30.5 二次函数与一元二次方程的关系-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“二次函数与一元二次方程的关系”，涵盖根的判别式、图像与方程根的对应、不等式解集及近似根等核心知识点，以二次函数图像与性质为学习支架，衔接前后知识脉络，帮助学生构建系统认知。 其亮点在于采用分层训练设计，通过“刷基础”“刷提升”“刷素养”梯度推进，结合数形结合思想（如利用图像求方程根、翻折图像与直线交点问题）培养几何直观与推理能力，以中考真题和变式题强化模型意识。学生能提升解题与思维能力，教师可高效实施分层教学。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的根 1.【2025河北石家庄期末】若二次函数 的部 分图像如图所示，则方程 的根是( ) C A., B., C.， D.， 【解析】根据题意得二次函数的图像与轴交于点 ，对称轴 为直线 ， 二次函数的图像与 轴的另一个交点坐标为 ， 方程的根是， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识点2 二次函数与一元二次方程根的判别式 2.【2025河南新乡期末】已知二次函数的图像与轴有交点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】令，则.由题意可得， ，即 ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3.已知抛物线的表达式为 . （1）求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点； 【证明】，， ， ， 方程 有两个不相等的实数根， 抛物线 与 轴必有两个不同的交点. （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求 的值. 【解】把代入中，得，把 代入 中，得,，解得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点3 利用函数图像求不等式的解集 （第4题图） 4.二次函数 的部分图像如图所示，其 对称轴为直线，图像和轴的一个交点坐标为 ，由图 像可知不等式 的解集是( ) D A. B. C.且 D.或 【解析】 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点与点 关于直线对称， 另一交点的坐标为 ， ， 抛物线的图像在轴下方， 不等式 的解集是或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第5题图） 5.如图，抛物线与直线交于 ， 两点，则不等式 的解集是____________． 关键点拨 掌握二次函数与不等式的关系，通过图像求解是解题关键． 【解析】，，当 时，抛物线在直线下 方， 不等式的解集是 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点4 求一元二次方程根的近似值 6.【2025山东潍坊期末】已知二次函数，，为常数 ， 下表给出了自变量与函数值 的部分对应值. 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程 的近似根是( ) D A.和2.55 B.1.45和2.55 C.1.25和2.75 D. 和2.75 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解析】 二次函数， 该二次函数图像的对称轴为直线 .观察题表数据可以发现，当时，在2.7和2.8之间， 根据二 次函数图像的对称性，可知当时，另一在和之间， 估计方程 的近似根是和 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7.如图，点， 在二次函数 的图像上，则方程 的一个近似解可能是( ) D A.2.18 B.2.68 C. D.2.45 【解析】 图像上有两点分别为 ， ， 当时， ；当 时，， 当时，存在一个使得 ，只有选项 D符合.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 刷易错 易错点 忽略抛物线与 轴的交点 8.抛物线 与坐标轴的交点个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 易错警示 抛物线与坐标轴的交点，包括与轴和与 轴的交点两种情况,做题时，要审清题目， 不要漏掉抛物线与 轴的交点个数． 【解析】， 抛物线与轴没有交点.又 当 时，, 抛物线与 轴有一个交点，故抛物线与坐标轴的交点个数为1. 故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 提升 1.［中］小明在解二次函数时，只抄对了， ，求得图 像过点.他核对时，发现所抄的值比原来的值大2，则抛物线与 轴交点的 情况是( ) B A.只有一个交点 B.有两个交点 C.没有交点 D.不确定 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 【解析】根据题意得 所抄的值比原来的值大2， 原来的值为1， 抛物线的表达式应 该为， 抛物线与 轴有两个交点.故 选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （第2题图） 2.【2024山东泰安中考，中】如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直 线，图像与 轴交点的纵坐标是2.则下列结论： ；②方程一定有一个根在和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根； .其中，正确结论的个数有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】 抛物线的对称轴为直线，，， ， 故①正确. 抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个 交点在2，3之间， 与轴的另一个交点在，0之间， 方程 一定有一个根在 和0之间，故②错误.由题图可得抛物线 与直线有两个交点， 方程 一 定有两个不相等的实数根，故③正确. 抛物线与轴的另一个交点在 ，0之 间， 当时， 抛物线与 轴交点的纵坐标是2， ，， ，故④错误.综上，正确的结论有①③，共 2个，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （第3题图） 3.【2025河北石家庄期末，中】已知二次函数 ，将 该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到 轴上方，图像的其余部 分不变，得到一个新的函数图像,如图所示.当直线 与 新图像有3个交点时， 的值为( ) D A. B.5 C.3或 D.3或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图像有3 个交点.令，则或， 二次函 数图像与轴的交点坐标为，.将 代入 ，得，解得 .二次函数 在轴下方的图像沿轴翻折到 轴上方，所 得新图像的函数表达式为.联立与 ， 整理，得，，解得 . 故当或时，直线 与新图像有3个交点，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 4.［中］已知抛物线经过,两点，则关于 的一元 二次方程 的解是________________． ， 【解析】 抛物线经过,两点， 关于 的一元二 次方程的解为或．将方程 变 形为方程， 把方程 看 成关于的一元二次方程，或，， ，即 关于的一元二次方程的解为， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 5.【2025北京海淀区质检，中】在平面直角坐标系中，一次函数 的 图像与二次函数的图像交于点， . （1）求一次函数的表达式； 【解】把，代入，得解得 一次函 数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （2）若抛物线与轴存在交点，且当时，对于 的每一个 值，函数的值都大于函数的值，请直接写出 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解】.把代入，得，解得 ，则 抛物线与轴存在交点，且当时，对于 的每一个值，函数的值都大于函数 的值， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合【2025河北衡水期末，较难】利用函数 图像探究方程 的实数根的个数. （1）设函数，则这个函数的图像与直线 的交点的横坐标就是方程 的实数根. （2）分类讨论：当时， ； 当时， ________. 【解析】当时，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （3）如图，在给定的坐标系中，已经画出了当 时的函数图像，请根据（2） 中的表达式，通过描点、连线，画出当 时的函数图像. 【解】如图（1）所示. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （4）如图，在给定的坐标系中画直线,观察图像可知方程 的实 数根有___个. 3 【解析】如图（1），直线与 的图像有3个交点，故方程 的实数根有 3个.故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （5）深入探究：若关于的方程 有三个不相等的实数根，且这三 个实数根的和为负数，则 的取值范围是____________. 【解析】根据题意画出图像,如图（2）. 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 直线与函数图像的交点的横坐标 ，且 ，，，， 关于 的方程 有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则 的取 值范围是，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 $