6.4.1 二项分布 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二项分布，通过“三个臭皮匠”情境导入，结合复习两点分布与二项式定理，以射击问题为载体推导分布列，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过逻辑推导发展数学思维，用报警器、天气预报等典例强化数学语言表达，帮助学生建立模型观念，教师使用可提升教学效率，助力学生掌握知识与应用能力。

§4 4.1 二 项 分 布 第六章 第 六 章：概 率 二项分布与超几何分布 学习目标 1.通过具体实例了解<m></m>重伯努利试验，掌握二项分布及期望、 方差的计算.（重点） 2.能用二项分布解决简单的实际问题.（难点） “三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强 大。假设李某智商较高,他独自一人解决项目的概率；同时,有n个水 平相同的人组成智囊团也在研究项目,他们各自独立解决项目 的概率是0.1． 情境导入 问题1: 现在李某单独研究项目，且智囊团由2个人组成，也同时研究项目 ，试比 较李某和智囊团解决项目 的概率． 答: 李某独自一人解决项目的概率， 设这个2人智囊团解决项目的概率为，则 ， ，故智囊团解决项目的概率小于李某解决项目 的概率． 问题2: 现在李某单独研究项目，且智囊团由5个人组成，也同时研究项目 ，试比 较李某和智囊团解决项目 的概率． 答： 李某独自一人解决项目的概率，设这个5人智囊团解决项目的概率为 ， 则， 所以 ，故智囊团解决项目的概率大于李某解决项目的概率 1.我们前面学过两点分布，你能写出它的分布列吗？你还记得二项式通项吗？ 答： （1）两点分布的分布列如下： 0 1 （2）二项式通项为 ． 复习回顾 在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.如检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阴性或阳性等. 伯努利分布 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为，且各次命中目标与否是相互独立的.用X表示这4次射击中命中目标的次数，如何表示X的分布列和均值呢？ 探索新知 解：用事件Ak(k= 1,2,3,4)表示“第k次射击命中目标”，每次射击都是独立的，用事件BK(k= 0,1,2,3,4)表示 “运动员进行4次射击，命中目标k次”. 则{X=0}:B0= 则{X=1}:B1= =(1- 事实上,当X=k(k=0,1,2,3,4)时,4次射击有k次命中目标，有(4-k)次没有命中目标(事件Bk发生)，这包含种情况.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，可得 探索新知 P(X=k)=P(Bk)=(k=0,1,2,3,4). 这样,X的分布列就可以写成如表6-19的形式： 在上面的问题中，将一次射击看成做了一次试验，思考并回答下列问题： (1)一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？ (2)如果将每次试验的两种结果分别称为“成功"(命中目标)和“失败"(没有命中目标)，那么每次试验成功的概率是多少？它们相同吗？ (3)各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中，独立性具体应用在哪里？ 【思考交流】 探索新知 4次，两种. ，相同. 独立，相互独立同时发生 一、n重伯努利试验： 探索新知 思考 重伯努利试验具有哪些共同特征？ 答：（1）同一个伯努利试验重复做 次； （2）各次试验的结果相互独立． （3）每次试验的结果只有两个（成功、失败），且每次成功的概率相同 一般地,在相同 条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n 次独立重复试验为n重伯努利试验. 例1 判断下列试验是不是 重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中摸取5个球，恰好摸出4个白球． [解析] （1）因为试验的条件不同（质地不同），所以不是 重伯努利试验． （2）由于某人射击且击中的概率是稳定的且结果只有两种，因此是 重伯努利试验． （3）因为试验未说明是否放回，所以不是 重伯努利试验． 典例讲解 方法总结 <m></m>重伯努利试验的判断依据 （1）要看该试验是不是在相同的条件下重复进行； （2）每次试验相互独立，互不影响； （3）每次试验都只有两种结果（每种结果发生的概率稳定），即事件发生或不发生． 二、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为P,则X的分布列可以表示为 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为 X 〜B(n,p). 显然,两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况. P(X=k)= (k=0,1,2,…,n). 探索新知 在下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布,其参数n,p分别是什么？ (1)抛掷n枚均匀的相同骰子,X表示“掷出的点数为1"的骰子数； (2)n个新生婴儿,X表示男婴的个数； (3)某产品的次品率为P，X表示72个产品中的次品的个数； ⑷女性患色盲的概率为0.25%,X表示任取n个女性中患色盲的人数. 解 ⑴服从，n是n枚均匀的相同骰子，p= . ⑵ 服从，n是n个新生婴儿，p= . ⑶ 服从，n=72，p为次品率. ⑷服从，n是n个女性，p=0.25%. 思考交流 典例讲解 例2： 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率： (1) 3台都没报警；(2)恰有1台报警； (3)恰有2台报警； ⑷3台都报警； (5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警. 解： 设X表示在发生险情时3台报警器中报警的台数， 由题意知X〜8(3,0.9) ，它的 分布列为 P(X=k)=(k = 0,1,2,3), 如表6-20： 典例讲解 ⑴3台都没报警的概率为P(X=0)=0.001； (2)恰有1台报警的概率为P(X=l) = 0.027； (3)恰有2台报警的概率为P(X=2)=O.243； (4)3台都报警的概率为F(X=3) = 0.729； (5)至少有2台报警的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.243+0.729=0. 972； (6)至少有1台报警的概率为 P(X≥1) = 1-P(X=0) = l—0.001=0.999. 