江西省抚州市南城县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

南城县2025-2026学年度上学期学生学业质量监测 九年级数学期中试题答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1-6 B A A D A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 8.7 9. 10. 20 11. 12.1或9 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解：（1）， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：＝4+，＝4- ； ……3分 （2）， ∴， ∴， 即，， 解得： ，． ……6分 14.（1）证明：∵， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； ………3分 （2）解：根据题意，可得， 解得： ……………………………………………………4分 将代入一元二次方程，得 ， …………………………………………………………5分 ， 解得＝1，. 即方程的另一根为-3. ………………………………………………………6分 或者∵=-3, ＝1，∴.…………………………………6分 15.（1）随机；…………………………………………………………2分 （2）解：列表如下：小刚 小明 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由图得，共有16种等可能结果，其中，小明和小刚两名同学抽到相同题目的结果数有4种， ∴． …………………………………………………………6分 16.解：（1）如图 1，即为所求； ………………………………………………………………3分 （2）如图 2，即为所求． …………………………………………………………………………6分 17.证明：∵在中，，过点作于点， ∴为中点， …………………………………………1分 ∵点为的中点， ∴为中位线， ∴， . …………………………………………………2分 又∵， ∴四边形是平行四边形． …………………………………………3分 在中，， ∴ ， ……………………………………………………………4分 即， ………………………………………………………………5分 ∴四边形是菱形. …………………………………………………6分 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.解：∵，， ∴，，…………………………1分 ∵， ∴， ………………………………………………2分 ∴，………………………………………………………3分 ∴，…………………………………………………………4分 ∴， ………………………………………………………………5分 ∵， 设，， 可得，，……………………………………………………………6分 解得：， 经检验：是方程的解，……………………………………………7分 ∴. 答：建筑物的高度为． …………………………………………8分 19.（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线， ∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA，…………………………………………1分 ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△A'BE（SSS）， ∴∠BAE＝∠BA'E＝90°， ……………………………………………2分 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， ∴A'D＝A'E=1， ……………………………………………………3分 ∴DE，…………………………………………………………4分 ∴AD＝AE+DE1， ∴AB＝AD＝A'B1；……………………………………………………5分 （2）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC， ∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，……………………………………………………6分 ∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°，…7分 ∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°…………………………………………………………………8分 20.（1）50；83.5；144°．……………………………………………………3分 （2）B组的人数为50×30%＝15（人）． 补全频数分布直方图如图所示． ……………………………………………………6分 （3）1200720（人）． ∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人．…………………8分 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.（1）①270； ……………………………………………………………………2分 ②；……………………………………………………………4分 （2）根据题意得， ………………………6分 整理得， ………………………………………………………7分 解得：， ， …………………………………………………………8分 ∴当为2或16时，月销售利润为3120元． …………………………………9分 22.解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC．……………………………………………………………………1分 当点和点分别是和的中点时， 可得AD AC，BN BC＝2，………………………………………………2分 故a． ………………………………………………………………………3分 （2）∵，AD＝a BN， ∴ADBN， 设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， …………………………………4分 ∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4， ∴，，…………………………………5分 ∵M是AB的中点， ∴， ∴∠B＝∠C＝45°，…………………………………6分 当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN∽△BMN时，则， 即，此方程无解，不符合题意；…………………………………7分 ②当△CND∽△BMN时，则， ∴解得：（不符合题意，舍去）或 ， ∴，……………………………………………………………………8分 综上可得．……………………………………………………………9分 23.(1) 解：如图，延长FG交AD于H， ∵， ∴AB=AD，BE=EG，…………………………………………………1分 ∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形， ∴∠A=∠AEG=∠EGH=90°，…………………………………………2分 ∴四边形AEGH是矩形， ∴AE = HG，AH = EG， ………………………………………………3分 ∵AD - AH = AD - EG = AB - BE， ∴HD = HG， ……………………………………………………………4分 ∴DG =HG =AE， ∴; …………………………………………………………………5分 （2）解：如图，连接 BG，BD， ∵， ∴AB=AD，BE=EG， ∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形， ∴BD =AB，BG =BE，∠ABD = ∠EBG = 45°，……………6分 ∴，∠ABE = ∠DBG，…………………………………7分 ∴△ABE ∽ △DBG， ………………………………………………8分 ∴；……………………………………………………………9分 （3） . ……………………………………………………………12分 参考答案与试题解析 1.【分析】根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案． 【解答】解：∵的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2.【分析】每人必须参加且只参加一类社团活动共有3种等可能的结果，其中学生小英恰好选中“阅读社团”的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：每人必须参加且只参加一类社团活动共有3种等可能的结果，其中学生小英恰好选中“阅读社团”的结果有1种，其概率是 . 故选：A． 【点评】本题考查了根据概率公式计算概率.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 3.【分析】利用菱形的性质计算求解即可． 【解答】解：∵剪的菱形的两条对角线分别为和， ∴对角线的一半分别为和， ∵菱形的对角线互相垂直， ∴这个菱形的边长为. 故选：A． 【点评】此题考查了菱形的性质，解题的关键是菱形的对角线互相平分且垂直，还运用了勾股定理. 4.【分析】由矩形的性质，得到，，进而得到，，再利用三角形内角和定理，求得，然后由等边对等角的性质，得到，即可求出的度数． 【解答】解：矩形对角线AC与BD相交于点0， 矩形，O ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质． 5.【分析】由于四边形是平行四边形，可得，；由易证得，已知了对应边的比例关系，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， 设，则，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：A． 【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．还考查了平行四边形的性质. 6.【分析】如图，连接，延长交于，则，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，，由是的中点，，可得，计算求解即可． 【解答】解：如图，连接，延长交于，   ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点，， ∴， 故选：C． 【点评】此题考查了运用矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.【分析】由可设，，是非零整数，再代值计算即可得出答案. 【解答】解：由可设，，是非零整数， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质变形，代入求值即可．准确利用性质变形是解题的关键． 8.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：7． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系： ， ． 9.【分析】列举出连续两次掷硬币的所有可能结果，再确定两次都是正面朝上的结果数，最后用除法计算该结果数占总结果数的比例得到概率. 【解答】解：每次掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面朝上或反面朝上两种结果.列树状图如下： 共4种情况，两次都是正面朝上的结果数有1种情况，所以概率为． 故答案为． 【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 10.【分析】先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边，即可求出菱形的周长， 【解答】解：∵， ∴， ∴＝3，＝5， 当＝3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去； 当＝5时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边5，5能组成三角形，即存在菱形， ∴菱形的周长为5×4＝20． 故答案为：20． 【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，解本题的关键是确定出菱形的边长，难点是用三角形的三边关系判断符合条件的的值，也是易错点． 11. 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质．根据，，，，可以判定四边形和四边形均为矩形、，根据相似三角形的性质可知，根据矩形的性质可知，所以可得物体被缩小到原来的． 【解答】解：∵，，，， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∵焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴物体被缩小到原来的． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长. 12．【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 【解答】①当点在线段上时， 如图1所示：∵， ∴，，三点共线， ∵，图1 ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 【点评】此题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等.根据直角三角形的性质分情况讨论求解的长度是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．【分析】（1）利用配方法，即可解答； （2）利用因式分解法，即可解答， 【解答】解：（1）， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：＝4+，＝4- ； （2）， ∴， ∴， 即，， 解得： ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 14.【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b 2﹣4ac＞0即可； （2）将x=1代入一元二次方程，即可求出的值,再把代回原方程求得方程的另一根； 【解答】（1）证明：∵， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，可得， 解得：． 将代入一元二次方程，得 ， ， 解得＝1，. 即方程的另一根为-3. 或者∵，＝1，∴. 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根据一元二次方程根的情况求参数和另一根，熟练掌握根的判别式是解题关键． 15.【分析】（1）根据随机事件的定义进行解答即可； （2）通过列表法，可得共有16种等可能结果，其中，小明和小刚两名同学抽到相同题目的结果数有4种，再根据概率公式求解即可． 【解答】（1）由于“散文之韵”是“经典诵读”比赛题目之一，所以，“小明和小刚都抽到‘散文之韵’比赛题目”是随机事件，故答案为：随机； 小刚 小明 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由图得，共有16种等可能结果，其中，小明和小刚两名同学抽到相同题目的结果数有4种， ∴． 【点评】本题考查了事件的分类、概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 16.【分析】（1）连接AC、BD，相交于点O，则O是AC的中点，所以PO是△BCD的中位线，从而 可证PO⊥AB．如图1所示，PO即为所求； （2）连接BD交AC于点G，则G是AC的中点；连接AF、CE，相较于点H，则H是AF的中点，从而GH是△ACE的中位线，继而可得GH垂直平分AC．如图2所示，M即为所求． 【解答】解：（1）如图 1，PO即为所求； （2）如图 2，M即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17.【分析】根据等腰三角形“三线合一”的知识，得到点D为中点，再利用中位线的性质，从而得到，，再根据平行四边形判定定理证明四边形DEFB是平行四边形，再利用直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质，得到，即证明到，再根据菱形判定定理即可证明. 【解答】证明：∵在中，，过点作于点， ∴为中点， ∵点为的中点， ∴为中位线， ∴，. 又∵， ∴四边形DEFB是平行四边形． 在中，， ∴ 即， ∴四边形DEFB是菱形. 【点评】此题考查了三角形的中位线，平行四边形和菱形的判定定理，等腰三角形的三线合一，直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质，解决本题的关键是利用好中点的条件以及直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.【分析】由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，， 可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， ∴. 答：建筑物的高度为． 【点评】此题考查了相似三角形的实际应用，熟练运用“等角的余角相等”的性质和相似三角形的性质是解决本题的关键． 19．【分析】（1）由SSS可证△ABE≌△A'BE，可得∠BAE＝∠BA'E＝90°，通过证明△A'DE是等腰直角三角形，可得A'D＝A'E＝1，即可求解； （2）由折叠的性质可得BA＝BA′＝BC，可得∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，即可求解； 【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线， ∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA， ∴BE＝BE， ∴△ABE≌△A'BE（SSS）， ∴∠BAE＝∠BA'E＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， ∴A'D＝A'E＝1， ∴DE， ∴AD＝AE+DE1， ∴AB＝AD＝A'B1； （2）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC， ∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C， ∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°. 【点评】此题考查了图形的全等、等腰三角形与直角三角形的性质、正方形的性质等，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 20．【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用360°乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）求出B组的人数，补全频数分布直方图即可． （3）根据用样本估计总体，用1200乘以C，D组人数所占的百分比之和，即可得出答案． 【解答】解：（1）本次共抽取了10÷20%＝50（名）学生的模具设计成绩． 将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84， ∴成绩的中位数是（83+84）÷2＝83.5（分）． 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为360°144°． 故答案为：50；83.5；144°． （2）B组的人数为50×30%＝15（人）． 补全频数分布直方图如图所示． （3）1200720（人）． ∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人． 【点评】此题考查的是用样本估计总体、频数（率）分布直方图和扇形统计图以及找中位数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【分析】（1）利用月均销量=280-售价，①通过售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，得出售价每增长1元，月均销量就相应减少10个，所以售价增长1元，每月能售出280-10=270个背包，②售价增长元，即可用含x的代数式表示出月均销量； （2）利用总利润=每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； 【解答】（1）解：∵售价每增长2元，月均销量就相应减少20个， ∴售价每增长1元，月均销量就相应减少10个， ∴售价增长1元，每月能售出280-10=270个背包， 售价增长元，每月能售出个背包． 故答案为：①270；②； （2）根据题意得， 整理得， 解得：， ， ∴当x为2或16时，月销售利润为3120元． 【点评】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月均销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程. 22.【分析】（1）先求出AB、AC的长，再根据中点求出AD、BN的长，即可得a的值； （2）设BN＝x，得到，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，进而得到，分△CDN∽△BMN和△CND∽△BMN两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； 【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴AB＝AC． 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得AD AC，BN BC＝2， 故a． （2）∵，AD＝a BN， ∴ADBN， 设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， ∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4， ∴，， ∵M是AB的中点， ∴， ∴∠B＝∠C＝45°， 当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN∽△BMN时，则， 即，此方程无解，不符合题意； ②当△CND∽△BMN时，则， ∴解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得． 【点评】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论相似三角形是解题关键． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23.【分析】(1)由正方形的性质可得∠A=∠AEG=∠EGH=90°，由矩形的性质可得AE=HG，AH=EG，由线段和差关系可求DH=HG，即可求解；(2)通过证明△ABE∽△DBG，可得；(3) 由相似三角形的性质可求DC，GC的长，由勾股定理可求DG的长，通过证明△ABE∽△DBG，可求解. 【解答】(1)解：如图，延长FG交AD于H， ∵， ∴AB=AD，BE=EG， ∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形， ∴∠A=∠AEG=∠EGH=90°， ∴四边形AEGH是矩形， ∴AE=HG，AH=EG， ∵AD-AH=AD-EG=AB-BE， ∴HD=HG， ∴DG=HG=AE， ∴; （2）解：如图，连接BG，BD， ∵， ∴AB=AD，BE=EG， ∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形， ∴BD=AB，BG =BE，∠ABD = ∠EBG = 45°， ∴，∠ABE=∠DBG， ∴△ABE∽△DBG ∴； （3）解：∵，， ∴设AB=3k，AD=4k，EG=， ∴BG=， ∵∠EGD=90°， ∴∠EGB+∠DGC=90°=∠DGC+∠CDG， ∴∠EGB=∠GDC， 又∵∠BEG=∠C=90°， ∴△BEG∽△GCD， ∴， ∴， ∴k=4， ∴DC=12，GC=9， ∴DG=15， ∵∠ABD=∠EBG， ∴∠ABE=∠DBG， 又∵， ∴△ABE∽△DBG， ∴， ∴AE=， 故答案为：. 【点评】此题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质， 勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 南城县2025-2026学年度上学期学生学业质量监测 九年级数学期中试题答案 (本试题满分120分,考试时间120分钟) 命题人： 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围( ). A． B． C． D． 2.某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为初一学生新增加了三类社团活动（阅读社团、合唱社团、手工社团），每个班47人，要求每人必须参加且只参加一类社团活动，其中学生小英恰好选中“阅读社团”的概率是( ). A． B． C． D． 3.某中学的剪纸社团想剪出菱形图片作为教学用具，小花同学剪的菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长是( ). A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，于点，，那么等于( ). A．75° B．60° C．45° D．30° 5．如图，平行四边形中，，交于点如果，的面积为，那么的面积是( )． A． B． C． D． 6．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是( ). A．6 B． C． D．10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若，则 ． 8.已知， 是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 9.小星连续掷2次质地均匀的硬币，连续2次均是正面朝上的概率是 ． 10.菱形的一条对角线的长为 6，边 AB 的长是方程 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为 ． 11．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的 ． 12．如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ．   三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.用适当的方法解下列方程： （1） （2） 14.已知关于的一元二次方程． 求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； 若方程的一根为，求的值及方程的另一根. 15．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小明和小刚两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组． （1）“小明和小刚都抽到‘散文之韵’比赛题目”是 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小明和小刚两名同学抽到相同题目的概率． 16.已知矩形ABCD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法）． （1）如图1，点P为CD的中点，画出AB的垂直平分线； （2）如图2，在矩形ABCD中，以对角线AC为一边构造一个正方形ACFE，画出EF的中点M． 17.如图．在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的延长线于点F.若，求证：四边形DEFB是菱形. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高度，，于是这个小组设计出一种测量方案，步骤如下： 第一步：把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边所在直线分别经过建筑物外立面的顶部A和C． 第二步：用皮尺度量和的长． 第三步：通过计算得到建筑物的高度． 已知示意图中点均在同一平面内，，．若测得，．请求出建筑物的高度． 19．DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了　 　名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是　 　分，成绩的众数是　 　分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为　 　． （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数. 20．如图，，，平分，平分．，，， (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．项目学习方案： 项目 情景 近年来，随着国家对生态环境的不断优化治理，生态环境持续向好，生态旅游成为一种时尚，旅游用品也随之热销． 素材 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个， 任务一 根据题意，若售价增长1元，每月能售出① 个背包，若售价增长元，每月能售出② 个背包（用含的代数式表示）； 任务二 当为何值时，月销售利润为3120元. 22.如图，在矩形中，，，点是的中点.点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． （1）当秒时，的值是多少？ （2）当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23.矩形中，，是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形. （1）特例发现：如图1，当时，求的值； （2）类比探究：如图2，将矩形绕点顺时针旋转度， 连接，当时，求的值； （3）拓展运用：如图 3，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若三点共线， 时，当时，则的长为____. 学科网（北京）股份有限公司 $