30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 同步练习 2025-2026学年冀教版数学九年级下册

由不共线三点的坐标确定二次函数 一、单选题 1．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（   ） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 4．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 7．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 8．某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 二、填空题 11．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ． 12．二次函数：的图象经过点、两点，其顶点坐标是 ． 13．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 15．已知二次函数，点，都在该函数的图象上，且．写出一个符合上述条件的二次函数解析式为 ． 16．小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式： ． 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 三、解答题 17．数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，． (1)求m，n的值； (2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来． 18．已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． (1)求函数表达式； (2)若点在图像上，且，求的取值范围． 19．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 20．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C C B C D B 1．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，掌握二次函数图象顶点坐标的计算是解题的关键．根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可设顶点式为，再将点代入解析式求解即可． 【详解】解：已知二次函数顶点为， 可设顶点式为，将点代入顶点式： ， 解得：． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故①正确，符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有两个交点，故②正确，符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故③错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故④正确，符合题意； 故正确的说法有3个， 故选：C． 3．C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式性质，首先求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数解析式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴ ∴． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查二次函数的性质，解析式，平移的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的解析式的求法． 【详解】由抛物线平移得到，且对称轴是直线： 设抛物线的解析式为：， 过点，得到 解得：， 所以抛物线的解析式为： 故选：D 5．C 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的顶点式为，再由顶点坐标是，确定解析式即可． 【详解】解：一条抛物线的形状和开口方向与相同， ， 顶点坐标是， ∴它的解析式为， 故C满足条件， 故选：C． 6．C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，根据当a取任何实数时，点P都在抛物线上可求解析式为，代入点Q即可得，即可求解． 【详解】解：∵点P都在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴， ∴， 故选B． 8．C 【分析】本题考查了求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同是解题关键．根据顶点坐标设函数解析式为，再根据抛物线的形状和开口方向相同，确定的值，即可得到答案． 【详解】解：某抛物线的顶点坐标是， 设它的函数解析式为， 它的形状和开口方向与抛物线相同， ， 它的函数解析式为， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法求得二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，点和点， ∴， 解得， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，理解记得顶点式，（其中顶点为）是关键．据题意求得抛物线的二次项系数，由顶点可直接写出解析式． 【详解】解：∵抛物线的形状与函数的图象相同且开口方向相反 ∴抛物线的解析式的二次项系数为，又其顶点为 ∴抛物线解析式为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，解题的关键是掌握在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．把已知点的坐标代入中得到、的方程组，再解方程组求出、，从而得到二次函数解析式，然后把一般式配成顶点式得到顶点坐标． 【详解】解：把、代入， 得：， 解得， 则函数解析式为， 顶点坐标为， 故答案为：． 13．1 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，得出关于b的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：将点代入函数解析式得：， 解得：． 故答案为：1． 14． 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 15．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象与性质，掌握待定系数法是关键．根据解析式判断出对称轴和开口方向，随后判断当，时，对称轴h的取值范围，即可得出解析式． 【详解】解， 对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数抛物线开口向上， A点的横坐标为，B点的横坐标为2，， 第一种情况： 当对称轴直线时，A点B点均在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 则， 第二种情况： A、B两点分别在对称轴两侧，且， 即时，则， 写出一个符合上述条件的二次函数解析式为： 故答案为：（答案不唯一）． 16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．从表格中找三组，的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可． 【详解】把，，代入中得， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． 故答案为：． 17．(1) (2)丙同学把n看成了 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）把，和，分别代入，列出方程组求出m，n的值即可； （2）由得，代入，求出此时的值，即可解答． 【详解】（1）解：把，和，分别代入， 得， 解得：； （2）解：由得， 把，代入，得， 解得， 所以丙同学把n看成了． 18．(1)​或​ (2)当函数表达式为时，的取值范围是；当函数表达式为时，的取值范围是或 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）先由题意得出抛物线的顶点是或，再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解； （2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时． 【详解】（1）解：依题得，该抛物线的顶点是或， 设该二次函数解析式为， ①当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； ②当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； 故函数表达式为或． （2）解：①当函数表达式为时， 即， ， ， 解得； ②当函数表达式为时， 即， 解得或， 综上，当函数表达式为时，的取值范围是； 当函数表达式为时，的取值范围是或． 19．(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 20．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 由不共线三点的坐标确定二次函数 一、单选题 1．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（   ） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 4．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 7．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 8．某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 二、填空题 11．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ． 12．二次函数：的图象经过点、两点，其顶点坐标是 ． 13．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 15．已知二次函数，点，都在该函数的图象上，且．写出一个符合上述条件的二次函数解析式为 ． 16．小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式： ． 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 三、解答题 17．数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，． (1)求m，n的值； (2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来． 18．已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． (1)求函数表达式； (2)若点在图像上，且，求的取值范围． 19．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 20．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $