5.1二次函数同步练习 2025-2026学年 苏科版数学九年级下册

5.1二次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是二次函数的是（） A． B． C． D． 3．当函数是二次函数时，a的取值为（　　） A． B． C． D． 4．已知抛物线经过点，则代数式的值为 （   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 5．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 6．下列各式中，二次函数的个数是（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0 8．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 9．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 10．若函数是二次函数，则m的值是（    ） A．2 B．-1或3 C．-1 D．3 11．若函数是二次函数，则有（　　） A． B． C． D． 12．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（    ） A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx C．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对 二、填空题 13．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 14．已知是关于的二次函数，那么 ． 15．已知y＝n 是二次函数，则n的值为 . 16．二次函数的一般形式是 ． 17．当m≠ 时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数． 三、解答题 18．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 19．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 20．已知两个变量x、y之间的关系为y=（m﹣2），若x、y之间是二次函数关系，求m的值． 21．已知是x的二次函数，求出它的解析式． 22．已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 23．当m为何值时，函数是二次函数． 24．已知：二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)设、、均在该函数图象上， ①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 《5.1二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C B B B C D 题号 11 12 答案 B D 1．C 【详解】试题分析：A、当m＝1时，(m－1)2＝0，函数y＝(m－1)2x2不是二次函数； B、当m＝－1时，(m＋1)2＝0，函数y＝(m＋1)2x2不是二次函数； C、无论m取何值，m2＋1≠0，所以函数y＝(m2＋1)x2一定是二次函数； D、当m＝1或－1时，m2－1＝0，函数y＝(m2－1)x2不是二次函数． 故选C． 点睛：判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．C 【详解】利用二次函数定义A,B,C是二次函数，C不是二次函数，选C. 3．D 【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】解：∵是二次函数, ∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键. 4．A 【分析】根据抛物线过点，代值求出，整体代入即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ，即， 将整体代入， 故选A． 【点睛】本题考查代数式求值，理解抛物线过点对应的代数式，利用整体代入思想求解是解决问题的关键． 5．C 【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键. 6．B 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：①，故不是二次函数； ②是二次函数； ③当时，，故不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤是二次函数， 则二次函数的个数有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．B 【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误； B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确； C、y2﹣ax=﹣2，y不是x的二次函数，故此选项错误； D、x2﹣y2+1=0，y不是x的二次函数，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 8．B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 9．C 【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案． 【详解】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2， 则y＝k1x﹣k2x2， 所以y是关于x的二次函数， 故选：C． 【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 10．D 【分析】根据二次函数的一般形式，可列出方程和不等式，计算即可． 【详解】根据题意得： 解得：m=3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数一般形式满足的条件是解题的关键． 11．B 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 12．D 【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可． 【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误； B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误； C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误； D.以上说法都不对，故此选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数，一次函数的一次项系数． 13． 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 14．2 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 15．±2 【分析】根据自变量x的指数等于2，且系数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意得 ，且n≠0， 解之得 n=±2. 故答案为±2. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可. 16． 【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式． 【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12， 故答案为y＝−8x2＋20x＋12． 【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键． 17．m≠1 【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数， ∴m﹣1≠0，解得m≠1． 故答案为：m≠1． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2、常数项是； （2）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0、常数项是； （3）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是1、常数项是0； （4）∵ ∴不是二次函数． 19．(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 20．-2 【详解】【试题分析】根据二次函数的定义得：同时满足二次项系数不为0，且x的最高次数为2，即 【试题解析】根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0. 解得m＝－2. 所以m的值为－2. 【方法点睛】本题目是一道二次函数概念的题目，要求同时满足：二次项系数不为0，且自变量的最高次为2次. 21．y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1； 当m=3时，y=6x2+9； 当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1； 综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 22．(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 23．m=3 【分析】根据二次函数的定义即可求出结论． 【详解】解：∵函数是二次函数 ∴ 解得：m=3 即当m=3时，函数是二次函数． 【点睛】此题考查的是根据二次函数的定义，求参数，掌握二次函数的定义是解题关键． 24．(1) (2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析 【分析】（1）把代入二次函数即可求解； （2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。 【详解】（1）解：把代入二次函数得：， ． （2）解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． 理由是当时，、、， 代入抛物线的解析式得：，，， ， 当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． ②理由是：把、、代入得： ，，， ， ，，，都是大于的， ， ， 根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边）， 当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长． 【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $