安徽省宣城市宁国中学2025年自主招生素质检测九年级数学试题

2025年自主招生素质检测 数学试题 本试卷满分120分，考试时间100分钟 注意事项： 1.全卷包括“试题卷”(4页)和“答题卡”(2页)两部分。 2.答题一律要求用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷，作图题使用2B铅笔作答，考试不 使用计算器。 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回。 弥 一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 星 1.已知方程(x2十3x)2十4(x2十3x)-45=0,则该方程所有的实数根之和为 A.-3 B.-4 C.-6 D.0 2从1,2,3.4四个数中任选两个不同的数分别记为m,”,则不等式组一m<3, 2(x-n)+3>1 有且只有两个整 数解的概率为 制 1 A.2 c D.6 如 3.已知3m=6,3”=a,2"=b,且ab=27,则m的值为 赵 A.30 B.27 c号 D.3 称 第4题图 第6题图 4.在如图所示的平面内，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿CD和DE 折叠，点B和点A重合于点F.若AB=40,AE=7,则tan∠EDF的值为 童 A.24 R名 c n￥ 5.对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点.如果函数在a≤x≤b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x=a和x=b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x 细 ≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y=2十2.x2一4x一5在下列范围内一定有零点的是 A.-2≤x≤-1 B.-l≤x≤0 C.0≤x≤1 D.1≤x≤2 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边AC的中点，点E在射线BD上运动，EF与边AB 所在直线交于点F,且∠FEC=90°，连接FC.当AB=6,AC=10时， ①△ABD∽△EDC; ②∠A=∠ECF; ③当EF=EB时，则∠EFC+2∠CFB=90,①当EF=EB时，则△BCF的面积为7 则以上说法正确的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。 7.因式分解：x3-2x2y-7xy2一4y3= 8.如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心O,另一条直线AC与⊙O分别交于点C和点D, ∠A=25°，∠ABD=10°，则弦CD的弦心距等于 DO 第8题图 第题图 9.如图，已知一次函数y=工十6的图象与反比例函数y=冬的图象在第二象限分别交于点A和点B,过点 A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C.当四边形ABCD的面积为12时，则k=」 0,已知一列数uaaa4,aa,C其中n为正整数其中a,号，a2=u,十号，ag=a,十8 9 a1=a十日a,=a,+2…n则a,= a= (用含n的表达式表示). 三、解答题：共5题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 11.(10分) (1)现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83,85,86,86,87,89,90,93,95,96，请计算 这组数据的方差； (2)先化简代数式：x 行+(y产)÷号，再求值，其中r-2+2. y=3tan30°-(sin30)-1+√2cos45. 第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 12.(12分) 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E的坐标分别为（一7,1），(1,1)，(1,7)，(7，一1)，（一1，一7）. (1)请在图1中用无刻度的直尺将线段DE分为五等分，（保留作图痕迹，不写作法） (2)请在图2中用无刻度的直尺画出△ABC的内切圆的圆心P,(保留作图痕迹，不写作法) (3)点Q为⊙P上一动点，求△QED面积的最大值 y B1 D E 图 13.(16分) 如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=∠ADC=90°，过点A的直线与CD、CB的延长 线分别交于点E和点F,E)的延长线平分BC并交BC于点H,∠AEO=∠ADB,AB=2√3， 部-9.因边形ACD的面积为05 (1)求∠EAO的值； (2)求线段BC的长； (3)如图2，连接FO,求证：ADFO. 图1 图2 第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 14.(18分) 已知矩形ABCD中，AB=6. (I)如图1，若AD=AB且点E、F分别为AD、AB的中点，BE与CF交于点P,求CP的长； (2)如图2，若AD=AB十2，点E为AD的中点，以点E为圆心，AE为半径作圆，点I为AE的中 点，延长H交⊙E丁点M,宋的值。 (3)如图3，若AD=AB十2，点P在BC上且BP=2,T为AD上任意一点，点N在四边形ABCD 内，且∠TBP=∠TPN=∠PCN,连接AN,求AN的最小值. 15.(20分) 如图1，已知二次函数y=一x2十2x十3的图象分别与x轴y轴交于A、B、C三点： 1)如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且a心CBP=弓，求点P的坐标： (2)若抛物线上有两动点F,G,且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG分别与y 轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点： (3)如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC,QE∥y轴，点N在x轴上，四边形CENM为平 行四边形，求当DE最大时，CM十CN的最小值 图1 第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025年自主招生素质检测 数学参考答案 选择题：共6小题，每小题4分，满分24分。 题号 1 2 3 5 6 答案 C D 9 B C 填空题：共4小题，每小题5分，满分20分。 7.(x+y)2(x-4y) 8.2√2 9.-5 105 10.16 (2分)，n+ 2 (3分) 11.【答案】(1)17.6(4分) (2)3(6分) 【解析】(1)把原数据均减去85得：一2,0,1,1,2,4,5,8,10,11， :7=-2+0+1+1+2+4+5+8+10+卫=4， …2分 10 s2=0[(-2-4)2+(0-4)2+(1-4)2+(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(8-4)2+(10-4)2+ (11-42]=X176=69=17.6: 5 …4分 (2)原式= -y].y y(x++(x+x(r+“-y =-t? Lr-y .y2 x2 y? 3y3 y(x+y)r(r+y)'r-yy(r+y)r(r+y)-zy(r+y)zy(x+y) =+y=x+y2-y2-xy+ xy(x+y) zy(x+y) ……6分 ,x=√4-25+2=√(W5-1)2+2=5-1+2=3+1,…8分 "=31an0-(sn30'y+Eos45-3x号-2+2 2 =3-1, …9分 代人xy,原式=⑤+1)2-5+1-1)+3-1= =3. 2 …10分 (3+1)(3-1) 12.【答案】(1)见图1(4分) (2)见图2(4分) (3)Sx=50(4分) 【解析】(1)，(2)分别如图1、2所示， y个 DD,DD DD 图1 图2 第1页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 图3 (3)由图3易知ACED,且AC与ED两平行线间距离为10， …10分 ∴点Q为AC与⊙P的切点， 由图3易知ED=10, 即△QED的面积的最大值为S20)=X10X10=50,…12分 分析：(1)如图，找到格点D1,D2,D3,D,D3,和格点E1,E2,E3,E,E, 连接D1E,D2E1,D3E2,D,E3,D5E,DE；分别交DE于H1,H2,H3,H 则H1,H2,H3,H,是线段DE的五等分点： (2)如图2，连接B点和格点F,则BF是∠ABC的平分线， 在CB延长线上找到格点S,则CS=CA=10, 在点A下方找到格点T,连接AS,AT,利用矩形对角线性质得交点R是AS中点， 连接CR,则CR是∠ACB的平分线， CR与BF相交于点P,则P为△ABC的内切圆圆心. 13.【答案】(1)∠EAO=90°(4分) (2)6(5分) (3)见解析(7分) 【解析】(1)，EO的延长线平分BC,∴，BH=CH, ∴.OH⊥BC,即∠CHO=90°， AB=AB,∴∠ADB=∠ACB,… …2分 ,∠AEO=∠ADB,∴.∠AEO=∠ACB, 又在△AEO和△HCO中，∠AOE=∠HOC, ∠EAO=∠CH0=90°.…4分 (2),四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=∠ADC=90°， ∴.在Rt△ABC和Rt△ADC中，根据勾股定理得：AB2+BC2=AD2+CD2=AC2, 号-号，故设AD=5k,CD=2张≠0.C=1>0. 第2页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP .(23)2十x2=(W3k)2十(2k)2,化简整理得：12十x2=7欣2，①… …6分 S边EArD= 9=5Mx+5m=号×25x+号×5k×2, 7 5k2+5x=90,5,即7k=90-7z,@ 72 …8分 .把②代入①得x2十7x一78=0，解得：x1=6,x2=-13(舍)，即BC的长为6.…9分 ③)证明：由(2)得BC=6,又AB=23,an☑ACB=3.∴∠ACB=30,…11分 .AC= AB=25=43∴A0=2AC=23, sin30° 1 …13分 2 又由(1)得EF是⊙O的切线， .FA⊥AC,即∠FAC=90°， 所以FA=ACtan,∠ACB=4V3·tan30°=4， 0-9-9 2 15分 在R△FA0和R△CDA中，识-，∠FA0=∠ADC=9 .Rt△FAOCRL△CDA,∴∠AOF=∠DAC,.AD/FO.…16分 4【答案)l25 (5分) 2中 上(6分) (3)√89-1(7分) 【解折】(1解法-：由题意可知AD=AB=6,AE=AP=号AB=3,如图1所示 四边形ABCD为正方形， 又E为AD中点，F为AB中点， ∴∠ABE=∠BCP, 又∠ABE+∠AEB=90°且∠ABE+∠CBP=90°， ∠AEB=∠CBP,…2分B .∠BCP+∠CBP=90°， 图1 故∠CPB=90.∴CF⊥BE,… …4分 可得△AEB∽△PFB, 器-器放PFA旺=3 BE 5 .CP=CF-PF=12/5 5 …5分 第3页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 解法二：如图1所示，，AD=AB,,矩形ABCD是正方形， .∠A=∠ABC=90°， 点E、F分别为AD、AB的中点， 六AE=BF=7AD=号AB=3, △ABE≌△BC℉，…2分 .∠ABE=∠BCF, 又∠ABE+∠PBC=90°， .∠BCF+∠PBC=90°， ∠BPC=90°，…4分 AB=6,BF=3,∴FC=3√5， .CP=BCcos∠BCP=BCcos∠BCF=BC· BC_12W5 FC 5 …5分 (2)如图2所示，过点M作MH⊥AE, ,∠MHI=∠BAI=90°，∠MIH=∠AIB, ∴.△MIH△BIA, 6分 贸绍则品- 设H=x(x>0)则MH=3x…8分 ,在Rt△MHE中有(HE)2+(MH)2=(ME)2,即(2-x)2+(3x)2=4, 六解得，=1十.，=<0（舍），…10分 图2 5 5 0-中 (3)如图3所示，过P作PQ⊥BT,作NG⊥NC …12分 SAMP-BP 2 AB -BT PQ=6. 2 2 .BT·PQ=12,① ,∠TBP=∠TPN=∠PCN, .∠BPT+∠NPC=180°-∠TPN, 又∠CNP+∠NPC=180°-∠PCN, 图3 .∠BPT=∠CNP,所以△BPT△CNP,… …13分 故熙-既即p,PC=BT,N=12,@ 由①、②可得PQ=CN,…l4分 第4页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 易知△BQP≌△GNC(ASA), CG=BP=2,… 15分 取点O为CG中点，连接NO,可知NO=1, 由题意可知，当N在AO连线上时AN的取值最小，…I7分 .(AN)n=AO-NO=√82+5-1=√89-1.…18分 15.【答案】1P(分)(5分) (2)见解析(6分) (3)30 2 (9分) 【解析】由题意可得y=-x2十2.x十3=-(x+1)(x-3),.A(-1,0),B(3,0),C(0,3). (I)如图1所示，延长BP并过C作CH⊥BC交BP于点H,过H作HH'⊥y轴，…1分 由题意知BC=3E,又1am∠CBP=号， ∴HC-3号易得HH-CH-号 5 H的坐标为号，号yam=-是 9。.-3》 39 联立 2,① 解得x1=3,x2=2, y=-x2+2x十3，② P(分卓或8.0合. 综上所述，P点坐标为（分卓。 …5分 (2)由题意可知k=2,如图2所示. 设y=2x十t,yx=k1x十b1(k1≠0)，yw=k2.x十b2(k2≠0)， F(ZFyF),G(rG.yG),B(xnyB) ye=2.x十1 xr十xG=0 联立 解得x2十1-3=0. ……6分 y=-x2+2x+3 xr·xG=l-3 y%=k1x十b1 联立 解得x2+(k1-2)x十b,-3=0 y=-x2+2x+3 ata=2-6, 7分 xH·xG=b1-3 yF=k2x十b2 联立 解得x2+(k2-2)x十b2一3=0 y=-x2+2x+3 图2 第5页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP :Patp=2-6, …8分 xH·xr=b2-3 令x=0,解得yw=b1yw=b2.E(0,b1),D(0,b2) 又C(0,3),.EC=b1-3=x形·G,DC=3-b2=-xg·xF,…10分 又，xHxG十xxr=xn(xr十xG)=0,∴.xH·xG=-xn·xF, 线段C=DC,故C为DE的中点.… …11分 (3)因为B(3,0),C(0,3)且QE轴， 85C0=∠DEQ=45品易得DE三QE,…12分 由题意可知y?=一x十3. .设Q(m,一m2+2n十3)，E(m,-m+3), .QE=-m2+2n十3-(-m+3)=-m2+3n=-(m- +号， 图3 号m》+2, DE= 8， 14分 C当m三号时，DE的取值最大，此时E点坐标为（多，，15分 如图3，作E关丁x轴对称点E,连接EE、NE',CE,易得E(号，一是》.NE=NE,…17分 ,四边形CENM为平行四边形，∴.CM十CN=CN+NE=CN+NE',…19分 (CM+CN)=CE=3/10 2 ……20分 【注】：以上各解答题，如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。 第6页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP