9.4 三元一次方程组课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念、解法及应用，通过复习二元一次方程组解决问题的步骤，以小亮与家人年龄问题引出三个未知数，搭建从二元到三元的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以实际问题驱动，如行程往返上下坡、三位数数字关系等，培养数学眼光中的抽象能力和模型意识。通过消元转化（三元→二元→一元），发展数学思维中的推理与运算能力。课堂小结清晰呈现转化脉络，帮助学生构建知识体系，教师可借助多样化例题练习提升教学效果。

第9章 二元一次方程组 数学 青岛版 七年级下册 9.4 三元一次方程组 2 知识回顾 9.4 三元一次方程组 上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题。本节将学习三元一次方程组及其解法，并用它解决含有更多未知数的实际问题。 新课导入 9.4 三元一次方程组 小亮与爸爸、爷爷三人的年龄之和为 120 岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸的年龄之和多 12 岁，爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差。他们三人的年龄分别是多少? 这个问题中有哪些未知量? 存在哪些等量关系? 这个问题中有三个未知量：小亮、爸爸和爷爷的年龄。 新课讲解 9.4 三元一次方程组 设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别是 x 岁、y 岁、z 岁。根据题意，列出以下三个方程： x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 9.4 三元一次方程组 这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，将这三个方程联立，得到方程组 x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 ① ② ③ 像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组 (system of linear equations with three unknowns). 9.4 三元一次方程组 用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，那么能否用同样的思路解三元一次方程组呢? 9.4 三元一次方程组 观察每一个方程的形式，用代入消元法消去未知数义，把这个三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，就可以逐步求出每一个未知数的值了。 9.4 三元一次方程组 x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 ① ② ③ 将方程②分别代入①和③，消去未知数，得二元一次方程组 x＋y＝54， ④ －2x＋y＝12。⑤ 解由④⑤组成的二元一次方程组，得 x＝14， y＝40。 9.4 三元一次方程组 x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 ① ② ③ 代入方程②，得 z＝66. 原三元一次方程组的解是 所以，小亮14岁，爸爸40岁，爷爷66岁。 x＝14， y＝40， z＝66. 9.4 三元一次方程组 解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值。 消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。 9.4 三元一次方程组 解方程组 例 1 y＋2z＝5， x－2y＋3z＝3， 2x＋3y－2z＝－3。 ① ② ③ 解：2×②－③，得 －7y＋8z＝9。 ④ ①与④组成二元一次方程组 y＋2x＝5， －7y＋8z＝9。 解方程组，得 y＝1， z＝2。 9.4 三元一次方程组 解方程组 例 1 y＋2z＝5， x－2y＋3z＝3， 2x＋3y－2z＝－3。 ① ② ③ 将 y＝1，z＝2 代入 ②，得 x＝－1。 所以原方程组的解是 x＝－1， y＝1， z＝2。 9.4 三元一次方程组 例 2 从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km。汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h。求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米? 解：设从甲地到乙地时，平地为 x km，上坡为 y km，下坡为 z km，则从乙地到甲地，平地为 x km，上坡为 z km，下坡为 y km。 9.4 三元一次方程组 根据题意，得 x＋y＋z＝98， ＋＋＝2.8， ＋＋＝2.7。 解方程组，得 x＝80， y＝12， z＝6。 所以，从甲地到乙地时，平地为 80 km，上坡为 12 km，下坡为 6 km。 9.4 三元一次方程组 1. 解下列方程组： y＝5－x－3z， (1) x＋y＋z＝1， 2x－y－4z＝5； x＋y－z＝4， (2) x＋y＋z＝2， －x＋2y＋z＝2。 9.4 三元一次方程组 y＝5－x－3z， (1) x＋y＋z＝1， 2x－y－4z＝5； ① ② ③ 解：将①分别代入②③，消去未知数 y， 得 解方程组，得 将 x＝4，z＝2 代入①，得 y＝－5. 5－2z＝1， 3x－z＝10， x＝4， z＝2. 所以原方程组的解是 x＝4， y＝－5， z＝2。 9.4 三元一次方程组 x＋y－z＝4， (2) x＋y＋z＝2， －x＋2y＋z＝2。 ① ② ③ 解：①＋③，得 3y＝6，解得 y＝2. ①－②，得 －2x＝2，解得 z＝－1. 将 y＝2，z＝－1 代入①， 得 x＋2＋1＝4， 解得 x＝1. 所以原方程组的解是 x＝1， y＝2， z＝－1. 9.4 三元一次方程组 2. 现有一个三位数，三个数位上的数字之和为 12，个位数字是百位与十位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍。求这个三位数。 解：设这个三位数的个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z. 9.4 三元一次方程组 根据题意，得 x＋y＋z＝12， x＝2(y＋z)， z＝3y， 解方程组，得 x＝8， y＝1， z＝3. 所以，这个三位数是 318. 9.4 三元一次方程组 课堂小结 9.4 三元一次方程组 习题 9.4 9.4 三元一次方程组 1.解下列三元一次方程组： ▣ 复习巩固 x＋2y＝5， (1) y－3z＝7， 4z＋x＝13； 3x－5y＋6z＝4， (2) 3x－2y＋2z＝3， －3x－3y＋5z＝－1。 9.4 三元一次方程组 x＋2y＝5， (1) y－3z＝7， 4z＋x＝13； ① ② ③ 解：由②，得 y＝3z－7. ④ 将④代入①，得 x＋6z＝19. ⑤ ⑤－③，得 2z＝6，解得 z＝3. 将 z＝3 代入 ③，得 4×3＋x＝13，解得 x＝1. 将 z＝3 代入④，得 y＝2. 所以原方程组的解是 x＝1， y＝2， z＝3. 9.4 三元一次方程组 3x－5y＋6z＝4， (2) 3x－2y＋2z＝3， －3x－3y＋5z＝－1。 ① ② ③ 解：①－②，得 －3y＋4z＝1. ④ ②＋③，得 －5y＋7z＝2. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解方程组，得 －3y＋4z＝1， －5y＋7z＝2. y＝1， z＝1. 9.4 三元一次方程组 3x－5y＋6z＝4， (2) 3x－2y＋2z＝3， －3x－3y＋5z＝－1。 ① ② ③ 将 y＝1，z＝1 代入①，得 x＝1. 所以原方程组的解是 x＝1， y＝1， z＝1. 9.4 三元一次方程组 2. 已知代数式 ax2＋bx＋c。当 x＝1 时，代数式的值为 0；当 x＝2 时，代数式的值为 3；当 x＝3 时，代数式的值为 28。求 a，b，c 的值。 解：根据题意，得 a＋b＋c＝0， ① 4b＋2b＋c＝3， ② 9a＋3b＋c＝28，③ ②－①，得 3a＋b＝3， ④ ③－②，得 5a＋b＝25，⑤ 9.4 三元一次方程组 ④与⑤组成二元一次方程组 解方程组，得 将 a＝11，b＝－30 代入①，得 c＝19. 所以原方程组的解是 所以，a，b，c 的值分别是 11，－30，29. 3a＋b＝3， 5a＋b＝25， a＝11， b＝－30， a＝11， b＝－30 c＝19， 9.4 三元一次方程组 3. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜 1 场得 3分，平 1 场得 1 分负 1 场得 0 分。某中学足球队在 12 场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得 21 分，该队在联赛中胜、平、负各几场? 解：设该队在联赛中胜 x 场，平 y 场，负 z 场. 根据题意，得 解方程组，得 所以，该队在联赛中胜6场，平3场，负3场. x＋y＋z＝12， x＝y＋z， 3x＋y＝21， x＝6， y＝3， z＝3. 9.4 三元一次方程组 ▣ 拓展延伸 4. 已知 ＝＝，x＋y－z＝。求 x，y，z 。 解：设 ＝＝＝k (k≠0)， 则 x＝2k，y＝3k，z＝4k， 所以 2k＋3k－4k＝，解得 k＝. 所以 x＝，y＝，z＝. 9.4 三元一次方程组 5.从下列方程组中，求出x，y之间的关系，用不含 t 的式子表示。 x＝3－t， (1) y＋5＝t＋1； 3t＋x＝5y， (2) 2t－3x＝2y。 解：由①，得 t＝3－x，③ 将③代入②，得 y＋5＝3－x＋1， 所以x＋y＝－1 ① ② ① ② 解：①×2－②×3，得 11x＝4y， 所以 11x－4y＝0. 9.4 三元一次方程组 ▣ 探索创新 6. 是否存在一个数 a，使关于 x，y 的方程组 的解满足 x 与 y 互为相反数? 若存在，求 a 的值。再提出一个与这个方程组的解有关的问题并解答。 2x＋y＝2a＋1， x＋2y＝5－5a 解：存在。 9.4 三元一次方程组 2x＋y＝2a＋1，① x＋2y＝5－5a，② ①＋②，得 3x＋3y＝6－3a， 所以 x＋y＝2－a. 因为 x 与 y 互为相反数，所以 x＋y＝0. 所以 2－a＝0，解得 a＝2. 9.4 三元一次方程组 提出问题：若原方程组的解满足x＋y＝－3，求 a 的值. 由以上可知 x＋y＝2－a， 因为 x＋y—3， 所以 2－a＝－3， 解得 a＝5. 9.4 三元一次方程组 $