30.5二次函数与一元二次方程的关系同步练习2025-2026学年冀教版数学九年级下册

二次函数与一元二次方程的关系 一、单选题 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 2．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 3．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 5．如图是二次函数的图像，则方程（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 10．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或） 12．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 13．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 15．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 16．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知抛物线经过点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 18．抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 19．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 20．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B C D C C D 1．A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 2．A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键． 分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可． 【详解】解：将代入，得，； 同理，， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【详解】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 5．B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质． 根据抛物线与轴的交点情况，来判定方程根的情况． 【详解】解：根据二次函数图象与轴有且只有一个交点， ∴方程，有两个相等的实数根， 故选：B． 6．C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 7．D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 8．C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 9．C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 11． 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键． 将点坐标代入可求对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 16．或 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 17．(1)抛物线顶点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案； （2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ∴， 解得， ∴， 抛物线顶点的坐标为； （2）证明：联立直线与抛物线解析式， 得， 即：， 可得， ∴， 由（1）知，且， ， ， ∴直线与该抛物线有两个不同的交点． 18．(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式（组）的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）令，求解出的的值即点和点的横坐标； （2）化为顶点式即可求解； （3）先求出点的坐标，利用当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方，结合图象即可求解； （4）求出函数的最小值，及和时，的值，再结合函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：令， 化简得：， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：令中， 得， ∴， ∵当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴根据图象可得或， 故答案为：或； （4）解：∵，， ∴当时，取最小值， 又∵当时，，当时，， ∴结合图象可得当时，的取值范围为， ∴的取值范围为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）列表如下： … … … … 函数图像如下所示： （2）由函数图像可知，当时，． 20．(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数与一元二次方程的关系 一、单选题 1,抛物线y=x2+x-6与x轴交点的横坐标是() A.2,-3 B.-2,3 C.2,3 D.-2,-3 2.己知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ,则△ABC的面积为() A.3 B.2 C.4 D.6 3.设A(-2,y),B(1,y2)》C(2,y3)是抛物线y=-x2-2x+2上的三点，则y,y3的大小 关系为() A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2 C.3>y2>y1 D.y3>>y2 4.下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点() Ay=4x-232+15 1 B.y=(x+23)2+155 4 c.y=4x-23-155 D.少=4x+292+155 5.如图是二次函数y=ax2+bx+1的图像，则方程ax2+bx+1=0() A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6.抛物线y=-x2+2x十6在直线y=-9上截得的线段长度为() A.6 B.7 C.8 D.9 7.如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是() 答案第1页，共2页 y 5 2 2f10 1234x A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x23 D.x≤-1或x≥3 8.二次函数y=x2+x-2的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是() A.x<-2 B.x>1 C.-2<x<1 D.x<-2或x>1 9.一次函数y=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+b,x+ca≠0)的图象如图所示，则不等 式ax2+(b-m)x+c>n的解集为() y2 A.x<3 B.x>-4 C.-4<x<3 D.x>3或x<-4 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，A2.18,-0.51),B(2.68,0.54)为图象上的两 点，则方程ax2+bx+c=0的一个解可能是() 答案第1页，共2页 4 3 B2.68,0.54) -2-1Q八1 3.4。 A(2.18,-0.51) A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 二、填空题 11.己知(-1，)，(2，y2)在二次函数y=x2-2x+1的图象上，比较 .(填 >、<或=) 12.若抛物线y=x2-2x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围为一 l3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示，若关于x的一元 二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是. 9 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+6与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直 线交抛物线y= )2于点、C,则BC的长为 B 15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一元二次不等式ax2+bx+c<0 的解集是 答案第1页，共2页 2 1 -2-10 -2 16.已知二次函数片=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A-2,4) ,B(8,2).如图所示，则能使>y2成立的x的取值范围是 三、解答题 17.已知抛物线y=ax2+ax+b经过点M(1,0),且a<b. (1)求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）： (2)证明：直线y=2x-2与该抛物线有两个不同的交点. 1区能物线=-子-2与交于4、两点（4在B在，与辅交于点C,过B, C两点的直线y2=kxr+bk≠0). 答案第1页，共2页 B (1)点A的坐标为 点B的坐标为 (2)抛物线顶点坐标为 (3)当y,>2时，自变量x的取值范围是 (4)当-1<x<6时，求y的取值范围. 19.已知二次函数y=x2+4x+3. 3 2 -5-4-3-2-10 12345x -3 5 (1)在平面直角坐标系xOy中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； 答案第1页，共2页 y (2)若点A(0,片和点B(t,y2都在此函数的图象上，且y>y2,结合函数图象，直接写出t 的取值范围为 20.函数y=-x2+2x+3的图象如图所示，结合图象回答下列问题： 1012x (1)方程-x2+2x+3=0的两个根为_； (2)当y>0时，则x的取值范围为_；当-1<x<2时，则变量y的取值范围为_； (3)若方程-x2+2x+3=k有实数根，则k的取值范围是_· 答案第1页，共2页