典例讲解 典例讲解 巩固训练：某气象站天气预报的准确率为 ,计算:（结果精确到0.01） （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率； （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. [解析] 记“预报1次准确”为事件，则 ，5次预报相当于5次独立重复试验. （1）恰有2次准确的概率 ，因此5次预报中恰有 2次准确的概率约为0.05. （2）“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”， 故所求概率为 . （3）由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次预报准确， 所以所求概率为 , 即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 例3 一批产品中，次品率为.现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量ξ表示抽取的次品的件数，求Eξ和Dξ. 解 由题意知ξ〜B(4,),它的分布列为P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4), 如表6-21： Eξ=0×+1×+2×+3×+4×= ; Dξ=×+×+×+×+×=. 典例讲解 一般地，若随机变量X〜B(n,p),则 特殊地，若随机变量X服从参数为P的两点分布，则 EX=np,DX =np(l-p). EX=p,DX=p(l-p). 三、二项分布的随机变量的均值与方差 探索新知 例4 某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30kW,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001). 典例讲解 解 设X为5台机床中正常工作的台数，则X服从参数为n=5,p=0. 2的二项分布，即P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5). 由题意可得:“车间不能正常工作”时总功率超过30kW，即X ∵P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5) =+ ≈0. 007. 这是一个概率很小的事件,几乎不会发生.因此,如果车间不能正常工作时不会造成破坏性后果,那么在总功率只能为30 kW的情况下仍可以正常安排生产. 典例讲解 巩固训练：某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理” 的原则，参保人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本 人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参保人员所在地区有A，B，C三家社 区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参保人员选择A社区医院的人数为， 求 的分布列及数学期望. 典例讲解 解： 由条件知，每位参保人员选择A社区医院的概率均为 ，4名人员选择A社区医 院即4次独立重复试验，即,， 的所有可能取值为0,1,2,3,4， 所以 ， ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 1.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点： 其一是独立性实验之间互不影响且一次试验中事件发生与不发生二者必居其一； 其二是重复性，即试验是在相同条件下重复了n次． 课堂小结 2.二项分布是一种常见的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布． 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布． 课堂检测 1.已知，则 ( ). D A. B. C. D. 2.设随机变量，且，，则 ( )． B A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3.某学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试 次，要保证他至少有一次通 过的概率大于，那么 的最小值为( ). C A.6 B.5 C.4 D.3 4.一次数学测验由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是 正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对 任一题的概率均为 ，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为____，方差为____. 60 96 课外思考：有人这样认为，抛掷一枚均匀的硬币100次，恰好50次正面朝上的概率很大.你同意他的想法吗？ 1.全班每人抛掷一枚均匀的硬币100次(或利用科学计算器产生随机数进行模拟)，记录正面朝上的次数.计算恰好得到了50次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例. 2.每人再做一次试验，计算恰好得到了50次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例. 有人给出了一个抛掷均匀硬币的模拟试验①，试验相当于100个人，每人都抛掷100次 均匀硬币，记录各自掷出正面朝上的次数如下： 课外探索 课外探索 在这100个数字中，50出现了7次，因此，“抛掷100次均匀的硬币，恰好出现50次正面朝上”的频率是=0.07. 我们也可以从理论上计算这个概率.用X表示100次抛掷中正面朝上的次数,则易知X服从参数为n=100,p=的二项分布.因此,100次抛掷中恰有50次正面朝上的概率为P(X=50)==≈0.08. 由此可见,前面算出的频率与理论上的概率值是很接近的. 人们也许存在着这样的误解，认为“抛掷100次均匀的硬币，出现50次正面朝上”是必然的，或者说它的概率应该很大，但通过做试验和计算表明这个概率只有8%左右.由此可见,学习概率的知识有时能够帮助我们澄清一些误解. 课外探索 54 46 53 55 46 54 41 48 51 53 48 46 40 53 49 49 48 54 53 45 43 52 58 51 51 50 52 50 53 49 58 60 54 55 50 48 47 57 52 55 48 51 51 49 44 52 50 46 53 41 49 50 45 52 52 48 47 47 47 51 45 47 41 51 49 59 50 55 53 50 53 52 46 52 44 51 48 51 46 54 45 47 46 52 47 48 59 57 45 48 47 41 51 48 59 51 52 55 39 41 $