河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（北师大版）

2025—2026学年高二12月联考

数学试题

考试时间为120分钟，满分150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ）

A. 5种 B. 7种 C. 15种 D. 20种

2. 已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ）

A. 8 B. 10 C. 6 D. 4

3. 已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ）

A. 2个 B. 4个 C. 1个 D. 12个

4. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面α所成角的正弦值为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（   ）

A. 可以组成个没有重复数字的三位数

B. 可以组成个没有重复数字的四位奇数

C. 可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数

D. 可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数

10. （多选）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数n的值可以是（   ）

A. 0 B. 1 C.  D.

11. 已知菱形的边长为2，，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，，，E是棱上靠近B的三等分点，F是的中点，且，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C. 棱的长为 D. 异面直线与所成角的余弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知，那么_____.

13. 已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______．

14. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在正四棱锥中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且.求直线BC与平面PAC所成的角.

16. （1）从5本不同的书中选出3本送给3位同学，每人1本，有多少种不同的送法？

（2）已知集合，，从集合A中选1个元素作为，从集合B中选1个元素作为，可以组成多少个椭圆？

（3）现有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四个社区做活动，每人去1个社区，每个社区都有志愿者．由于距离限制，甲不去B社区，乙不去C社区，共有多少种不同的安排方案？

17. 已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．

（1）设动点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线；