专题04 相交线与平行线（期末复习知识清单，5知识&17常考&3易错题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学知识清单系统梳理了“相交线与平行线”单元内容，涵盖相交线及相关概念、三线八角、平行线的概念判定与性质等核心范畴，为学生搭建了从基础概念到判定性质的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分类+易错提示”三维架构，通过“F型同位角”“Z型内错角”等图形模型培养几何直观，标注“相等的角不一定是对顶角”等易错点强化推理意识。17类题型覆盖从基础判断到综合探究，如“拐点问题辅助线作法”助力学生掌握解题技巧，既方便学生自主复习，也为教师教学设计提供精准支持。

专题04 相交线与平行线（5知识&17题型&3易错） 【清单01】相交线以及相关概念 1.两条直线相交时，有一个公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做 。 邻补角的核心性质：互补，即两个邻补角的和等于 °。 注意：互为邻补角的两个角不仅要满足数量上的互补，还要满足位置上的相邻关系。 2. 两条直线相交时，有一个公共顶点，且两边都互为反向延长线的两个角叫做 。 对顶角的核心性质是 。 在解题时，常利用对顶角相等进行角度的等量代换，需要注意的是，相等的角不一定是对顶角，必须满足对顶角的位置特征。 3. 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。 垂线具有两个重要性质： ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里的 “一点” 可以在直线上，也可以在直线外；②垂线段最短，从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段的 ，这个长度叫做点到直线的距离。 【清单02】三线八角 两条直线被第三条直线所截，会形成八个角，这八个角根据位置关系可分为三类： ①同位角：在截线的 ，且在被截两条直线的 的角，其图形特征类似 “F” 型。同位角的位置是 “同旁同侧”，在判断平行线时经常用到。 ②内错角：在截线的 ，且在 的角，其图形特征类似 “Z” 型。内错角的位置是 “两旁之间”，是平行线判定和性质的核心角之一。 同旁内角：在截线的 ，且在 的角，其图形特征类似 “U” 型。同旁内角的位置是 “同旁之间”，常通过互补关系判断直线平行。 【清单03】平行线的相关概念 1. 平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做 ，记作 a∥b。 需要注意的是，“同一平面内” 是定义的前提，空间中存在不相交也不平行的直线。 2. 平行公理及推论 平行公理：过直线外一点， 一条直线与已知直线平行。这里的 “直线外一点” 是关键，直线上的点无法作出与已知直线平行的直线。 推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。这两个推论是判断多线平行的重要依据。 【清单04】平行线的判定 平行线的判定是由角的数量关系推导直线的位置关系，核心方法有三种： ①同位角相等， ，例：若∠4=∠7，则a∥b ②内错角相等， ，例：若∠1=∠6，则a∥b ③同旁内角互补， ，例：若∠1+∠5=180°，则a∥b 【清单05】平行线的性质 平行线的性质是由直线的位置关系推导角的数量关系，与判定是互逆的关系，核心性质有三种： 两直线平行， ； 两直线平行， ； 两直线平行， 。 需要特别注意的是，平行线的性质必须在 “两直线平行” 的前提下才能使用，不能在未证明平行时直接套用性质。 【题型一】判断是否是对顶角或邻补角 【例1-1】下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1-2】下列各图中，和是邻补角的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-1】下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【变式1-2】下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【题型二】利用邻补角的性质求角度 【例2】如图，点O在直线上，射线平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点在同一条直线上，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图：三条直线交于一点，，则（   ） A． B． C． D． 【题型三】画垂线 【例3】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【变式3-1】下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【变式3-3】如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【题型四】垂线段最短 【例4】如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【变式4-1】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 【变式4-2】运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式4-3】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【题型五】利用点到直线的距离求线段长度 【例5】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式5-1】如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【变式5-2】如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ． 【变式5-3】点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 【题型六】识别同位角、内错角、同旁内角 【例6】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【变式6-3】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型七】相交线综合解答题之比值关系 【例7】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式7-1】如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式7-2】 如图，直线相交于点，垂足为点O． (1)若，求的度数； (2)若与的度数比为，则的度数是 【变式7-3】已知直线，，交于点，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，证明：． 【题型八】相交线综合解答题之和差关系 【例8】如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【变式8-1】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若比小，求的度数． 【变式8-2】如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【题型九】相交线综合解答题之倍数关系 【例9】已知交于点，，且平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，求的度数． 【变式9-1】如图，直线与相交于点，，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 【变式9-2】如图，直线与相交于点． (1)若与互为余角，且，求的值； (2)若平分，，求的度数． 【变式9-3】如图，直线，相交于点O，． (1)若，，则 ； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求和的度数． 【题型十】根据选项判断是否平行 【例10】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-2】羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型十一】利用平行线的判定进行证明 【例11】如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【变式11-1】如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 【变式11-2】如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 【变式11-3】如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【变式11-4】如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【题型十二】平行线的性质之三角板问题 【例12】如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【变式12-3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式12-4】如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 ． 【题型十三】利用平行线的性质求角度问题 【例13】如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，一条河的两岸和互相平行，两名游客分别坐船从，两处出发，沿路线和前往岸边上的码头，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，直线，直线分别与直线，交于点E和F，平分，交直线于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【题型十四】平行线的性质实际应用 【例14】如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【变式14-1】如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【变式14-2】如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是 ． 【变式14-3】空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【变式14-4】生活中常见一种折叠拦道闸，如图①．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②．已知于点A，，则的度数为 ． 【题型十五】平行线的性质综合解答 【例15】如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【变式15-1】如图，，CE平分，． (1)CD与EF平行吗？请说明理由． (2)若DF平分，求的度数． 【变式15-2】如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 【变式15-3】如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【题型十六】利用平行线的性质和判定填空 【例16】如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以 ____________（____________________）． 因为（____________）， 所以 ____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 【变式16-1】完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【变式16-2】已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 【变式16-3】在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， （已知）， （角平分线的定义）， 同理， ． （等量代换）， （ ）． 【变式16-4】如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（____________） 所以（____________） 所以（____________） 【题型十七】平行线中探究问题（解答题压轴） 【例17】小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【变式17-1】【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 【变式17-2】如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【变式17-3】如图，已知线段，点是线段外一点，连接，将线段沿平移得到线段，，点是线段上一动点，连接，． (1)求证：； (2)过点作直线，在直线上取点，连接，，使． 当时，结合图形，请探究与之间的数量关系，并证明； 在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，求的度数（用含的式子表示）． 1.识别模型：观察图形，判断拐点是“凹”型还是“凸”型，或多拐点结构。 2.作辅助线：过每个拐点作已知平行线的平行线，标注平行关系（如PEABCD）。 3.应用性质：根据所作平行线，利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”，建立小角与已知角的关系。 4.整合推导：将拆分后的小角进行加、减运算，得到所求角与已知角的最终关系。 【题型一】平行线中拐点问题之一个拐点 【例1】如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 【题型二】平行线中拐点问题之两个及其以上拐点 【例2】（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【变式2-1】如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【变式2-2】如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 【变式2-3】已知，，，则之间的关系式为 ． 【变式2-4】月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为 ． 【题型三】平行线中拐点问题综合探究 【例3】问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【变式3-1】已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【变式3-2】【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【变式3-3】【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【变式3-4】已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相交线与平行线（5知识&17题型&3易错） 【清单01】相交线以及相关概念 1.两条直线相交时，有一个公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。 邻补角的核心性质：互补，即两个邻补角的和等于180°。 注意：互为邻补角的两个角不仅要满足数量上的互补，还要满足位置上的相邻关系。 2. 两条直线相交时，有一个公共顶点，且两边都互为反向延长线的两个角叫做对顶角。 对顶角的核心性质是相等。 在解题时，常利用对顶角相等进行角度的等量代换，需要注意的是，相等的角不一定是对顶角，必须满足对顶角的位置特征。 3. 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂线具有两个重要性质： ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里的 “一点” 可以在直线上，也可以在直线外；②垂线段最短，从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段的长度最短，这个长度叫做点到直线的距离。 【清单02】三线八角 两条直线被第三条直线所截，会形成八个角，这八个角根据位置关系可分为三类： ①同位角：在截线的同旁，且在被截两条直线的同侧的角，其图形特征类似 “F” 型。同位角的位置是 “同旁同侧”，在判断平行线时经常用到。 ②内错角：在截线的两旁，且在被截两条直线之间的角，其图形特征类似 “Z” 型。内错角的位置是 “两旁之间”，是平行线判定和性质的核心角之一。 同旁内角：在截线的同旁，且在被截两条直线之间的角，其图形特征类似 “U” 型。同旁内角的位置是 “同旁之间”，常通过互补关系判断直线平行。 【清单03】平行线的相关概念 1. 平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 a∥b。 需要注意的是，“同一平面内” 是定义的前提，空间中存在不相交也不平行的直线。 2. 平行公理及推论 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。这里的 “直线外一点” 是关键，直线上的点无法作出与已知直线平行的直线。 推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。这两个推论是判断多线平行的重要依据。 【清单04】平行线的判定 平行线的判定是由角的数量关系推导直线的位置关系，核心方法有三种： ①同位角相等，两直线平行，例：若∠4=∠7，则a∥b ②内错角相等，两直线平行，例：若∠1=∠6，则a∥b ③同旁内角互补，两直线平行，例：若∠1+∠5=180°，则a∥b 【清单05】平行线的性质 平行线的性质是由直线的位置关系推导角的数量关系，与判定是互逆的关系，核心性质有三种： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 需要特别注意的是，平行线的性质必须在 “两直线平行” 的前提下才能使用，不能在未证明平行时直接套用性质。 【题型一】判断是否是对顶角或邻补角 【例1-1】下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其余的图中的角都不是． 故选：A． 【例1-2】下列各图中，和是邻补角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：有公共顶点，一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义判断即可． 【详解】解：A．没有公共顶点，不是邻补角，故A不符合题意； B．没有公共顶点，不是邻补角，故B不符合题意． C．没有公共顶点，不是邻补角，故C不符合题意； D．符合邻补角的定义，故D符合题意； 故选D． 【变式1-1】下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； C．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念．根据对顶角和邻补角概念逐项判断即可．有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．熟练掌握两者定义是解题的关键． 【详解】解：图①和没有公共顶点，故和不是一组对顶角，故A不符合题意； 图②中的其中一边不是的反向延长线，故和不是一组对顶角，故B不符合题意； 图③中和相加不等于，所以和不是邻补角；故C不符合题意； 图④中和两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 【题型二】利用邻补角的性质求角度 【例2】如图，点O在直线上，射线平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，然后根据邻补角的定义可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选A． 【变式2-1】如图，点在同一条直线上，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算，掌握邻补角的定义和计算是解题的关键． 邻补角是指两个角共用一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，这样的两个角之和为，则，计算即可． 【详解】解：点在同一条直线上， ，即， ． 故选：C． 【变式2-2】如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，余角和补角，先由邻补角的性质求出，再由角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：D． 【变式2-3】如图：三条直线交于一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平角定理和对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键． 如图，，得到，再根据求解即可． 【详解】如图， 则，即， 解得， （对顶角相等）． 故选：C． 【题型三】画垂线 【例3】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 【变式3-1】下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 【变式3-3】如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为 ． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 【题型四】垂线段最短 【例4】如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【变式4-1】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 【变式4-2】运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【变式4-3】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【题型五】利用点到直线的距离求线段长度 【例5】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式5-1】如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【变式5-2】如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到边的距离就是过作的垂直线，即． 【详解】 点到边的距离为的长． 点到边的距离为． 故答案为：． 【变式5-3】点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 【题型六】识别同位角、内错角、同旁内角 【例6】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 【变式6-1】如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 【变式6-2】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案． 【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意； B、和是对顶角，故不符合题意； C、和是同旁内角，故不符合题意 D、和是内错角，故不符合题意； 故选 ：A． 【变式6-3】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型七】相交线综合解答题之比值关系 【例7】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以； （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 【变式7-1】如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由邻补角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由邻补角的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，， ， 平分， ， ． 【变式7-2】 如图，直线相交于点，垂足为点O． (1)若，求的度数； (2)若与的度数比为，则的度数是 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义以及邻补角和对顶角，掌握垂直的定义以及邻补角和对顶角的定义是解题关键． （1）由，得出，根据余角的定义作答即可； （2）直接利用垂直的定义得出，进而利用，得出的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴ ， 设，， 则， 解得：， 故， 则， 的度数为． 【变式7-3】已知直线，，交于点，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用两角之差算出，然后利用互补计算出即可； （2）先算出，再算出即可论证结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的和差倍分、角平分线、垂直的定义、邻补角的定义，关键是角的和差倍分． 【题型八】相交线综合解答题之和差关系 【例8】如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式8-1】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若比小，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差运算、角平分线的定义，利用“平角、直角的度数关系”结合角平分线的定义进行角度计算是解题关键． （1）先由平角求出，再用角平分线得，最后结合直角，通过角的和差求出． （2）设未知数表示和，利用平角关系列方程求解，再通过平角、角平分线求出． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ． 答：． （2）解：设， 比小， ， ， ， ，解得：， ， ， 平分， ． 答：． 【变式8-2】如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角和邻补角、垂直、角平分线，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）根据对顶角和邻补角的定义即可得； （2）先根据垂直的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，则可得，然后根据对顶角相等即可得； （3）先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：的对顶角是， ∵， ∴与互为邻补角， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 由对顶角相等得：． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型九】相交线综合解答题之倍数关系 【例9】已知交于点，，且平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，求的度数． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角平分线的定义、对顶角相等以及角度的和差计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先根据垂直定义得，再由角平分线定义求，最后利用对顶角相等及平角定义求． （2）先结合（1）中的度数，根据求出，再结合求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：由（1）知． ∵，且， ∴， ， ． 又∵， ∴． 【变式9-1】如图，直线与相交于点，，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差倍分； （1）先证明，结合，可得，进一步可得答案； （2）先求解，结合，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【变式9-2】如图，直线与相交于点． (1)若与互为余角，且，求的值； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角，角平分线，理解角平分线的定义，以及对顶角的定义是正确解答的关键． （1）根据互为余角的定义，平角的定义以及角的和差关系进行计算即可； （2）根据对顶角相等，角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：与互为余角，即， ， ， ． （2）解：设， 平分，， ， ， 则， 解得， ． 【变式9-3】如图，直线，相交于点O，． (1)若，，则 ； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)， 【分析】本题考查了垂直的定义，余角和补角的有关计算； （1）先求出，再根据平角的定义计算即可； （2）先求出，再根据平角的定义计算得出即可； （3）根据求出，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）； 理由：∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ． 【题型十】根据选项判断是否平行 【例10】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 【变式10-1】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 【变式10-2】羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 【变式10-3】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 【题型十一】利用平行线的判定进行证明 【例11】如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点 （1）根据题意得到，进而证明； （2）根据题意，进而得到，进而证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式11-1】如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定定理，解题的关键在于利用角平分线将给定角度转化为所需角度，进而通过证明同旁内角互补，最终依据平行线判定定理得出与平行的结论．运用角平分线的定义，结合图形可知，又已知，可得同旁内角和互补，从而证得． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分平分， （角平分线定义）， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式11-2】如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的定义、掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平角定义及角平分线定义求出结论即可； （2）先求出，得出，即可求出结论． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 【变式11-3】如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 【变式11-4】如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【答案】(1)，理由见详解 (2)根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由见详解 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件，然后根据“内错角相等，两直线平行”可得； 本题主要考查了垂直的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十二】平行线的性质之三角板问题 【例12】如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，首先求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 【变式12-1】如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，先求出的值，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式12-2】如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式12-3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，与三角板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由题意得，，那么，代入即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， 故选：C． 【变式12-4】如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和，熟练应用平行线的性质进行求解是解题的关键． 根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴． 故答案为： ． 【题型十三】利用平行线的性质求角度问题 【例13】如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平角的定义和角平分线的定义可求出的度数，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式13-1】如图，一条河的两岸和互相平行，两名游客分别坐船从，两处出发，沿路线和前往岸边上的码头，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意得，，然后根据角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：，， ，， 又平分， ， ． 故选：D． 【变式13-2】如图，直线，直线分别与直线，交于点E和F，平分，交直线于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故选C． 【变式13-3】如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 【题型十四】平行线的性质实际应用 【例14】如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 【变式14-1】如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式14-2】如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是 ． 【答案】/127度 【分析】本题考查了邻补角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据邻补角可得，再根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式14-4】生活中常见一种折叠拦道闸，如图①．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②．已知于点A，，则的度数为 ． 【答案】270° 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作．得到，再证明即可． 【详解】解：如图所示，过点作． ， ． ． ， ． ． 故答案为：． 【题型十五】平行线的性质综合解答 【例15】如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 【变式15-1】如图，，CE平分，． (1)CD与EF平行吗？请说明理由． (2)若DF平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线的性质得到与的关系，结合已知，推出内错角相等，进而判定与平行； （2）通过邻补角相等推出，得到同旁内角互补，再结合角平分线的性质，将和转化为和的一半，计算它们的和． 【详解】（1）解：． 理由：∵CE平分， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握利用角的数量关系判定平行线，以及结合角平分线转化角的方法是解题的关键． 【变式15-2】如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)说明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察和的位置关系，利用同位角相等的条件判定CE与GF平行； （2）由推出角相等，结合证明，进而得到与的数量关系； （3）利用平行线的性质求出相关角的度数，通过角的和计算的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角相等判定两直线平行，以及两直线平行，同位角相等、同旁内角互补等性质是解题的关键． 【变式15-3】如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案； （2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 【题型十六】利用平行线的性质和判定填空 【例16】如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以 ____________（____________________）． 因为（____________）， 所以 ____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 【答案】已知，EF，内错角相等两直线平行，已知，CD，同旁内角互补，两直线平行，  CD，EF，，，等量代换 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定的综合，熟练掌握平行线的相关知识是解题的关键； 通过内错角相等、同旁内角互补等条件判定直线平行，再根据平行线的性质得到角的关系，最后利用等量代换得出结论. 【详解】解：∵（已知）， ∴ EF（_内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴ CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴CDEF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴ ， ． ∵（已知）， （等量代换）． 【变式16-1】完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线判定与性质，根据同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等等定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【变式16-2】已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 【答案】平行；∥；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；∥；同位角相等，两直线平行 【分析】先通过与的位置关系判定与平行，再利用平行线的内错角相等性质得到，结合已知进行等量代换，得到与的位置关系，进而判定与平行． 【详解】解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行 理由：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）, 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行是解题的关键． 【变式16-3】在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， （已知）， （角平分线的定义）， 同理， ． （等量代换）， （ ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质，以及判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理，． （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行 【变式16-4】如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（____________） 所以（____________） 所以（____________） 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）， ∵、分别是和的角平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【题型十七】平行线中探究问题（解答题压轴） 【例17】小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式17-1】【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 【答案】（1）①；；②，理由见解析；（2）①，理由见解析；②为3秒或21秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、垂直的定义，仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系是解答本题的关键． （1）①根据角的和差关系即可求解；②根据角的和差关系即可得出结论； （2）①根据角的和差关系即可得出结论；②由得到，再分在的上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①若，则， ∴； 若，则， ∴； 故答案为：；； ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即； ②∵， ∴， 当在上方时， 旋转角度为， ∴（秒）； 当在下方时， 旋转角度为， ∴（秒）； ∴综上所述，为3秒或21秒时． 【变式17-2】如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据周角为，结合已知，计算出的度数即可； （2）作，可得，根据“两直线平行，内错角相等”，平角为，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”，推出，由，代入整理式子，即可得出和的数量关系； （3）过点作交于点，则， 根据，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得，推出，，，，，由，代入整理式子，即可用含的式子表示． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ； （2）解：如图，作，可得， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，则， ， 又∵，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得， ∴，， ，， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质、周角与补角、角的和差计算，熟练掌握平行线的性质、正确分析角的和差关系是解题的关键． 【变式17-3】如图，已知线段，点是线段外一点，连接，将线段沿平移得到线段，，点是线段上一动点，连接，． (1)求证：； (2)过点作直线，在直线上取点，连接，，使． 当时，结合图形，请探究与之间的数量关系，并证明； 在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)或； 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查平移的性质，平行线的性质，点到直线的距离，三角形的内角和等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）①分在外部和在内部两种情况，将写成三个角的和或者差的形式，再根据三角形内角和定理和已知条件推出角之间的关系，即可表示出与之间的数量关系； 当直线垂直于线段所在的直线时，点到直线的距离最大，通过计算求出结果即可． 【详解】（1）证明：根据平移的性质可知，， 如图，过点作， ∴， ，， ， ； （2）①解：当在外部时，如图， ，， ， ， ， ， ； 当在内部时，如图， ，， ， ， ， ， ， 综上，与之间的数量关系为或； 点到直线距离最大，就是两条直线距离最大，也就是点到直线的距离最大， 当直线垂直于线段所在直线时，距离最大，如图所示， ， ． 1.识别模型：观察图形，判断拐点是“凹”型还是“凸”型，或多拐点结构。 2.作辅助线：过每个拐点作已知平行线的平行线，标注平行关系（如PEABCD）。 3.应用性质：根据所作平行线，利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”，建立小角与已知角的关系。 4.整合推导：将拆分后的小角进行加、减运算，得到所求角与已知角的最终关系。 【题型一】平行线中拐点问题之一个拐点 【例1】如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 【变式1-1】2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式1-2】将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1-3】老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并能灵活作辅助线是解题的关键． 通过作辅助线，利用平行线的性质，将和与三角板的角建立联系，进而求解． 【详解】解：过三角板的角的顶点A作直线． 由题意可得, ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【题型二】平行线中拐点问题之两个及其以上拐点 【例2】（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 【变式2-1】如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点G，M，H作，先证明 得到，，继而推导出，，再证明，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点G，M，H作， ， ∵和是角平分线， 即． 故答案为：． 【变式2-3】已知，，，则之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点D作，过点C作，则，进而得到，由垂线的定义和角的和差关系可得，证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，过点C作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【变式2-4】月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，垂直定义，由，，则，延长至，过作，则有，所以，，，通过角度和差可得，，又，则，最后通过角度和差即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，延长至，过作， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三】平行线中拐点问题综合探究 【例3】问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【详解】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 【变式3-1】已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 【变式3-3】【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 【变式3-4】已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，即得，，由（）得，再根据已知得 ，即得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，可得，即得，，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $