9.3 二元一次方程组与实际问题课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“二元一次方程组与实际问题”，通过复习代入消元法、加减消元法导入，以制作A型B型纸盒为例，用表格梳理正方形和长方形纸板数量关系，引导学生抽象等量关系，构建“实际问题—设元找等量关系—列方程组—求解—验证”的学习支架，衔接解法与应用。 其亮点在于以绿化校园、瓷砖拼接等生活实例和《九章算术》“牛羊值金”等古代算题培养数学眼光，通过表格、线段图分析等量关系发展几何直观与抽象能力，概括解题步骤强化模型意识。练习分层设计，从基础到创新，智趣园“两鼠穿墙”激发好奇心，帮助学生提升用数学思维解决实际问题的能力，为教师提供结构化流程和多样化素材，提升教学效率。

第9章 二元一次方程组 数学 青岛版 七年级下册 9.3 二元一次方程组与实际问题 2 知识回顾 9.3 二元一次方程组与实际问题 认识了二元一次方程组，学习了它的解法后，本节将探究如何应用二元一次方程组解决实际问题。 新课导入 9.3 二元一次方程组与实际问题 用长方形和正方形的纸板制作 A型、B型两种无盖的长方体纸盒(图9.3-1)，日长方形的宽与正方形的边长相等。现有正方形纸板140张，长方形纸板360张恰好可以制成多少个A型纸盒?多少个B型纸盒? 图 9.3-1 新课讲解 9.3 二元一次方程组与实际问题 图 9.3-1 问题中的等量关系是： A型、B型纸盒所用正方形纸板的数量之和等于正方形纸板总数， A 型、B型纸盒所用长方形纸板的数量之和等于长方形纸板总数。 9.3 二元一次方程组与实际问题 设恰好可以制成 A 型纸盒 x 个，B 型纸盒 y 个，借助下面的表格，可以表示出问题中的等量关系。 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：设恰好可制成 A 型纸盒 x 个，B 型纸盒 y 个。根据题意，得 x＋2y＝140， 4x＋3y＝360。 解方程组，得 x＝60， y＝40。 所以，恰好可以制成 A 型纸盒 60 个，B 型纸盒 40 个。 9.3 二元一次方程组与实际问题 应用二元一次方程组解决实际问题的一般过程包含哪些步骤呢? 9.3 二元一次方程组与实际问题 列二元一次方程组解决实际问题的一般过程是 9.3 二元一次方程组与实际问题 1.为绿化校园，某中学购买了杨树苗和柳树苗共100棵。杨树苗3元/棵，柳树苗7元/棵，买树苗共用460元。求该校购买两种树苗各多少棵。 解：设该校购买杨树苗 x 棵，柳树苗 y 棵. 根据题意，得 解方程组，得 所以，该校购买杨树苗 60 棵，柳树苗 40 棵. x＋y＝100， 3x＋7y＝460， x＝60， y＝40. 9.3 二元一次方程组与实际问题 2. 如图，用 8 块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为 60cm 的长方形墙面(瓷砖间的缝隙忽略不计)。求每块瓷砖的长和宽。 解：设每块瓷砖的长为 x cm，宽为 y cm . 根据题意，得 解方程组，得 所以，每块瓷砖的长为 45 cm，宽为 15 cm. x＋y＝60， x＝3y， x＝45， y＝15. 9.3 二元一次方程组与实际问题 弹簧不挂物体时的长度称为弹簧的自然长度。在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧增加的长度是相同的。 例 1 在弹性限度内，某弹簧所挂物体质量与弹簧长度的数据如下表： 当所挂物体的质量为 5kg 时，该弹簧的长度是多少? 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：设某弹簧的自然长度为 x cm，弹性限度内所挂物体的质量每增加 1kg 时，弹簧的长度增加 y cm。根据题意，得 x＋0.5y＝11， x＋3y＝16。 解方程组，得 x＝10， y＝2。 当所挂物体的质量为 5kg 时，该弹簧的长度为 10＋5×2＝20 (cm)。 所以，当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度为20cm。 9.3 二元一次方程组与实际问题 A，B 两块试验田去年共产小麦 500 kg。今年采用新技术实现了增产，共产小麦 562 kg。已知 A 试验田今年比去年增产 16%，B 试验田今年比去年增产 10%。今年 A，B 两块试验田的产量分别是多少? 例 2 解：设去年 A 试验田产小麦 x kg，B 试验田产小麦 y kg。根据题意，得 x＋y＝500， (1＋16%)x＋(1＋10%)y＝562。 9.3 二元一次方程组与实际问题 解方程组，得 x＝200， y＝300。 因为 (1＋16%)×200＝232 (kg)， (1＋10%)×300＝330 (kg)。 所以，今年 A，B 两块试验田的产量分别为 232kg，330kg。 9.3 二元一次方程组与实际问题 1. 甲、乙两名同学各有若干零花钱。若乙把自己一半的钱给甲，则甲有 50 元；若甲把自己 的钱给乙，则乙的钱也为 50 元。那么甲、乙各有多少元? 解：设甲有 x 元，乙有 y 元，根据题意，得 解方程组，得 所以，甲有 37.5 元，乙有 25 元. x＋y＝50， x＋y＝50， x＝37.5， y＝25. 9.3 二元一次方程组与实际问题 2. 某校七年级共有 180 名学生，他们的体质健康测试及格率为90%。如果男、女生的体质健康测试及格率分别为 85%，94%，那么男、女生各有多少人? 解：设男生有 x 人，女生有 y 人. 根据题意，得 解方程组，得 所以，男生有80人，女生有 100 人. x＋y＝180， 85%x＋94%y＝180×90%. x＝80， y＝100. 9.3 二元一次方程组与实际问题 长江上一艘游船从沙市出发，船速为 17km/h，经过若干小时到达宜昌。如果船速提高 1km/h，那么用同样多的时间，游船可从沙市到达宜昌上游 9km 处的葛洲坝 (图9.3-2)。提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少?沙市到宜昌的航程是多少? 例 3 9.3 二元一次方程组与实际问题 分析：借助线段图分析它们之间的关系(图9.3-3) 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：设游船提速前从沙市航行到宜昌所用的时间为 x h，沙市到宜昌的航程为 y km。根据题意，得 17x＝y， (17＋1)x＝y＋9。 解方程组，得 x＝9， y＝153。 所以，提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间为 9h，沙市到宜昌的航程为 153 km。 9.3 二元一次方程组与实际问题 某公司租用甲、乙两种冷柜车运送水果，每次装满水果后由 A 地运往 B 地。前两次租用这两种冷柜车的信息如下表： 例 4 第三次运送水果时租用了3辆甲种冷柜车和5辆乙种冷柜车。如果每吨水果的运费为280元，那么第三次运送水果应支付运费多少元? 9.3 二元一次方程组与实际问题 分析：第三次运送水果的费用与运送的吨数有关，所以需要先求出甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果的吨数。 等量关系是：__________________＝15.5， __________________＝35。 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：设甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果 x t，y t。根据题意，得 2x＋3y＝15.5， 5x＋6y＝35。 解方程组，得 x＝4， y＝2.5。 第三次运送水果所需费用为 (3×4＋5×2.5)×280＝6860(元)。 所以，第三次运送水果应支付运费 6860元。 9.3 二元一次方程组与实际问题 1.根据题意，列方程组： 小亮和小莹练习跑步，如果小亮让小莹先跑 10m，那么小亮跑 5s 就能追上小莹如果小亮让小莹先跑 2s，那么小亮跑 4s就能追上小莹。两人每秒各能跑多少米? 解：设小莹每秒跑 x m，小亮每秒跑 y m. 9.3 二元一次方程组与实际问题 根据题意，得 解方程组，得 所以，小莹每秒跑 4 m，小亮每秒跑 6 m. 5x＋10＝5y， (4＋2)x＝4y， x＝4， y＝6. 9.3 二元一次方程组与实际问题 2. 商场用36000元购进甲、乙两种玩具，全部销售完后共获利6000元。甲种玩具进价为120元/个，售价为138元/个；乙种玩具进价为100元/个，售价为120元/个。该商场购进甲、乙两种玩具各多少个? 解：设该商场购进甲种玩具 x 个，乙种玩具 y 个. 9.3 二元一次方程组与实际问题 根据题意，得 解方程组，得 所以，该商场购进甲种玩具 200 个，乙种玩具 120 个. 120x＋100y＝36 000， (138－120)x＋(120－100)y＝6 000. x＝200， y＝120. 9.3 二元一次方程组与实际问题 课堂小结 9.3 二元一次方程组与实际问题 习题 9.3 9.3 二元一次方程组与实际问题 1. 某校七年级 1 班为鼓励同学们积极参加锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍购买方案如下图： 根据图中信息，求每个羽毛球拍和每个乒乓球拍的价格。 ▣ 复习巩固 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：设每个羽毛球拍的价格为元，每个乒乓球拍的价格为 y 元. 根据题意，得 解方程组，得 所以，每个羽毛球拍的价格为 80 元，每个乒乓球拍的价格为 60 元. x＋2y＝200， 2x＋y＝220. x＝80， y＝60. 9.3 二元一次方程组与实际问题 2.《九章算术》“方程”章中记载：今有牛五羊二，直金十两。牛二羊五，直金八两问牛羊各直金几何。大意为：5 头牛和 2只羊，共值金 10 两。而 2 头牛和 5 只羊共值金 8 两。问 1 头牛、1 只羊各值金几两。请列方程组求解。 解：设1头牛值金 x 两，1只羊值金 y 两. 根据题意，得 解方程组，得 所以，1头牛值金两，1 只羊值金两. 5x＋2y＝10， 2x＋5y＝8， x＝， y＝. 9.3 二元一次方程组与实际问题 3. 校园篮球比赛中每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分，负一场得 1 分。七年级 1 班代表队全部比赛完成后的部分统计结果如下表： 这次校园篮球比赛中，七年级 1 班代表队胜了多少场? 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：根据题意，得 解方程组，得 所以，这次校园篮球比赛中，七年级1班代表队胜了8 场. x＋y＝18， 2x＋y＝26. x＝8， y＝10. 9.3 二元一次方程组与实际问题 ▣ 拓展延伸 4. 某校参加夏令营的学生到餐厅用餐，若每张餐桌安排坐 7 人，则剩 7 人没有座位若每张餐桌安排坐 9 人，则空出一张餐桌。求餐桌数和学生总人数。 解：设餐桌有 x 张，学生有 y 人. 根据题意，得 解方程组，得 所以，餐桌有 8 张，学生有 63 人. 7x＋7＝y， 9(x－1)＝y， x＝8， y＝63. 9.3 二元一次方程组与实际问题 5.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成。已知1m3，木料可制作桌面50个，或制作桌腿300条。若用5m3木料制作同样的方桌，恰好用完木料，那么用于制作桌面、桌腿的木料量分别是多少? 解：设用 xm3 木料制作桌面，用 ym3 木料制作桌腿. 根据题意，得 解方程组，得 所以，用 3m3 木料制作桌面，用 2m3 木料制作桌腿. x＋y＝5， 50x×4＝300y， x＝3， y＝3. 9.3 二元一次方程组与实际问题 ▣ 探索创新 6. 服装公司统计了第一季度各个月份男装、女装的销售收入，绘制了下面三幅扇形统计图。1月份男装、女装销售总收入是50万元，3月份男装、女装销售收入比2 月份男装、女装销售收入分别增加了6万元和 24万元。第一季度男装、女装销售收入各是多少万元? 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：设2月份男装销售收入是 x 万元，女装销售收人是 y 万元. 9.3 二元一次方程组与实际问题 根据题意，得 解方程组，得 所以，2月份男装销售收入是30万元，女装销售收入是 30万元. 所以，3月份男装销售收人是 30＋6＝36(万元)， 3月份女装销售收入是 30＋24＝54 (万元). x＝y， ＝， x＝30， y＝30. 9.3 二元一次方程组与实际问题 第一季度男装销售收入是 50×30%＋30＋36＝81(万元)， 第一季度女装销售收入是 50×70%＋30＋54＝119(万元). 所以，第一季度男装销售收入是81万元，女装销售收入是 119 万元. 9.3 二元一次方程组与实际问题 两鼠穿墙 《九章算术》中记载了一个有趣的问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢，各穿几何。 大意为：两只老鼠在一道厚5尺的墙的两边相对打洞。大鼠第一天穿墙1尺，以后每天的进度是前一天的2倍；小鼠第一天也穿墙1尺，以后每天的进度是前一天的一半。 9.3 二元一次方程组与实际问题 问两只老鼠几天后相遇。各穿墙几尺。 第一天，大鼠、小鼠各穿墙1尺，共2尺；第二天，大鼠穿墙2尺，小鼠穿墙半尺。两天大鼠和小鼠共穿墙45尺，离穿透墙尚差0.5尺。第三天，大鼠穿墙速度为 4尺/天，小鼠为 0.25尺/天，不足一天两鼠即可相遇。设第三天大鼠穿墙x尺，小鼠穿墙y尺，其中的等量关系是：大鼠、小鼠一共穿墙0.5尺，该天在相遇时大鼠、小鼠所用的时间相等。请根据以上信息分析解决问题。 9.3 二元一次方程组与实际问题 解：根据题意，得 解方程组，得 所以，第三天大鼠穿墙 尺，约为 0.47 尺，小鼠穿墙 尺，约为 0.03 尺. 第三天所用的时间为 ×4＝ (天)≈2时49分. x＋y＝0.5， ＝， x＝， y＝. 9.3 二元一次方程组与实际问题 三天大鼠穿墙约 1＋2＋0.47 ＝ 3.47 (尺)， 三天小鼠穿墙约 1＋0.5＋0.03＝1.53 (尺). 所以，两只老鼠在第三天凌晨大约2时49分相遇，此时大鼠穿墙约为 3.47尺，小鼠穿墙约为 1.53 尺. 9.3 二元一次方程组与实际问题 $