5.8正多边形和圆同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

正多边形和圆 一、单选题 1.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗 户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋 转角至少为() A.22.5° B.30° C.459 D.90° 2.一个正边形绕其中心旋转72°后能与自身重合，则可取的值是() A.4 B.5 C.6 D.8 3.如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于OO，,若EF=2,则BC的长为() .0 A.22 B.2W5 C.5 D.6 4.如图，M是正六边形EFGHPO的中心.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(O,O), 点E的坐标为(-1，O),则点H的坐标为() M (-1,0) (0,0) G A.(-2,0) B.L,) C.(1,0) D.(2,0) 5.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若LADB=18°， 则这个正多边形的边数为() 答案第1页，共2页 A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，AC是⊙0内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙0内接正八边形的 一边.此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是() B A.12 B.16 C.20 D.24 7.如图，正五边形ABCDE内接于OO,P为AB上一点，连接PA,PE,则∠APE的度数 为() A.18° B.36 C.54° D.72 8.如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边 形AEFCGH的周长之比为() A E A.2V2:3 B.√2：1 C.V:5 D.1:V3 9.如图，AB、AC分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则∠BAC的度数是() 答案第1页，共2页 B A.4° B.5° C.6° D.12° 10.我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步 逼近圆来近似计算圆的面积.设⊙0的半径为1，若用如图所示的⊙0的内接正十二边形的 面积来近似估计Q0的面积，则产生的正误差为() A. π C.r-3 D.元-3 10 2 二、填空题 11.等边三角形的中心角等于度. 12.如图，正八边形ABCDEFGH内接于OO,对角线AE为OO的直径，连接HE,则 ∠AEH的度数为 A B D E 13.如图，是正多边形的一部分，若LACB=18°，则该正多边形的边数为一 14.如图，在正边形中，∠1=18°，则的值是 答案第1页，共2页 15.如图，OO是正五边形ABCDE的外接圆，连接AD,则∠BAD的度数为 16.如图，OO是正方形ABCD的外接圆，若正方形ABCD的边长为4，则圆的半径 是 B 三、解答题 17.如图，△ABC中，AB=AC.求作一点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱 形，并证明你作图的正确性.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） B 答案第1页，共2页 18.正六边形ABCDEF的边长为8，求这个正六边形的周长和面积. D E B 19.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB=3,求这个正六边形的周长. B 20.如图，正方形ABCD内接于⊙O,E是BC的中点，连接AE,DE,CE,求证： 答案第1页，共2页 AE=DE; D 0 答案第1页，共2页 正多边形和圆 一、单选题 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 2．一个正边形绕其中心旋转后能与自身重合，则可取的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 5．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 7．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 9．如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．等边三角形的中心角等于 度． 12．如图，正八边形内接于，对角线为的直径，连接，则的度数为 ． 13．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 14．如图，在正边形中，，则的值是 ． 15．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ． 16．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是 ． 三、解答题 17．如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 19．如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    20．如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C D D B A C D 1．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为， ∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 2．B 【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，分别计算等于各选项值时的中心角，逐项判断即可得到答案，熟记正多边形的性质及旋转后对称是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项正确，符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 故选：． 3．D 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 5．D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 6．D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 7．B 【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正五边形内接于， ∴， ∵P为上一点， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求． 【详解】解： 连接，如图所示： 设此圆的半径为R， ∵在正方形中， , 则内接正方形的边长， ∵在正六边形中， ， 为等边三角形， 则内接正六边形的边长， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为， ∴正方形与正六边形的周长之比． 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理的应用，如图，记外接圆的圆心为，连接，，，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，记外接圆的圆心为，连接，，， ∵，分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 10．D 【分析】此题考查了正多边形与圆，含角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含角直角三角形的性质求出的内接正十二边形的面积为，即可求出答案． 【详解】解：如图，在中，，作于点， ∴， ∴， ∴的内接正十二边形的面积， ∴产生的正误差为， 故选：D 11．120 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法． 根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：等边形的中心角等于； 故答案为：120． 12． 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正八边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， 正八边形内接于， ， 对角线为的直径， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 14．20 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，求出的值即可． 【详解】解：如图，点为正边形的外接圆的圆心，连接， 则：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 15．/72 度 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴五边形的各边都相等， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的相关概念，连接，由题意并结合勾股定理可得，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴， ∴圆的半径是， 故答案为：． 17．见解析 【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点. 【详解】如图即为所求作的菱形 理由如下： ∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形． 【点睛】本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是掌握尺规作图和菱形的性质. 18．周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 19．这个正六边形的周长为． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    20．证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $