精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025年12月高二数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：B 2. 已知直线，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，列出a满足的方程以及不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知直线，， 故且， 解得， 故选：B 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 4. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称求出值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系. 【详解】因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 5. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 6. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：D. 7. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出的值，再利用离心率公式可得结果. 【详解】因为， 所以可设， 若曲线为椭圆则，则； 若曲线为双曲线则，，∴，故选. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设的内切圆与分别切于点，利用切线长定理可得，结合椭圆的的定义可得，进而求得，结合已知可得，可求得，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值. 【详解】设的内切圆与分别切于点，如图所示： 则． 又因为，联立，可得， 又因为 ， 所以，所以， 因为的重心是三边中线的交点，所以在上， 由重心性质可得，因为，所以，解得， 所以，所以椭圆的方程为， 因为在椭圆上，所以， 所以，其中， 当，取最大值，最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，从而求得，进而求得. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对； 对于B选项，若与相互独立，则， 所以，，B对； 对于C选项，若，且， 所以，事件与相互独立，C对； 对于D选项，若，则，所以，，D错. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A正确； 对于B，所以抛物线，所以焦点为，设， 因为为线段的中点， 所以，即， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 由的坐标可知， 所以的周长为， 当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，所以周长的最小值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是4 B. 的最大值是4 C. 取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得. 【详解】由，得，即.如图： 对于A：由椭圆的定义得，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B：因为，所以， 又因为，所以，又因为， 所以，当且仅当时等号成立.所以B错误； 对于C：由，所以，即， 当且仅当，即代入，解得或， 所以当时，有最小值，故C正确； 对于D：因为点在抛物线 上，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义，到点的距离等于P点到准线的距离. 因为，所以，得， 所以到点的距离， 当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.故D正确. 三、填空题（共15分） 12. 椭圆的焦距为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程确定长半轴的平方，短半轴的平方，根据椭圆中、、的关系求出半焦距的平方，从而得到半焦距，由椭圆的焦距为计算焦距. 【详解】由椭圆方程可知，椭圆的焦点在轴上因为， 其中长半轴的平方，短半轴的平方. 根据椭圆中、、的关系，计算得：， 故.椭圆的焦距为，因此焦距为. 故答案为：. 13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 14. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率. 【详解】设,,, 依题意,得, 即, 两边平方化简得,则圆心为,半径, 当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为, 解得； 当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为, 解得, 故双曲线的离心率为. 故答案为: 【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题. 四、解答题（共80分） 15. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 由题意得， 故 ． 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由①知. 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【小问1详解】 依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 ①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②略 18. 甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． （2）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算可得； （2）利用计算可得. 【小问1详解】 设表示甲两轮猜对个成语的事件，表示乙两轮猜对个成语的事件．， 根据独立事件的性质，可得 ，， 设A=“两轮活动‘监利一中队’猜对3个成语”， 则，且与互斥，又甲乙的作答相互独立， 所以， 因此，“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 【小问2详解】 “`监利一中队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号” ， 所以“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 19. 已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N． ①求的最大值； ②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值． 【答案】（1） （2）①最大值为；②定值16 【解析】 【分析】（1）由重心得到，从而得到点的轨迹为以，的焦点的椭圆（除去两个与轴的两个交点），从而得到椭圆方程； （2）①设，，则，确定直线PC方程，得到点M的坐标，同理得到N点坐标，表达出，从而求出的最大值； ②表达出，结合，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，且， 故， 故点的轨迹为以，的焦点的椭圆（除去两个与轴的两个交点）， 其中，解得， 故， 故曲线E的方程为； 【小问2详解】 ①设，，则， 则直线PC方程为， 令得， 直线PD方程为， 令得， 则， 因为，所以， 故当时，， ②为定值，理由如下： 因为，所以， 故. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月高二数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 2. 已知直线，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 6. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 7. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 11. 已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是4 B. 的最大值是4 C. 取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 三、填空题（共15分） 12. 椭圆的焦距为__________． 13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 14. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 四、解答题（共80分） 15. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 18. 甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． （2）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 19. 已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N． ①求的最大值； ②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $