河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期12月24日数学周考试卷

参考答案 1.C【详解】M p司-xN-g1ge<习，以 M∩N={xl0<x<2},故选：C. 2.C【详解】V3siml5°+cos345°-√3siml5°+cos15°=2si15+30）-厂2 3.A【详解】因为W5+2=V5-2i=3,1+2=1-2=V5,， 所以排除BD, 因为√5+2i对应的点(5,2)在复平面内第一象限，√5-2i对应的点(W5,-2)在复平面内第 四象限，所以A正确，C错误， 4.D【详解】设{an}的公差为d,b}的公比为q, [b=-1, 则由题意得1+d-q=5,解得q=-1或3： 1+2d-q2=6, 5.B【详解】当n<3时，{a}递增，则t>0;当n≥3时，{a}递增， 若{a}为递增数列，则t>0,且a2<4, 即2-1水1--1g第利1安：综上.01 6.C【详解】由余弦定理可得：b2+c2=a2+2 bc cosA, 故：+2+g-+b2+c2=2a2+2bcc0s4_2a +2cosA, bc bc 而8e号m4==,故c=c咖A, 2 所以：￡++=2a +2cosA=2√3sin4+2cosA=4sin(AF大4.故选C】 b'c'bcbc 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中 的综合应用，考查了转化思想，属于中档题 7.A【详解】由题意知：f0)=0,即-4=0，所以a=1, 2 8函数/子1-，为上的增函数，不等式/sm-)+/cosx-)50恒成立。 又f(-x)=-f(x), ∴.f(x sinx-1)≤-f(cosx-b),得f(xsix-1)≤f(b-cosx),即xsin.x+cosx≤b+l, 答案第1页，共8页 令86)=血+co,8W=cos,当∈（0，写到时，g)0,g)单调递增：当 e小时，8a)0,g单词港减， “当x=时，g(x)取极大值也是最大值，最大值为8 2 即b受-1，又6c2,有=1放选：A 8.D【详解】设圆锥SO的高为，母线长为l,底面半径为R,则h=2, ,用平行于底面的平面我题维50得到一国台的体积是圆锥50体积的， 截去圈能的体积为圈维0体积的后， 设截去圆锥的高为h,母线长为，底面半径为？， 则 Rh 13 ，解得么=1，=5-1 “1R-21 r_h R h “圆台的侧面积为S=R-l,=配-兀 4 又12-R2=2=4, 户=R+4=名+4，整理得-32=0，解得-8或-4《合去. l>0,∴1=22.故选：D 9.AD【详解】5a-3b=5i,=1,5=2, 5a-36=25-30a-6+95=61-30a-6=31,解得a5=1, 选项A,设0是a与5的夹角，则c0s0= a.b11 51X22,÷6=60°，故A正确： 选项B,(a+b)(a-b)=-=1-4=-3,故B错误： 选项c,a--6-2a5+a-4状-2+14收 当1。日西的质小位为得55，放C错误 选项D,设向量c=(3,4),a=(x,y), 答案第2页，共8页 3x+4y=a.c,设a是a与c的夹角，则cos4- a-s1,即la.d≤l=1x3+车=5， a.a 当且仅当a,c共线时取等号，.3x+4y=ac≤a.≤5，故3x+4y的最大值为5，故D正 确.故选：AD. 10.ACD【详解】由题意知a1-a.=-21+11, 当m≥2时，a,=(a,-a+aa-片+a,-a片a,=1五+0-f2y-n年12， 2 经检验n=1也满足上式，所以a=-n2+12n,即4=27，故A正确； 对于B,令a,≥0，解得1≤n≤12，所以n=12时，Sn取得最大值，故B错误； EC令a-a<0,解得号，又nEN,所以n≥6，所以4>a>4>≥& c疏：对F山当n7时，万-骨子子 1 1111） 当n≥8时，6=r-12+35(m-5(n-72义n-7n-5} +1,1=731173 故D正确. 故选：ACD 11.ACD【详解】对于A选项，因为CD⊥DE,CD⊥AD,ADO DE=D,ADc平面 ADE, DEC平面ADE,故CD⊥平面ADE,故A正确： 对于B选项，因为BC1CD,CF1CD,所以∠BCF为=面角的平面角，∠BCF-骨 如图，取CF中点O,连接BO,则BO⊥平面CDEF,连接OE,则BO⊥OE,连接BE, BB=B0+0B=3+=2,枚BB=5,放B错误 44 B D 对于C选项，如图，过M作M,平行CD交BC于M1,过N作N平行CD交CF于N, 连接MN,亚=号c,则4-号4B,同理W-号CD,所以a,∥y, 答案第3页，共8页 且M,=N,所以四边形MMNN.是平行四边形，所以MN∥MN,又MNC平面BCF, MNt平面BCF,所以MN∥平面BCF,故C正确； 夕 N F 对于D运项，由题意得，平面ABCD1平面D8C,所以了×x1= 32 6, AC=-CB=AB=万，设三枝锥A-DCB的表面积为s,则S=x1x3+V5x6W2时-3升√3 2 4 2 设内切球半径为，则由么青识，得R-35,放D正确散选：ACD 6 12.[0,1]【详解】由p<1可得-1<x<1, 由ax2+(a-1)x-1<0(a≥0)可得(a-1)(x+1)<0, 当a=0时，解得x>-1,符合题意： 当a>0时，解得-1<x合若P是9的充分条件，可知1<<1k骨 当,0a1,1<1<骨立 a 综上，a的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1]。 13.30【详解】由直线1的方程为x+1 2 =y=z-1,得直线1经过的点P(-1,0,1),且方向向 量a=(2,1,1),则P0=(2,1-2),所以点9到直线1的距离 d-ran √30 6 故答案为：y30 14. 【详解】因为BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA=-+b+c, 6 所以BD=(-a+b+c=a+b2+c2-2a.6-2a.c+2b.c =m+m+m-2x0-2xm》-2x×=, 答案第4页，共8页 所以BD=V3m,又AC=AB+AD=a+b, 所以AC2=a+2ai+B2=2m,所以AC=√2m, 所以AC.BD=(a+b)（a+b+c-a+b+a.c+b.c AC.BD 所以cosAC,BD 2 _VG AC.BD V5×√2m6 所以异面直线AC与BD,所成角的余弦值是 6 故答案为： 6 15.【详解】(1)证明：分别过D,E作平行于A4的直线交AB于F,交AC于G,连接FG, F H D B 因为D,E两点运动速度相同，所以AD=CE,因为∠BAB=∠ACA,所以DF=EG, 又因为DFIIEG,所以四边形DFGB为平行四边形，所以DEIIFG, 又因为DEt平面ABC,FGC平面ABC,所以DEI∥平面ABC; （2)过D作AA的垂线，垂足为H,过E作AC的垂线，垂足为M, 由题意可得DH=t,EM=4-t, 所以=专9e*Da分4(4-01+4. 当t=2时，V-4Dg最大，此时D,E分别为AB,AC的中点， 如图建立空间直角坐标系，则C(0,4,0),D(2,0,2),A(0,0,0),E(0,2,2), 所以CD=(2,-4,2),AD=(2,0,2),AE=(0,2,2), 设平面ADE的法向量为=(x,y,), 答案第5页，共8页 mAD=0 「2x+2-=0 所以 得 i·AE=0 2y+2==0' 令2=1，则m=(11山， 所以cosC D,列 CD.m上2+4+2V2 CDmV24×331 所以直线CD与平面4DB所成角的正弦值为 3 16.【详解】1)令1=1+x,1分)0+=1+中可化为@-1+月 所以a1=f)=1+a.(3分)即a1-a,=1. "a. 故数列{a}是以2为首项，1为公差的等差数列.(5分) (2)由(1)得a.=2+(n-1)×1=n+1,故b,=(n+1)21,(6分) 则T=2·2°+3.2++(+1)21，① 2T=22+3·22+…+(n+1)-2,②（10分) 由①-②得，-7=2+2+2++21-+-2=2+2-2x2-m+0-2=-2, 1-2 所以T=n2”.(12分) 17.【详解】(1)由己知及正弦定理：sin AcosB-cos Asin B=sinA-sinC, 'A+B+C=兀，A,B,C∈(0，T),sinA>0, .sin Acos B-cos Asin B=sin A-sin (A+B)=sin A-sin Acos B-cosAsin B, 2B 2sin Acos B-sinA,.cosB= Γ3 (2)在△ABC中，由SABc=SAD+ScBD, 可得：aem∠AC-Dem∠D+Dasm∠C8D, 又BD平分∠BAC,则∠ABD=∠CBD=∠ABC= 2 6 所以92分2 22x 3 cx 2 整理得33ac=2√2(a+c)①. 又由余弦定理，可得b2=a2+c2-2ccos∠ABC,即b2+c2-bc=16, 则有16=(a+c-3c=(a+cy-2 3(a+c)②， 答案第6页，共8页 由O2解得：a+c=26或a+c=-4N6(舍)，所以△1BC的周长为26+4. 3 18【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且BCc平面ABCD,所以PA⊥BC, 因为AD//BC,且AD⊥AB,所以BC⊥AB,且PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB,因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE, 因为PA=AB,E是棱PB的中点，所以AE⊥PB, 因为PB,BCC平面PBC,且PBOBC=B,所以AE⊥平面PBC. （2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,A正的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空 间直角坐标系. 因为AD=1,所以A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),P(0,0,2), B(2,0,0) 则AD=(0,1,0),PC=(2,2,-2)PD=0,1,-2), 因为点E在棱PB中点上，所以E的坐标为Q,0,1D,ED=(-1,1-1) 设平面PCD的法向量为i=(x,y,z), 则{→{22，令y=2,得i=(12.1), ..d= ED.26 网V63 (3)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的 空间直角坐标系 ZA 因为AD=1,所以A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),P(0,0,2), 则AD=(0,1,0),PC=(2,2,-2,PD=(0,1,-2, 因为点F在棱PC上，所以PF=PC=(21,2元，-2)， 则F(2元，2，-21+2)，故AF=(22,21,-21+2), 设平面ADF的法向量为m=(xy-), 答案第7页，共8页 [m-AD=y。=0 则 m丽=2+22%+(-22+25=0’令x=元-1，得m=(2-10列， 由(2)知平面PCD的一个法向量i=(-1,2,1),设平面ADF与平面P℃D的夹角为6， cos8=cos(元，n= 则 12 6 √3 所以6 即v6 6 故平面ADF与平面PCD夹角的余弦值的最小值为 6 19.【详解】(1)f(x)=e-2xc,所以f(0)=1,又f(0)=1, 所以曲线y=∫(x)在x=0处的切线方程为y=x+1. (2当e时，J-e-公2e 设数)=e-,则g0)=6-x, 设h(x)=e-x,则h(x)=e*-1>0在(0，+o)上恒成立， 所以h(x)=e-x在(0，+o)上单调递增， h(x)>h(0)=1,即g(x)>1,因此g(x)在(0，+o)上单调递增， 所以f(x)≥g(x)>g(0)=1,即当x>0时，f(x)>1 3)由(2)知，当xo0时，e>号41，则xn行+ 令x=n,则a>可}+ 所以g小告小兮+经小-23++ n(n+1) *g小-侣1a 以g任小学 答案第8页，共8页 高三数学周考 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．已知集合，则M∩N=() A. B. {x|-1<x<2} C. {x|0<x<2} D. 2. A. B.1 C. D.2 3．已知复数z满足|z|=3，在复平面内，表示复数z的点在第一象限，则复数z的可能取值是( ) A. B.1+2i C. D. 1-2i 4．已知数列为等差数列，数列为等比数列， , ,则数列的公比为 ( ) A. 1 B. 3 C.1或-3 D. -1或3 5．已知数列满足 ，若为递增数列，则实数t的取值范围为 ( ) A. (0,+∞) B. C. D. 6．已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,BC边上的高为h，且，则的最大值是 A. B. C. 4 D.6 7．已知函数是R上的奇函数，当x∈(0,π)时，不等式f(xsinx-1)+f(cosx-b)≤0恒成立，则整数b的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8．已知圆锥SO的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥SO体积的，则圆锥SO的母线长为 ( ) A.8 B. C. 32 D.2/2 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题（本题共3题，每题6分，共18分） 9．已知向量,满足，则下列说法正确的是 ( ) A.,的夹角为60° B. C. 的最小值为 D.若，则3x+4y的最大值为5 10．在数列中， ，令 记Sn ，Tn分别为数列的前n项和，则 ( ) A. B.当n=13时，取得最大值 C.数列从第6项起为递减数列 D. 11．如图，正方形ABCD与正方形DEFC的边长均为1，则以下结论正确的是 ( ) A.CD⊥平面ADE B.若二面角B-CD-F为，则 C.若M,N两点分别满足，则MN/／平面BCF D.若平面ABCD⊥平面DEFC，则三棱锥A-DCE的内切球半径为 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12．设p:|x|< 1； .若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 13．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 点Q(1,1,-1）到直线l的距离为 14．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且设, , .则异面直线AC与、所成的角的余弦值为 四、解答题（本题共5题，共77分） 15.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC, ，两个质点分别从点A和点C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别向点，A作直线移动.如图，点D,E分别是两质点移动t(0<t<4)秒后到达的位置. （1）证明：DE/／平面ABC； （2）当三棱锥C1-A1DE的体积最大时，求直线C1D与平面A1DE所成角的正弦值． 16.（本小题满分15分）已知函数f(x)满足，数列满足 （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 17.（本小题满分17分）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知acosB-bcosA=a-c （1）求角B； （2）若BD是ΔABC的一条内角平分线， b=4, ，求ΔABC的周长. 18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD,PA=AB,AD//BC,AD⊥AB,E是棱PB的中点， AB=BC=2AD=2 （1）证明：AE⊥ 平面 PBC （2）求点 E 到平面 PCD 的距离． （3）若点F 在棱 PC上，求平面ADF与平面PCD所夹锐角的余弦值的最小值． 19.（本小题满分17分）已知 （1）求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； （2）若，证明：当x>0时， f(x)>1 （3）求证： 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $