精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年12月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7 4. 二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C.若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ） A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 8. 已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数是奇函数 11. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 13. 若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 14. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 四、解答题（共80分） 15. （1）计算： （2）已知，求的值. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若且，求的最小值． 17. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量小于20万件时，；当年产量大于或等于20万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 18. 已知是定义域为R的奇函数． （1）求实数a的值； （2）用定义证明在R上是增函数； （3）解关于x的不等式． 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用补集和并集的定义求解即可 【详解】解：因为全集，集合， 所以， 因为，所以=， 故选：D 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的等价条件及特殊值法，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当时，可得且，则“”是“”的必要条件； 当且“”，则 “”， 所以“”是“”的不充分条件． 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系由弦化切计算可得结果. 【详解】由题得. 故选：C. 4. 二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数为偶函数得到方程，得到，得到，计算出，得到答案. 【详解】由题意得，解得（舍去）或， 二次函数，故， 故， 所以. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据定义判断D，判断函数的奇偶性，可排除A选项；进而取特殊值排除C选项，进而即可求解. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为，关于原点对称，D选项错误； 又， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项； 当时，函数，故排除C选项. 故选：B. 6. 设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性以及对数函数的单调性，结合分段函数的单调性即可求解. 【详解】根据题意可得，解得， 故选：A 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C.若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ） A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 【答案】C 【解析】 【分析】先通过第一个冷却场景求出常数，再将其代入第二个冷却场景的公式中，求解冷却时间. 【详解】对于75℃物体冷却的情况，代入公式， 得，即，化简得. 取自然对数得，解得. 对于68℃物体冷却的情况，代入公式得， 即，化简得. 取自然对数得，解得. 故选：C 8. 已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，再应用赋值法计算求解. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，所以， 所以， 所以4为的一个周期， 因为，且，所以， 所以， 又因为，且4为的一个周期，令，则，所以， 所以， 故选：C. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特值法，代入计算，可判断A的正误；根据不等式的性质，结合平方差公式，可判断B的正误； 根据不等式的性质，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：令，满足条件，， 此时，则，故A错误； 选项B：，因为，所以， 所以，即，故B正确； 选项C：因为，所以， 因为，所以，故C正确； 选项D：因为，，， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入即可判断AB；根据求出，结合三角函数的图象即可判断C；求出的解析式即可判断D. 【详解】， 对于AB：因为，不为最值， 的图象关于点对称，且不为对称轴，故A正确，B错误； 对于C：当时，，且正弦函数在内单调递增， 在区间上单调递增，C正确； 对于D：又为奇函数，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果. 【详解】当时， 函数的大致图像如图所示： 因为当时，， 所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解， 需要满足且，解得， 故选：A、B. 【点睛】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题. 三、填空题（共15分） 12. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的平移及对数函数的单调性及函数值列式得到答案. 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： 14. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. （1）计算： （2）已知，求的值. 【答案】（1）1（2）4 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质运算即可求解. （2）由分数指数幂与根式互换结合条件即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）， ， 所以， 所以原式. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若且，求的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）当时，根据分式不等式及一元二次不等式的解法，分别求出集合A和B，根据交集运算的定义，即可得答案. （2）根据a的范围，先求得集合A，分别讨论、和三种情况，求出集合B，根据条件，可得a的范围，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 当时，由，得，解得，即， 由，解得，即， 所以. 【小问2详解】 由，得，因为，所以，即， 由，得， 当时，解得，即，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，解得，即，此时，符合题意， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 17. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量小于20万件时，；当年产量大于或等于20万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】（1） （2）9万件 【解析】 【分析】（1）分和，两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解． 【小问1详解】 根据题意得，当时，， 当时，， 故. 【小问2详解】 当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，， 设，则在上是单调递增函数， 故在上是单调递增函数， 故当时，取得最大值，. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片． 18. 已知是定义域为R的奇函数． （1）求实数a的值； （2）用定义证明在R上是增函数； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）证明: 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 故，即， 所以在上是增函数； （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求参数，并验证结果即可； （2）任取，且，应用作差法比较的大小，即可证明； （3）根据函数的奇偶性及单调性将问题转化为解不等式，进而根据一元二次不等式解法求解即可. 【小问1详解】 由题意，则， 此时， 则，即为奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由， 则， 由（2）知，在上单调递增， 所以，则，即， 当时，，不等式可化为，解得； 当时，当时，，解得； 当时，不等式为，无解； 当时，，解得；. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】（1）是，理由如下： 对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2） ①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ② 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出是否为幂函数即可得； （2）①结合“积幂函数”，计算即可得，再令，可得，再构造函数，结合零点的存在性定义及其单调性即可得证；②由题意计算可得，结合复合函数单调性，可得在上的单调性，再结合零点与方程的根的关系即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 【点睛】关键点点睛：②中关键点在于利用对数运算，得到，即可由单调性，得到单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $