥的高 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥的高h是顶点到底面圆心的垂直距离，与底面半径r、母线l构成直角三角形 ◎已知母线l和底面半径r：直接用勾股定理 ◎已知体积V和底面半径r：由体积公式得 ◎已知侧面展开图圆心角n和母线l：先由求出r，再用勾股定理求h 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【变式1】（浙江宁波·一模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（　　） A．r B．2r C． r D．3r 【变式2】如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ． 题型九 求圆锥侧面展开图的圆心角 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥侧面展开后是扇形，其圆心角n与圆锥底面半径r、母线长l有固定关系：扇形弧长=底面圆周长 ◎核心公式：，推导式为 ◎计算步骤：先确定r和l，直接代入公式计算 ◎单位注意：结果n是角度数 【典例1】（九年级上·浙江金华·期末）一张半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，要求圆锥底面圆的半径为4cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（  ） A．150° B．240° C．200° D．180° 【变式1】已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为 ． 【变式2】圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为 ． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江丽水·二模）如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图所示的几何体的俯视图是图中的 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江·月考）已知圆锥的底面半径是，母线长是，那么它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为 ． 5．（2021·浙江衢州·二模）已知圆锥的底圆半径为，侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 6．（2025·浙江温州·三模）如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________． (3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图是用5个相同的小立方体搭成的几何体，其主视图是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 5．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表面积最小是 ． 6．（22-23九年级下·浙江湖州·月考）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积是 ． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图． (1) (2) 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出它的三视图． (2)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以有 种添加方法． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $