广东省汕尾市海丰县林伟华中学2025-2026学年高三上学期学业水平考试数学模拟卷3

2025-2026学年第一学期海丰县林伟华中学高三学业水平考试 模拟测试卷（数学） 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 3．，使得的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中是奇函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．三个数的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 8．若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 9．设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或，是异面直线 10．现有随机选出的20个数据，统计如下，则（    ） 7    24    39    54    61    66    73    82    82    82 87    91    95    8    98    102    102    108    114    120 A．该组数据的众数为102 B．该组数据的极差为112 C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的80%分位数为102 11．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 12．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．若正数满足，则的最小值是 . 14．已知幂函数的图象经过点，则 . 15．计算： . 16．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 17．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 18．某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ． 血型 A B AB O 该血型的人占比 三、解答题：本大题共4个大题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 19．在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 20．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 21．仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43． 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： (1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？ 22．在三棱锥中，为的中点. (1)证明：⊥平面. (2)若，平面平面，求点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期海丰县林伟华中学高三学业水平考试 模拟测试卷（数学） 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出集合后由交集定义即可得. 【详解】，又，故.故选：D. 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法求解. 【详解】由，所以不等式的解集是，故选：C 3．，使得的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 【答案】D 【分析】直接写出存在量词命题的否定即可. 【详解】“，使得”的否定是“，”，故选：D. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可求出. 【详解】且，得且，则函数的定义域为.故选：C 5．下列函数中是奇函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 该函数是非奇非偶函数且在上为增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为，， 该函数为偶函数，当时，，故该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， 且满足，因此为奇函数，且在上为增函数，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 该函数在上为减函数，在上为增函数，D不满足要求. 故选：C. 6．三个数的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由，即可得到结果. 【详解】由三个数，可知其大小关系为. 故选：A 7．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，.故选：C 8．若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】结合复数运算法则求的代数形式，再求其模. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 9．设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或，是异面直线 【答案】D 【分析】利用空间中线、面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】 对于A，可设为平面，显然，但，故A错误； 对于B，可设为平面，显然，但，故B错误； 对于C，可设分别为平面，平面， 显然，但，故C错误； 对于D，若，则两平面不会有交点，所以或，是异面直线，故D正确. 故选：D 10．现有随机选出的20个数据，统计如下，则（    ） 7    24    39    54    61    66    73    82    82    82 87    91    95    8    98    102    102    108    114    120 A．该组数据的众数为102 B．该组数据的极差为112 C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的80%分位数为102 【答案】D 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据众数，极差，百分位数的定义即可判断. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列： 7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120， 对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误； 对于B，极差为，故B错误； 对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数，即，故C错误； 对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，即，故D正确. 故选：D. 11．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以.故选：D. 12．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.由条件知：，则，故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．若正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意正数满足，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值是，故答案为： 14．已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数图象经过的点求解出的值，然后可求. 【详解】由条件可知，所以，所以，所以，故答案为：. 15．计算： . 【答案】11 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】，故答案为：11. 16．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 【答案】 【分析】根据任意角三角函数公式得到，再利用两角差的正切公式即可求出答案. 【详解】因为角的终边过点，所以，.故答案为：. 17．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 【答案】1800 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得，解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 18．某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ． 血型 A B AB O 该血型的人占比 【答案】 0.7 0.91 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2. 【详解】由于小明是B型血，所以可以血型为O,B的可以给小明输血，故概率为， 小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为， 所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为，故答案为：0.7；0.91 三、解答题：本大题共4个大题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 19．在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 20．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以．从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则，令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 21．仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43． 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： (1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？ 【答案】(1)乙种玉米苗长得高(2)甲种玉米苗长得齐 【分析】（1）根据已知数据分别求甲乙的平均值，比较大小即得结论； （2）根据已知数据分别求甲乙的方差，比较大小即得结论. 【详解】（1）甲的平均值， 乙的平均值，，故乙种玉米苗长得高． （2）甲的方差， 乙的方差， ，故甲种玉米苗长得齐. 22．在三棱锥中，为的中点. (1)证明：⊥平面. (2)若，平面平面，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 又因为平面，所以⊥平面. （2）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，因为，所以均为等边三角形， 故，故，所以， 因为平面，平面，所以，由勾股定理得， 取的中点，连接， 在中，，故⊥， 故，， 设点到平面的距离为，所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $