重庆市第十一中学校2025-2026学年高二上学期数学周测14

重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 《高2027届高二上数学周测试题14》 单选题(40分) 1.(5分)已知等比数列{an}为递增数列，若a6=6,a+a5=5,则公比g= A君 B.6 c D. 【参考答案】D 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于基础题.由等比数列的性质结合单调性得出公比 【解答】 解：由+=5%=4a=6,解得{2或{8号； 数列a}是由正数组成的递增数列，{号，且>09-号 3 故选：：D 2.(5分)圆x2+2-4r=0上的点到直线3x-4划+9=0的距离的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.5 【参考答案】A 【试题解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题. 由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，减去半径得答案， 【解答】 解：圆x2+2-4红=0为(x-2+2=4,圆心坐标为(2,0)，半径r为2. 圆心到直线如-+9=0的距离d=器=3。 圆x2+2-4r=0上的点到直线3x-4g+9=0的距离的最小值为d-r=3-2=1. 故本题选A. 3.(5分)设{a}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且a<0,S=S,则 A.d<0 B.a7=0 C.S2=0 D.Sn≥S 【参考答案】C 【试题解析】解：根据题意，{an}是公差为d的等差数列， 若S4=S8,则Ss-S4=a+a6+a7+ag=0, 变形可得：a6+a,=0, 则有a1+a12=a6+a7=0, 又由a<0,则a2>0,其公差d>0,故A错误； 而6+a7=0,则6<0，a7>0,故B错误： Sn的最小值为S6,故D错误： S2-a+a×12=0,故C正确。 2 故选：C, 4.(5分)己知等比数列{an}的前n项和为Sm,且S3=13,a匠=3a6,则数列{an}的公比g= A号或-3 B.号或-2 c或2 D.3或3 【参考答案】D 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，等比数列通项公式中的基本量计算，属于基础题 由=36，结合等比列的性质可求得a2=3,由S8=13,可得。+3+3g=13,求解即可. 【解答】 解：因为a匠=3a6=26,所以a2=3.因为S=a1+a2+a3=13, 1 所以。+3+3=13，则32-10g+3=0,解得q=3或9=3： 故选：D. 1/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 5.(5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数 之剩三（除以5余），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p(p>1) 满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数P按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{} ，记数列a小的前n项和为S,则++”的最小值为 n A.16 B.22 C.23 D.25 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查数列的最大（小）项问题，等差数列的判定或证明，等差数列的前项和公式，由基本不等式求最值或取 值范围，属于中档题 由已知先求出，然后结合等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可求解， 【解答】 解：因为二二数之剩一的数为2m+1的形式， 三三数之剩一的数为3k+1的形式，其中m∈N,n∈N, 则数列{a}的项即为以上两类数的公共项， 即为6m+1的形式，n∈N, 又正整数P>1, 即am=6m+1,n∈N', 因am+1-am=(6n+7)-(6n+1)=6, 故数列{a}是等差数列， 于是，S-7+6m+=3m2+4n, 则5n+a+1_3m2+10m+12 n n -n+兴0≥8yng40=2, 当且仅当额=吕，即a=2时取等号， 即n=2时， Sn+an+11 n 取得最小值22. 故选：B 6.(5分)直线1：c-2y+6=0与圆C:x2+2-4=0相交于A、B两点，则CA.C第= A. c号 D. 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，圆的性质以及点到直线的距离公式，二倍角公式，属于中档题. 先求得圆心C到直线！的距离为-25，则m4CB-,利用二倍角公式求∠4CB的值，则向量的数量积可求 【解答】 解：由题意得圆心C(0,2),半径r=2, 因为圆心C02到到直线1：-2+6=0的距离为-02×2+0-25 V12+(-2)2 5, 则sACB-d_V5 2 r5, cos∠ACB=2cos2∠ACB 3 2 1=2× 5 5 C4.CB=C4 CB cos LACB=2×2× 3 12 =5 故选：B. 7.(5分)如图，A,B分别是双曲线后-茶=1e>0b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与 △PF三边所在的直线都相切，切点为A,B,C,若PB=a,则双曲线的离心率为() 2/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 B A., B.2 C.3 D.3 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查双曲线的定义和性质，考查直线和圆相切的性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档 题. 连接MA,MC,ME,由直线和圆相切的性质，可得PA=PB=a,设B=FC=x,运用双曲线的定义， 求得Pl,由lAF=ECI,结合离心率公式即可得到所求值. 【解答】 解：连接MA,MC,MB, 由直线和圆相切的性质，可得PA=PB=a, 设B=FC=x, 由双曲线的定义可得，P-IPF=2a, PFil=2a+PF2l=2a+PB]+BFl =3a+x, AFl=AP]+PFil 4a+x,FCI=FF+FCl=2c+x, 由lAF=IEC1, 可得4a+x=2c+x,即c=2a, 则e==2.故选B。 8.(5分)设双曲线Γ的中心为O,右焦点为F,点B满足2FB=OP,若在双曲线Γ的右支上存在一点A,使得 IOA=IOF川，且∠OAB≥3∠OBA,则P的离心率的取值范围是 A.2v而-22+2 B.a,2V5+2 C.1,3v5+3 7 D.3v而-33v5+3 7 7 7 7 7 【参考答案】B 【试题解析】解：不妨设A在第一象限，A是以O为圆心，OF为半径的圆O与「的交点 设「的左焦点为X,则∠XOA=∠OAB+∠OBA>4∠OBA, ∠AFO=∠XOA≥2∠OBA,即∠FAB>∠FBA,FA≤FB, 在圆O上取一点C,使FC=FB,则FC≥FA, 由双曲线的定义知CX-CF≤2a(a是实半轴长)， 即(2a+CF)2≥Cx2=4c2-CF2(e是半焦距)， 代入CF=FB=5,得a+≥e-千，解得cea.2+2画 7 故选：B 吕多选题(18分) 9.(6分)（多选）已知等差数列{an}的前n项和为S,正项等比数列{bn}的前n项积为Tn,则 A数列{合}是等差数列B数列)是等比数列C数列仙是等差数列D.数列{}是等比数列 【参考答案】ABD 3/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 【试题解析】【分析】 本题考查等差和等比数列的判定或证明，属于中档题， 根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前项和公式计算判断即可. 【解答】 解：设{an}的公差为d,b}的公比为9， 则a子受-草a多， 所以8-S1 nn=2n≥2)是常数，故A正确： ，30 易知3=3”=3n≥2)是常数，故B正确： 由hTn-hTn-1=hb(m≥2)不是常数，故C错误 T2÷=2=n≥2)是常数，故D正确. Th Th-1 bn 故选：ABD, 10.(6分)（多选）已知O为抛物线C:y=2prp>0)的顶点，直线1交抛物线于M,N两点，过点M,N分别向准 线=号作垂线，垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是 A.若直线1过焦点F,则以MN为直径的圆与y轴相切 B.若直线过焦点F,则PF上QF C.若M,N两点的纵坐标之积为-8p,则直线1过定点(4p,0) D.若oM⊥0N,则直线1恒过点(2p,0) 【参考答案】BCD 【试题解析】解：设M(1,),N(2,), 当直线过焦点F呢o)时，设其方程为r=切+， 联立 x=+2,得2-2pty-p2=0, 2=2pr 所以h+欢=2t,1=-, 所以+2=t(h+2)+p=2+P, 对于选项A,线段MN中点坐标为，购，即(+， 2 2 其到y轴的距离为t2+,弦长MN1=+2+p=2t2+2印， 因此以MN为直径的圆的半径为M=++, 所以以MN为直径的圆与y轴不相切，故选项A错误； 对于选项B,由题意知，P(-号，Q(-号， 所以PF.QF=(m,-)(,-)=p2+h=P-p2=0,即PF1QF,故选项B正确； 当直线1不过焦点F吃，0)时，设其方程为x=ty+m(mo), x=ty+m 联立{g2=2r，得-2-2m=0, 所以h2=-2pm, 所以等琴=， 对于选项C,若M,N两点的纵坐标之积为-8p,则h=-2m=-8p2,所以m=4p, 所以直线的方程为x=+4p,过定点(4p,0),故选项C正确： 对于选项D,若0M10N,则0d.O示=x2+h=m2-2pm=m(m-2p）=0, 因为m0(m=0时其中一个交点与点0重合，不符合题意)，所以m=2p, 所以直线1的方程为x=+2印，过定点(2印，0)，故选项D正确. 故选：BCD. 11.(6分)（多选)（多选)数列{a}满足a1=1且am+1= 了2a,n为奇数 an+2,n为偶数，则 A.a=3×2号-2 B.am=3×2-4 C.S10=249 D.a2024=3×202-4 【参考答案】CD 【试题解析】【分析】 本题考查递推数列，属于中档题。 4/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得a2=3×2”-4,a2-1=3×21-2,可判断ABD;由数列的 分组求和，结合等比数列的求和公式，可判断C. 【解答】 解：对于A,由a1=1且a 2a,n为奇数 4,+2,n为偶数，可得=2a1=2，而4选项中，=3×2宁-2=3V2-22,显然不 符合，A错误： 对于B,a2n=a2m-1+1=2a2n-1=2(a2m-2+2)=2a2m-2+4,即有a2m+4=2(a2m-2+4), 可得2n+4=6×2”-1，即a2m=3×2”-4,a2-1=3×2-1-2, 则3=3×2-2=4，而B选项中，g=3×2-44,显然不符合，B错误： 对于D,由B可知a4=3×202-4,故D正确： 对于C,S0=(a1+a3+…+ag)+(a2+a4+…+a10 =(3×1+3×2+··+3×16-2×5)+(3×2+3×4+·+3×32-20) ×-2-10）+3×2-2X2-20）=83+16=249,故C正确. =(3×1-2 1-2 故选：CD 填空题(15分) 12.(5分)设等比数列a的前项和为s。，若受=5，则受 【参考答案】21 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列前项和的性质，属于基础题. 根据等比数列前n项和的性质可得结果。 【解答】 解：设S=0,则S6=5a, 因为{a}为等比数列，所以S,S-S,S-S,…仍成等比数列， 又因为S6-S3=4红，所以S-S=16x,即Sg=21x, 所以受=21. 故答案为21 13.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为3，动点P满足-2，则△PAB面积的最大值为 【参考答案】3 【试题解析】解：平面内两定点A,B间的距离为3，设A(-0,BC0),Pe,), y本 AO B PAI 由P=2， e+多+g =2， Vu-+r 所以e-}+=4, 所以要使△PAB的面积最大，只需点P到AB的距离最大， 如图所示：由图可知当点P到AB的距离h=r=2时，△PAB面积的最大值， 故SAPAB的最大值为2×3×2=3. 故答案为：3， PF 14.(5分)已知点P是抛物线)=4上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为1,0，则PA的最小值为 5/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 【参考答案】号 【试题解析】解：由抛物线的方程2=4r可得焦点F1,0),A(-1,0)在准线上， D 过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得PF=PDI, 在aPAD中，周 =cos∠DPA=cos LPAF, 所以最小时，则∠PAF最小，则∠PAF最大， 而LPAF最大时即过点A的直线与抛物线相切， 设P,)在第一象限，y>0,由=4红可得y=2VE,= Vi, 1 y-0 2VT 所以在P处的切线的斜率为√元=+i=+1, 整理可得：2x=x+1,解得x=1,代入抛物线的方程可得y=2,即P(1,2), PD 所以阳的最小值为 =1--1-2 V1-(-12+22. 故答案为：号 吕解答题(77分) 1 an 15.(13分)设数列{am}满足a=2am1=3am+1· 0证明：侣}为等差数列： ②若数列aa的前n项和为L，证明：正<工<合， 【参考答案】解：0证明：因为=，所以+3，即品太3， an 因为，所以侣}是首项为，公差为3的等差数列： 2)由(1)可知 =2+3m-1)=3n-1,所以am=3n-1, 1 1 1/111 因为a,a+1=3m-1)08m+2=33n-13n+2, 所以五-站号+岭行++十 11 1 因为4>0，所以工≥=>品，故立<工< 【试题解析】 本题考查裂项相消法求和，等差数列的判定或证明，根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题. ()对递推公式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可证明： (②)根据()中所证求得，，再根据裂项求和法求得工，，进而适度放缩即可证明. 16.(I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且PA=PC PB=PD, (I)若AC与BD交于点O,证明：PO⊥平面ABCD; (②)棱PD上的点E满足PE=2DE,若PA=V3,AB=2,求直线CE与平面PBC E 所成角的正弦值. 【参考答案】解：()证明：由题意知，点O既是AC的中点，也是BD的中点， 6/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 因为PA=PC,PB=PD, 所以PO⊥AC,PO⊥BD 又ACnBD=O,AC、BDC平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD; (②)以O为坐标原点，OD,OC,OP所在直线分别为x,y,轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B C y D 则-a00,cava0,P0a,23, 所以P防=（←0-，c=v.0,=3, 设平面P9C的法向量为量=，则{只爱0即{21v”。 -V2x-2=0 取x=1,则y=-1,=-V2,所以元=(1，-1，-V②)， 设直线CE与平面PBC所成角为0， 2V2 3 则ma=s<CE,元≥=6：= +-空 26 V6+2+g×2 /8 9, 故直线cE与平面PBC所成角的正弦值为2. 【试题解析】 详细解答和解析过程见【答案】 x2,2 17.(15分)已知焦点在r轴上的椭圆C:点+景=1，长轴长为4，离心率为2，左焦点为P点M在椭圆内，且 MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点 N ()求椭圆的方程： (2)若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值：若不是，说 明理由. 【参考答案】解：()椭圆C的长轴长为4，则2a=4,所以a=2, 又离心率为2，所以c=1,所以b=v3, 所以椭圆的方程为+号=1： 回由知，等+号=1，由点在椭圆内，且P1:轴.设1， 则可设直线AB的方程为-u=k(r+1),设A(x,),B(r2,h), y=kx+k+yn 联立直线和椭圆的方程，可得3x2+4划=12 则3x2+4(kx+k+2=12,所以(42+3)x2+8(k+小·k+4·(k+)2-12=0, 1+2= 8(k+)k 4k2+3 所以 ，212,由A5=一BF1十12大)， 4k2+3 所以(r2+1)1+(x1+1)2=0,所以(2+1)(k1+k+)+(1+1(kx2+k+n)=0, 所以2kx12+(2k+)(c1+2)+2(k+n)=0, 所以24(k+)2-12-8k(k+)(2k+)+2(k+(42+3)=0 ÷8k3+16k2u+8ky2-24k-163-24k2u-8k2+8k3+6k+8k2u+6uu=0, 所以6=18k,所以=3歌， 则直线w的方程为+学=1，所以=善1-， T1 3, 直线v的方程为学+号=1，所以：=名1，所以1学1兰 3- 汇2 3= 无1 7/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 所以3-W）=3-2,3-）=(-12,所以然=3- C21-x12’ 33 因为n-边=k+k+)-(k+k+）=k+-）,所以=k+.衣， 所以wx=是-号为定值。 【试题解析】 详细解答和解析过程见【答案】 18.(7分)已知数列a满足+2++a=2如，数列满足对任意正整数m≥2均有1+a+1=亡成立。 (①)求{a}的通项公式 (2)求{b}的前99项和. 【参考答案】解：()因为a+2a2+…+nam=2n, 所以当n≥2时，a1+2a2+…+(m-1)am-1=2(n-1), 两式相碱得品=之，名， 又n=1时，a1=2,也符合. 2 所以am=n· 回由知，。-号，因为对任意的正整数m≥2， 均有++1记-号，且之为等差数列， 故数列{bn}的前99项和61+b2+b+b+b+b+…·+bg7+bgs+b9 =(b1+b2+bs)+(b4+b5+b6)+··+(bg7+bgs+bg9) 1+1+…+ a2 a5 a98 298、 33×5+2=825: = 2 【试题解析】 本题考查利用数列的递推关系求通项公式，等差数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 根据题意可得当n≥2时，+2++a-1a1=2n-),进一步可得4，=2，即om-号： 回由)知，-，所以++公，结合等差数列的求和公式即可求解 19.(17分)已知M为圆x2+=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，,O为坐标原点，△OMN的重心为G. ()求点G的轨迹方程； (2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线1与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1),若点H(3,O)恰好是△ABQ的垂心， 求直线1的方程. 【参考答案】解：()设Gz,),M(0),则N(o,0), x= 2x0 因G为△OMN的重心，故有： 3 3x y= 0 ，解得=2，物=3训， 3 代入号+6=9，化简得号+r=, 又xo0,故xy≠0， 所以c的轨迹方程为号+=10. ()②因H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ,AHLBQ, 又ae=9, 故可设直线的方程为y=3x+m(m≠1)， 与号+r=1联立消去得：1ar+8v3m+m2-4=0, △=208-16m2>0→m2<13, 设，，的，则十=，-， 131 由41B0,得”G=1, 1-V32 →x2(x1-V3)+(3x1+m)(V3x2+m-1)=0, →412+V3(m-1)(1+2)+m2-m=0, 8/9 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 →4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m)=0, →5m2+11m-16=0, 解得m=1(舍去)或m=9满足△>) 放直线的方程为=Vx-5. 【试题解析】 本题考查了与椭圆有关的轨迹问题和直线与椭圆的位置关系，是中档题， 3 (①设G,)，M,W),则N(o,0),因G为△OMN的重心，得=之，跏=3w,代入6+6=9，可得点G的轨迹方 程； 回易得4B1H0,又k如g=,故设直线的方程为y=V+mm刊，与椭圆联立，由A1BQ,得 ”。1=-1,结合韦达定理解出m,可得直线的方程。 1-V2 9/9重庆市第十一中学高二数学 满分：150分 高2027届高二上数学周测试题14 姓名： 班级： 准考证号： 单选题(40分) 1.(5分)己知等比数列{an}为递增数列，若a3·a6=6,a4十a5=5,则公比q= 因后 [B]6 号 D]2 2.(5分)圆x2+y2-4x=0上的点到直线3x-4y+9=0的距离的最小值为 [A]1 [B]2 [C]4 [D]5 3.(5分)设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且a1<0, S4=S8,则 [A]d<0 [B]a7=0 [CS12=0 [D]Sm≥S7 4.(5分)己知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=l3,a=3a6,则数列{an}的公比q= 4或-3 四号或2 [C2或2 3或3 5.(5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之 剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：己知正整数(p>1)满足 二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}, 记数列an}的前n项和为Sn,则Sn+a+1L的最小值为 n [A]16 [B]22 [C23 [D]25 6.(5分)直线1：-2y+6=0与圆C:x2+y2-4y=0相交于A、B两点， 则cA.cB W-* 周号 四号 76分)如图，A,乃分别是双曲线若兰=1a>0,b>0的左、有焦点，P 为双曲线右支上的一点，圆M与△PFF2三边所在的直线都相切，切点为A, B,C,若PB=a,则双曲线的离心率为 [A]V2 [B]2 [c]v3 [D]3 8.(5分)设双曲线T的中心为O,右焦点为F,点B满足2FB=OF,若在双曲线的右支上存在一点A,使得 1OA=|OF列，且∠OAB≥3∠OBA,则Γ的离心率的取值范围是 A2店-2,2W1历+2 7 ’7 ®11,2V西+2 7 [C(1, W15+3, 7 D13历-33V5+3 7,7 多选题(18分) 9.(6分)（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,正项等比数列{bn}的前n项积为Tn,则 1/4 口口口■ 重庆市第十一中学高二数学 满分：150分 [A数列 } 是等差数列 [B]数列{3n}是等比数列 [c数列{nTn}是等差数列 Tn+2 D1数列 是等比数列 10.(6分)（多选）已知O为抛物线C:=2px(p>0)的顶点，直线交抛物线于M,N两点，过点M,N分别向准 线= 号作垂线，重足分别为P,Q。则下列说法正确的是 [A]若直线过焦点F,则以MN为直径的圆与y轴相切 [B]若直线过焦点F,则PF⊥QF [C]若M,N两点的纵坐标之积为-8p2,则直线过定点(4p,0) [D]若OM⊥ON,则直线恒过点(2p,0) 11.(6分)（多选）（多选）数列{an}满足a1=1且an+1= 2an,n为奇数 am+2n为偶数’则 [A]an=3×2号-2 [B]an=3×22-4 [C]510=249 [D]a2024=3×21012-4 填空题(15分) 2.5分)设等比数列@}的前n项和为S,若=5，则 S9 S3 13.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为3， 动点P满足PA-2,则△PAB面积的最大值为 PBI 14.(5分)已知点P是抛物线=4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(-1,0)， P乳的最小值为 PAI 解答题(77分) 15.(13分) 设数列{an}满足a1=2,an+1=3an+1 an (1)证明： {品}为等差数列： ②若数列ae+的前n项和为江，证明：立<工.< 6 2/4 口口■口 I 重庆市第十一中学高二数学 满分：150分 高2027届高二上数学周测试题14 姓名： 班级： 准考证号： 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方 形，且PA=PC,PB=PD, (1)若AC与BD交于点O,证明：PO⊥平面ABCD: (2)棱PD上的点E满足PE=2DE,若PA=V3,AB=2,求直线CE E 与平面PBC所成角的正弦值. A 17.(15分)已知焦点在x轴上的椭圆C: 三+品-1，长销长为4，离心奉为分左维点为R点M在椭圆内，且 x2,y2 MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于 点N. (1)求椭圆的方程： (2)若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是， 说明理由. 3/4 口口■■ 0 重庆市第十一中学高二数学 满分：150分 18.(17分)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=2m,数列{bn}满足对任意正整数m≥2均有bm-1+bm+bm+1 1 成立. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前99项和。 19.(17分)已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N,O为坐标原点，△OMN的重心为G (1)求点G的轨迹方程： (2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1),若点H(√3,0)恰好是△ABQ的垂 心，求直线的方程， 414 口■口口 0重庆市第十一中 ·参考答案 高2027届高二上数学周测试题14 1.【参考答案】D 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于基础题 由等比数列的性质结合单调性得出公比 【解答】 解：由4+s=5a6=as=6,解得{或{3； .a=2 “数列{a}是由正数组成的递增数列，“{=3，且 9>0,.4=2 3 故选：：D, 2.【参考答案】A 【试题解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应 用，是基础题 由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式 求出圆心到直线的距离，减去半径得答案 【解答】 解：圆x2+2-4红=0为(a-2)2+2=4,圆心坐标为(2,0)，半 径r为2 圆心到直线-+9=0的距离==3. ∴圆x2+2-4r=0上的点到直线3-4g+9=0的距离的最小值 为d-r=3-2=1. 故本题选A. 3.【参考答案】C 【试题解析】解：根据题意，{an}是公差为d的等差数列， 若S,=S8,则S8-S1=a5+a6+a7+a8=0, 变形可得：6+a7=0, 则有a1+a12=a6+a7=0, 又由a1<0,则a2>0,其公差d>0,故A错误： 而a6+a7=0,则a6<0,a?>0,故B错误； Sm的最小值为Ss,故D错误： S。=@+×12=0,故C正确。 2 故选：C 4.【参考答案】D 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，等比数列通项公式中的基本量计 算，属于基础题. 由a=3a6,结合等比列的性质可求得a2=3,由S=13,可得 号+3+3购=18，求解即可。 【解答】 解：因为a=3a6=aga6,所以a2=3.因为S=a1+a2+ag=13, 所以。+3+3q=13，则32-10g+3=0,解得9=3或9=3 故选：D. 学高二数学 5.【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查数列的最大（小）项问题，等差数列的判定或证明 ,等差数列的前项和公式，由基本不等式求最值或取值范 围，属于中档题. 由已知先求出m，然后结合等差数列的通项公式与求和公 式，以及基本不等式即可求解 【解答】 解：因为二二数之剩一的数为2m+1的形式， 三三数之剩一的数为3k+1的形式，其中meN,n∈N, 则数列{a}的项即为以上两类数的公共项， 即为6m+1的形式，n∈N, 又正整数p>1, 即an=6m+1,n∈N, 因a+1-am=(6n+7)-(6n+1)=6, 故数列{a}是等差数列， 于是，8=7+m+山=3m2+n, 2 则+a+11_3m2+10n+12 3n+2+10≥23m2+0=2 当且仅当数=品，即1=2时取等号， 即n=2时， S++山取得最小值2. 故选：B. 6. 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，圆的性质以及点到直线的距 离公式，二倍角公式，属于中档题. 先求得圆心C到直线的距离为-25，则一GB-。 5 利用二倍角公式求cos LACB的值，则向量的数量积可求. 【解答】 解：由题意得圆心C(0,2),半径r=2, 因为圆心C(0,2)到直线l:x-2y+6=0的距离为 d=0-2×2+6_2V5 /12+(-2)2 5, 则m4G-卓。 m0B-2me4-1=x(）-1= 2 .Cm=c团a∠4cB=2×2×()=号. 故选：B 7. 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查双曲线的定义和性质，考查直线和圆相切的性质， 考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题。 连接MA,MC,MF,由直线和圆相切的性质，可得 IPA=PB=a,设FB=FC=x,运用双曲线的定义，求 得PF,由AFl=FC,结合离心率公式即可得到所求值.， 【解答】 解：连接MA,MC,MF, 高2027届高二上数学周测试题141/4 重庆市第十一中 由直线和圆相切的性质，可得PA=PB=a, 设IFB=IFCI=x, 由双曲线的定义可得，PFl-PF2=2a, IPFil=2a+PF=2a+PB]+IBFl=3a+x, AF=AP]+PFil=4a+x,FCI=IFF+F2C]=2c+x, 由AF=IFC1, 可得4a+x=2c+x,即c=2a, 则e=2.故选B. 8.【参考答案】B 【试题解析】解：不妨设A在 第一象限，A是以O为圆心， OF为半径的圆O与「的交点， 设「的左焦点为X,则 ∠XOA=∠OAB+∠OBA≥4LOBA ∠AF0=XOA≥2∠OBA,即 ∠FAB≥∠FBA,FA≤FB, 在圆O上取一点C,使FC=FB,则FC≥FA, 由双曲线的定义知CX-CF≤2aa是实半轴长)， 即(2a+CF)2≥Cx2=4c2-CF2(c是半焦距)， 代入CF=FB=5,得2a+登≥4-号，解得eea2+2画 7 故选：B 9.【参考答案】ABD 【试题解析】【分析】 本题考查等差和等比数列的判定或证明，属于中档题 根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前”项和公式计 算判断即可 【解答】 解：设{a}的公差为d,{b}的公比为9， 则8-号2+a-号n→受-+a-员， 所以二兰->是常数，故A正确： 易知3=3=3≥2)是常数，故B正确； 由nTn-lhTn-1=lhb(m≥2)不是常数，故C错误： 芸+岩-袋=>9是常数，故D正确 故选：ABD. 10.【参考答案】BCD 【试题解析】解：设M(a,),N(2,h), 当直线过焦点F呢0)时，设其方程为r=切+， 联立 =如+号，得矿--f=0, v=2pz 所以功+次=2pt,h欢=一p2, 所以1+x2=t(1+2)+p=2p+p 对于选项A,线段MN中点坐标为白，即 (pp), 2/4 高2027届高二上数学周测试题14 学高二数学 其到v轴的距离为t2+,弦长MN=1+2+p=2p2+2印， 因此以为直径的圆的半径为-++安， 所以以MN为直径的圆与轴不相切，故选项A错误； 对于选项B,由题意知，P(-号n),Q(-号)， 所以P.QF=(n,-n)(,-)=+h=p2-p2=0,即PF⊥QF ,故选项B正确： 当直线1不过焦点F兮o)时，设其方程为x=切+m(m0), x=ty+m 联立{产=p，得-2物-2m=0, 所以h2=-2pm， 所以琴多空 对于选项C,若M,N两点的纵坐标之积为-8p,则 h2=-2m=-8p2,所以m=4p, 所以直线的方程为x=切+却，过定点（彻，0），故选项C正确 对于选项D,若OM1ON,则O,ON=1+h的=m2 -2pm=m(m-2p)=0, 因为m0(m=0时其中一个交点与点0重合，不符合题意)， 所以m=2p, 所以直线1的方程为x=y+2p,过定点(2印，0)，故选项D正确 故选：BCD 11.【参考答案】CD 【试题解析】【分析】 本题考查递推数列，属于中档题. 由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得 a2n=3×2”-4,a2-1=3×2”-1-2,可判断ABD:由数列的 分组求和，结合等比数列的求和公式，可判断C. 【解答】 了2an,n为奇数 解：对于A,由=1且a1={,+2n为偶数，可得 a2=201=2，而A选项中，a2=3×2-2=3V2-22,显然不 符合，A错误： 对于B，a2m=a2m-1+1=2a-1=2(a2m-2+2)=2a2m-2+4，即有 a2m+4=2(a2m-2+4), 可得a2m+4=6×2”-1，即a2m=3×2-4,21=3×2-1-2, 则as=3×2-2=4,而B选项中，a4=3×2-4≠4，显然不符 合，B错误： 对于D，由B可知a21=3×202-4,故D正确： 对于C,S0=(a1+ag+…+g)+(a2+a+·+a10) =(3×1+3×2+·…+3×16-2×5)+(3×2+3×4+.…+3×32-20) =(x受-0）+(x2二2”-刘）-8+16=28，故C正 确. 故选：CD 12.【参考答案】21 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列前n项和的性质，属于基础题， 根据等比数列前n项和的性质可得结果 【解答】 解：设S3=≠0，则S6=5r, 因为{an}为等比数列，所以5,5。-5，S-5,…仍成等比数 重庆市第十一中 列， 又因为S6-S3=4r,所以Sg-S6=16c,即Sg=21x, 所以受=21 故答案为21 13.【参考答案】3 【试题解析】解：平面内两定点A,B间的距离为3，设 A-0,B吃o，Pz0, y本 由=2，得 ++ ==2 所以e-多+=4， 所以要使△PAB的面积最大，只需点P到AB的距离最大， 如图所示：由图可知当点P到AB的距离h=r=2时，△PAB 面积的最大值， 故S△PAB的最大值为)×3×2=3. 故答案为：3 14.【参考答案】号 【试题解析】解：由抛物线的方程=4r可得焦点F(1,O), A(-1,0)在准线上， D 过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的 性质可得PF=PDI, PFPDI 在△PAD中，PA-PA=6sDPA=o∠PAF, 所以最小时，则m∠PP最小，则∠PAF最大， 而∠PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切， 设Pc在第一象限，>0，由=红可得y=2V,=店 ,1=y-0_2E 所以在P处的切线的斜率为左+十， 整理可得：2x=x+1,解得x=1,代入抛物线的方程可得 y=2,即P(1,2), PD1-(-1)=2 所以開的最小值为P网-P+学， 故答案为：竖。 15.【参考答案】解：()证明：因为 学高二数学 1,所以+3，即品太=3， 因为-，所以{侣}是首项为2，公差为3的等差数列： ②由)可知=2+3n-)=3n-1,所以，=n 1 1/1 1 因为a,am+1=8n-1)(3m+2=33m-13n+2), 所以拔专专专传++中司 1 -站3n+2-69m+6<6 1 因为>0，所以工≥五=0>立，故立<工<石 【试题解析】 本题考查裂项相消法求和，等差数列的判定或证明，根据数 列的递推公式求通项公式，属于中档题， ()对递推公式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可证 明： (②)根据()中所证求得，再根据裂项求和法求得工，进 而适度放缩即可证明， 16.【参考答案】解：()证明：由题意知，点0既是AC的中点 ,也是BD的中点， 因为PA=PC,PB=PD, 所以PO⊥AC,PO⊥BD, 又ACnBD=O,AC、BDC平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD: (②)以O为坐标原点，OD,OC,OP所在直线分别为x, ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， C y D Z.0.0.c.Vi..1) 所以m-(.0-,C-2v0,02-2-, 设平面PaC的法向量为=，则{股三8即 「-V2x-a=0 (V2x+v2g=01 取x=1,则y=-1,z=-V2,所以元=(1，-1，-V2), 设直线CE与平面PBC所成角为9， 则血0=ms<2,=C 32v6 9 故直线C5与平面PBC所成角的正弦值为)。 【试题解析】 详细解答和解析过程见【答案】 17.【参考答案】解：(1)椭圆C的长轴长为4，则2a=4,所以 a=2, 又离心率为2，所以c=1,所以b=3, 所以椭圆的方程为号+苦=1： 回由0知，号+号1，由点M在椭圆内，且MP1轴，设 M(-1,), 高2027届高二上数学周测试题143/4 重庆市第十一中 则可设直线AB的方程为y-=k(x+1),设A(x1,n),B(x2,2) 联立直线和椭圆的方程，可得{32+4=12 了y=kx+k+u 则32+4(kx+k+)2=12,所以(42+3)x2+8(k+)k +4.(k+m)2-12=0, E1+x2= 8(k +vp) 4k2+3 1 2 所以 2=4k+2-12,由P=-Br台 +1 x2+1, 42+3 所以(x2+1)斯+(x1+1)h=0,所以(x2+1)(kx1+k+) +(x1+1)(kx2+k+)=0, 所以2kx12+(2k+)(x1+2)+2(k+)=0, 所以24k+)2-12-8k(k+)(2k+)+2(k+)(42+3)=0 台83+16k2+8k2-24-16k3-2424-8k2 +8k3+6k+8k2a+6u=0, 所以6：=18k,所以=3k, 则直线AN的方程为+"”=1，所以r=去1-"， 1 直线BN的方程为产+学-1，所以=0-"当，所以 3 1-:41-":2 3三 31 1 2 所以2(3-w)=C1(3-N2),3x2-E)=(2-x12)UN,所以 -础 因为x2-x1欢=2(k+k+）-E1(k2+k+)=(k+(2-), 3 3 所以欢一十获， 所以w如=张云-号为定值， 【试题解析】 详细解答和解析过程见【答案】 18.【参考答案】解：(1)因为a1+2a2+…+nam=2n, 所以当n≥2时，a+2a2+…+(m-1)am-1=2(n-1)， 两式相减得m=2,-品 又n=1时，a1=2,也符合. 所以a=是。 1= (②由)知，。2，因为对任意的正整数m≥2， 均有+6+1-是-受，且（白为等差数列， 故数列{bn}的前99项和b1+b2+bg+b+bs+b+·+bgr+bgs+b钢 =(b+b2+bg)+(b+b5+bs)+·+(b7+bs+bg) 298 3×5+2=825 2 【试题解析】 本题考查利用数列的递推关系求通项公式，等差数列求和公 式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 (1)根据题意可得当n≥2时，a1+2a2+…+(m-1)an-1=2(n-1) ，进一步可得a,=2,即a-: 回由四知，。-分所以a1++1=分，结合等差数列 的求和公式即可求解 19.【参考答案】解：(1)设G(x,),M(u,跏)，则N(,0), 2r0 因G为△OMN的重心，故有： =，解得=。 J= 3 3 0=3则， 4/4 高2027届高二上数学周测试题14 学高二数学 代入+6=9，化简得兰+矿=1， 又o0≠0，故y≠0， 所以G的轨迹方程为后+=10). (②)因H为△ABQ的垂心，故有ABLHQ,AH1BQ, 又o=点， 故可设直线！的方程为y=V3x+m(m≠1)， 与若+=1联立消去9得：13r2+8v3mr+m-4=0, △=208-16m2>0→m2<13, 设4训，s别，则+=8，=， 13 由B0,得5号=1， →x2(x1-V3)+(V3x1+m)(V3x2+m-1)=0, →4x12+V3(m-1)(e1+x2)+m2-m=0, →4(4m2-4)-24m(m-1）+13(m2-m）=0, →5m2+11m-16=0, 解得m=1(舍去)或m=9满足△>0 故直线的方程为=：- 【试题解析】 本题考查了与椭圆有关的轨迹问题和直线与椭圆的位置关系 ,是中档题 ()设G(x,),M(ro,),则N(m,0),因G为△OMN的重心， 得0=，物=3划，代入号+6=9，可得点G的轨迹方程； 回易得ABQ,又0-5，故设直线！的方程为 y=V3x+m(m≠1)，与椭圆联立，由AH⊥BQ,得 m。-1,结合韦达定理解出m,可得直线的方程 1-V32