第03讲 空间向量的应用（14大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

第03讲 空间向量的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点2 ：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点3 ：用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点4 ：用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，． 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点5 ：用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 题型一：直线的方向向量 【例1】（25-26高二上·北京·月考）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】由，则，故. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【变式1-2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 题型二：平面的法向量 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【解析】根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） 法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【变式2-1】（24-25高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 【变式2-2】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【解析】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，. 易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，，求平面的一个法向量 【解析】法一：设平面的一个法向量为， 则，令，得，，所以. 故可得平面的一个法向量. 法二：取轴正向单位向量，轴正向单位向量，轴正向单位向量， 则 故平面的一个法向量为，也可取平面的一个法向量为. 题型三：直线和直线平行 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【解析】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【变式3-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【解析】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 题型四：直线与平面的平行 【例4】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： (1)； (2)平面． 【解析】（1）∵，，∴． 由底面，得． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 又，M为棱的中点． 则，，，，，． ∵，， ∴， ∴，则． （2）∵，，∴． 由底面，得． 又，∴平面， 则向量是平面的一个法向量． ∵，且平面， ∴平面． 【变式4-2】（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【解析】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 【变式4-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 题型五：平面和平面平行 【例5】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【解析】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 【变式5-1】（20-21高二上·宁夏·期中）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【解析】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 【变式5-2】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【解析】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 题型六：直线和直线垂直 【例6】（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 【解析】（1）以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； （2）由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【变式6-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥中，，平面平面，，． (1)若，求证：； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由，且平面，平面， 故平面，设平面平面， 由平面，则，又，则， 又平面平面，平面， 故平面，又平面，故； （2）连接，由，，， 则， 则有，故，又，故， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、， 设，则，， 有，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，取，则， 有，取，则， 由平面平面，则， 由，则， 化简得，由， 故，故或， 当时，，则， 由，且，则，故， 故； 当时，，； 综上所述：的取值范围为. 【变式6-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【解析】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 【变式6-3】（25-26高二上·广西来宾·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证： (2)求的长； 【解析】（1）证明：因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为，所以，即. （2）由（1）知：，可得， 所以的长为. 题型七：直线与平面垂直 【例7】（25-26高二上·河北邢台·月考）如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.    (1)求点的坐标. (2)证明：四点共面. (3)证明：平面. 【解析】（1）由题意可得的坐标为，的坐标为， 的坐标为. （2）连接， 由题意可得 则 所以，所以， 故四点共面. （3）由题意可得 则 所以， 因为平面平面，且，所以平面. 【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·月考）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； 【解析】（1）设正方体的边长为2， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， ， 所以，又，平面 所以平面. （2）由（1）可得，所以， 又由（1）可得平面的一个法向量为， 可得，所以， 又因为平面，所以平面． 【变式7-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明：平面． 【解析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，交于点，连接， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 则有，即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. 题型八：平面与平面垂直 【例8】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 【变式8-1】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 【解析】（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 （2）设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 【变式8-2】（25-26高二·全国·假期作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【解析】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【变式8-3】（2019高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【解析】（1）取的中点为，连接，因为， 所以，因为侧面底面， 因为侧面底面，平面， 所以底面，又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以，， ， 所以. （2）， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 题型九：两条异面直线所成的角 【例9】（24-25高二上·贵州遵义·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由题意，得， 则. 所以. 故答案为： 【变式9-1】（25-26高二上·江西赣州·月考）在正四棱柱中，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则， 则，设， 则，因为， 所以，解得， 所以，则， 因此， 即直线与直线所成角的余弦值为， 故答案为：. 【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 【答案】/ 【解析】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【解析】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 题型十：直线与平面所成的角 【例10】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． （2）由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【变式10-1】（25-26高二上·四川达州·月考）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接，如图所示， ∵长方形中，，分别是，的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴且， 又∵长方体中且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，得. 又∵平面，平面， ∴平面 （2）以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足， 垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 设直线与平面所成的角为，因， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式10-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）在正四棱柱中，是棱上的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. （2）由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式10-3】（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 题型十一：二面角 【例11】（25-26高二上·天津武清·月考）如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则、、、、. 于是，，, 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又，显然，，故得平面. （2）设平面的法向量为，且，， 则，令，可得. 而平面的法向量是， 所以，即 因此，平面与平面所成夹角的正弦值为. 【变式11-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. (1)求证: 平面EDB; (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 【解析】（1）连接，交于，连接，由正方形的性质可知为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，. 设，则， , 因为，所以，即， 解得，所以. 设平面的一个法向量为，则, 令，得，易知平面的一个法向量为， 设平面DEF与平面ABCD的夹角为，则. 即平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为. 【变式11-2】（25-26高二上·云南德宏·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面成角的余弦值. 【解析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，, 则，，, 设平面的法向量为, 则, 取，则, 由于, 故, 又平面，故平面. （2）由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则. 【变式11-3】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 题型十二：点到平面的距离 【例12】（25-26高二上·贵州·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1） 如图所示，建立以A为原点的空间直角坐标系， 由，， 可知， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 易知， 又平面，所以平面； （2）由上可知，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 则点到平面的距离. 【变式12-1】（25-26高二上·天津南开·开学考试）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1） 由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； （2）    设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 【变式12-2】（25-26高三上·上海虹口·期中）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. （2）因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 【变式12-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，点为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：由题意可知，两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得，， 则，， 设平面的法向量为， 则，化简得，取，则， 因为，所以， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）知平面的法向量为，又因为， 所以点到平面的距离. 所以点到平面的距离为. 题型十三：点到直线的距离 【例13】（25-26高二上·广东江门·月考）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为 ， 【答案】 【解析】，，， ，， 则点C到直线AB的距离为. 故答案为：. 【变式13-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【答案】/ 【解析】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，得， 则向量在上的投影向量的模长为， 又，则点M到直线的距离为. 故答案为： 【变式13-2】（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为 ． 【答案】 【解析】由题意得，边上的高即为点A到的距离， 所以边上的高为． 故答案为： 【变式13-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 【答案】/ 【解析】由题意知，直线的方程可变形为， 所以直线经过点，方向向量为，则. 又，，， 所以. 所以点到距离为：. 故答案为： 题型十四：直线（平面）到平面的距离 【例14】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【解析】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【变式14-1】（17-18高二上·内蒙古赤峰·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【解析】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 【变式14-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【解析】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系， 则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 1．（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，则. 又，故点到平面的距离为. 故选：B 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则. 那么，所以异面直线与所成角的余弦值为 , 故选：A. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（    ） A． B． C． D．17 【答案】C 【解析】易知平面的法向量，而由可得，于是， 所以，故点到的距离. 故选：C. 4．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，又直线的方向向量为， 所以点到的距离为； 故选：A 5．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为，， 所以，，，， 不妨设，， 所以， 又，所以在直线上的投影数量的绝对值为， 所以点到直线的距离， 当且仅当时等号成立， 即点到直线距离的最小值为． 故选：A 6．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 7．（25-26高二上·山东临沂·月考）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 如图所示. 则，， 设平面EFG的法向量为，则即， 令，则，， 又，所以点P到平面EFG的距离， 因为，所以Q在以P为球心半径的球面上，又平面EFG， 所以Q的轨迹为球面与平面EFG的交线（一个圆）， 设该圆的半径为，则由球的性质可知， 所以Q的轨迹长度（圆的周长）为. 故选：D 8．（多选题）（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（  ） A．若N为线段GH上的中点，则 B．不存在点N，使得. C．存在，，使得 D．异面直线CE与BH所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，由N为线段GH上的中点，则， 又，所以，正确； 对于B，由是线段上的动点，设，则，， 由，则不存在点，使得，正确； 对于C，由，得， 则，方程无解，因此不存在，，使得，错误； 对于D，，，则， 所以异面直线CE与BH所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（25-26高二上·河南·月考）已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】因为是棱上靠近的三等分点，是的中点，所以． 因为，所以． 因为，所以，故A正确． 因为菱形的边长为，所以． 因为，所以 ，解得，故B正确． 因为，所以． 在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，所以，故C错误． 因为，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确． 故选：ABD． 10．（多选题）（25-26高二上·云南曲靖·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，平面，且，则（   ） A．异面直线与所成的角为 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．阳马的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】作出符合题意的图形，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 连接，可得， 对于A，由题意得，， 设异面直线与所成的角为， 则， 而，可得，故A正确， 对于B，由题意得，， 设面的法向量为，则， 令，解得，得到， 由题意得，， 设面的法向量为，则， 令，解得，得到， 则，可得平面平面，故B正确， 对于C，由题意得，， 设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故C错误， 对于D，如图，将阳马放在正方体内，则其外接球为正方体外接球， 而，则外接球半径为， 由球的表面积公式得球的表面积为，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26高二上·天津武清·月考）若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】依题意，， 设直线与平面所成角为，则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·广东惠州·期中）在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】设，连接，则平面， ，则， 则，，则， 所以在以为原点，半径为的圆上， 当A，P两点间距离最小时，在上， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设直线BP与直线SC 所成角为， 则. 故答案为： 13．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，已知正四面体与正四棱锥的所有棱长都相等，现将两个几何体拼接起来，使它们的一个表面完全重合，得到一个新多面体，则该新多面体的面有 个（填数字）． 【答案】5 【解析】取的中点,连接,则由正四面体的性质可知为二面角的平面角， 设棱长为2，则,; 在正四棱锥中，取的中点,连接, 因为正四棱锥的所有棱长都相等，不妨设为2， 则,； 所以与互补，即当侧面与侧面重合时，侧面与侧面也重合， 由几何体的对称性可知，侧面与侧面也重合， 所以新多面体的面有个， 故答案为：5 14．（25-26高二上·天津·期中）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：取中点H，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为，中位线，所以， 则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以可得，，，，，，，， 向量，且平面的法向量为， 则，所以，又因为平面， 所以平面. （2）由向量，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以，又因为平面的法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由，，， 则向量， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 15．（25-26高二上·重庆·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【解析】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面. （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 16．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图,在四棱锥中,四边形是梯形,,,,,,,是棱的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：因为,,所以. 因为,平面,平面,且,所以平面. 因为平面,所以. 因为,所以. 因为,所以. 因为,所以,所以,所以. 因为平面,平面,且,所以平面. （2）由（1）可知,,两两垂直,则以A为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,,,, 故,,. 设平面的法向量为, 则,令,则，，得. 设平面的法向量为, 则,令,则，，得. 设二面角为,则, 故,即二面角的正弦值为. 17．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为四边形是矩形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以在中，. 因为平面平面，所以平面. （2）证明：因为，所以． 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以． 因为，所以两两垂直． 以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 因为，所以． 因为 ， 所以，即. 又因为平面平面， 所以平面. （3）设， 则． 设平面的法向量为， 则 即 令，则， 所以， 取平面的法向量， 则 ， 化简得，解得或． 所以或． 18．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点．    (1)求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； (2)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为，，两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，   ，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为， 得，令，得， 所以 所以 所以直线与平面所成角的正弦值是． （2）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则，， 设平面的一个法向量为 由，得， 令，得，得， 所以， ∴点到平面的距离是，， 即，存在点满足题意， 此时，所以 19．（25-26高二上·江西南昌·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【解析】（1）取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点2 ：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点3 ：用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点4 ：用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，． 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点5 ：用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 题型一：直线的方向向量 【例1】（25-26高二上·北京·月考）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式1-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【变式1-2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型二：平面的法向量 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【变式2-1】（24-25高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【变式2-2】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，，求平面的一个法向量 题型三：直线和直线平行 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【变式3-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 题型四：直线与平面的平行 【例4】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： (1)； (2)平面． 【变式4-2】（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【变式4-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 题型五：平面和平面平行 【例5】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【变式5-1】（20-21高二上·宁夏·期中）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【变式5-2】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 题型六：直线和直线垂直 【例6】（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 【变式6-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥中，，平面平面，，． (1)若，求证：； (2)若，求的取值范围． 【变式6-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【变式6-3】（25-26高二上·广西来宾·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证： (2)求的长； 题型七：直线与平面垂直 【例7】（25-26高二上·河北邢台·月考）如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.    (1)求点的坐标. (2)证明：四点共面. (3)证明：平面. 【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·月考）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； 【变式7-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明：平面． 题型八：平面与平面垂直 【例8】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【变式8-1】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 【变式8-2】（25-26高二·全国·假期作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式8-3】（2019高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 题型九：两条异面直线所成的角 【例9】（24-25高二上·贵州遵义·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为 . 【变式9-1】（25-26高二上·江西赣州·月考）在正四棱柱中，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 题型十：直线与平面所成的角 【例10】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式10-1】（25-26高二上·四川达州·月考）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式10-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）在正四棱柱中，是棱上的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式10-3】（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 题型十一：二面角 【例11】（25-26高二上·天津武清·月考）如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【变式11-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. (1)求证: 平面EDB; (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 【变式11-2】（25-26高二上·云南德宏·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面成角的余弦值. 【变式11-3】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型十二：点到平面的距离 【例12】（25-26高二上·贵州·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式12-1】（25-26高二上·天津南开·开学考试）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【变式12-2】（25-26高三上·上海虹口·期中）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【变式12-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，点为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 题型十三：点到直线的距离 【例13】（25-26高二上·广东江门·月考）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为 ， 【变式13-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【变式13-2】（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为 ． 【变式13-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 题型十四：直线（平面）到平面的距离 【例14】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【变式14-1】（17-18高二上·内蒙古赤峰·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【变式14-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 1．（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（    ） A． B． C． D．17 4．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 6．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东临沂·月考）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（  ） A．若N为线段GH上的中点，则 B．不存在点N，使得. C．存在，，使得 D．异面直线CE与BH所成角的余弦值为 9．（多选题）（25-26高二上·河南·月考）已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 10．（多选题）（25-26高二上·云南曲靖·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，平面，且，则（   ） A．异面直线与所成的角为 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．阳马的外接球的表面积为 11．（25-26高二上·天津武清·月考）若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 12．（25-26高二上·广东惠州·期中）在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为 ． 13．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，已知正四面体与正四棱锥的所有棱长都相等，现将两个几何体拼接起来，使它们的一个表面完全重合，得到一个新多面体，则该新多面体的面有 个（填数字）． 14．（25-26高二上·天津·期中）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 15．（25-26高二上·重庆·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 16．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图,在四棱锥中,四边形是梯形,,,,,,,是棱的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 17．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点．    (1)求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； (2)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 19．（25-26高二上·江西南昌·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $