8.3实数及其简单运算（同步练习作业设计、题型归纳、分类训练、综合提升） 2025-2026学年人教版七年级数学下册_
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摘要：
该初中数学作业设计方案聚焦“实数及其简单运算”，依据七年级学生认知特点，采用“知识点梳理+分类训练+拓展提升”模式。分类训练覆盖6大核心题型，拓展提升设置进阶题目，体现分层设计，满足不同学生需求。
通过多样化练习提升学习效果，题型2结合数轴考查实数对应培养几何直观，题型6设计实数运算题提升运算能力，拓展提升题如无理数整数部分探究发展抽象能力。作业评价注重基础巩固与思维进阶，助力学生形成数学眼光与理性思维。
内容正文：
人教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升）
8.3实数及其简单运算
知识点梳理:
1. 无限不循环小数叫作无理数，有理数、无理数统称实数；
2. 有理数的相反数、绝对值、大小比较、运算法则同样适用于实数.
分类训练
题型1实数概念的辨析
1.（24-25七年级下·北京·专题练习）判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)无限小数都是无理数．
(2)带根号的数都是无理数．
(3)实数不是有理数就是无理数．
【答案】(1)错误，理由：无限循环小数是有理数
(2)错误，理由：如是有理数
(3)正确，理由：实数由有理数和无理数组成
【分析】本题考查了无理数的定义，实数的定义，掌握实数的分类是解题的关键．有理数和无理数统称实数，无限不循环小数是无理数．根据定义对选项逐一判断即可．
【详解】（1）解：错误．理由：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如是无限循环小数，是有理数．
（2）解：错误．理由：带根号的数不一定都是无理数，如等，这些数开方后是整数，属于有理数．只有开方开不尽的带根号的数才是无理数．
（3）解：正确．理由：因为实数的定义就是有理数和无理数的统称，所以实数不是有理数就是无理数．
2．（24-25七年级下·山东·期末）在实数，，3.14，，中，有理数的个数是（ ）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了实数、有理数、算术平方根与立方根，熟练掌握实数的分类是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据实数的分类即可得．
【详解】解：，，都是无理数，
，，，，都是有理数，共有5个，
故选：A．
3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列实数中，属于无理数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，选项A、C、D都是有理数；选项B包含π，是无理数，据此解答即可．
【详解】解：A、0是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、3.142是有理数，不符合题意；
D、是分数，属于有理数，不符合题意；
故选：B．
4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在下列数中是无理数的是（ ）
A．0.010010001 B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的判断，
无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，选项A是有限小数，选项B和D可化为分数，均为有理数，选项C化简后含，是无理数．
【详解】解：A. 0.010010001是有限小数，是有理数；
B.，是分数，是有理数；
C.，是无限不循环小数，所以是无理数；
D. 0是整数，是有理数．
故选：C．
5．（24-25七年级下·广东佛山·月考）无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现．下列选项中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，逐步分析各选项是否满足无理数的定义即可．
【详解】选项A：，不是无限不循环小数，不是无理数，不符合题意要求；
选项B：∵不是完全立方数，∴是无限不循环小数，是无理数，符合题意要求；
选项C：是有限小数，不是无理数，不符合题意要求；
选项D：是有限小数，不是无理数，不符合题意要求；
故选B．
题型2实数与数轴上的点一一对应
6.（24-25七年级下·全国·期末）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先得出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值即可得出答案．
【详解】解：根据数轴上可知点：，
．，故该选项符合题意；
．，故该选项不符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
故选：A．
7．（24-25七年级下·广西北海·期末）如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【答案】C
【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键．先求出的取值范围，从而求出的取值范围，然后根据数轴即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
由数轴可知表示的点应落在线段上．
故选：C．
8.（24-25七年级下·江苏·期中）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，先求出圆周长，再确定点的位置表示的实数即可．
【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长，
点的位置表示的实数为，
故选：A．
9.（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ．
【答案】/
【分析】知识点：数轴两点间距离公式．方法：根据点的位置确定距离表达式，列等式求解．关键：正确判断距离的符号（大数减小数）．易错点：距离表达式符号错误（忽略的条件）．
首先用数轴距离公式表示和；再由列等式，解出a．
【详解】由数轴上两点间距离公式，（因），．
已知，故：
解得：
．
故答案为：．
10．（24-25七年级下·南通·月考）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；根据数轴上点的位置关系，点B在点A左边，且，因此点B表示的数为点A表示的数减去3，然后问题可求解．
【详解】解：点A表示的数为，即，由于点B在点A左边且，
故点B表示的数为；
故答案为．
题型3无理数的整数部分和小数部分
11.（24-25七年级下·河南·月考）已知a是的整数部分，那么a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了估算无理数的大小．
通过比较平方数确定的范围，从而得到整数部分．
【详解】解：因为，
，
所以的整数部分为3．
故答案为：3．
12．（24-25七年级下·江西·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．
先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算．
【详解】解：，即
的整数部分是，小数部分是，
，
故答案为：．
13．（24-25七年级下·浙江·月考）已知的小数部分是a，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，通过估算的取值范围，确定的整数部分，进而得到小数部分．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
因此整数部分为10，小数部分．
故答案为．
14．（24-25七年级下·山东·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分，
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)；；；
(2)．
【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可；
（2）把（1）所得x，y，z的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解.
【详解】（1）解：因为3是的平方根，
所以，
解得；
因为是的立方根，
所以；
因为，是的整数部分，
所以；
（2）解：因为，
所以的平方根为．
15.（24-25七年级下·河南·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：，而，
，
的整数部分是4，小数部分为，
故答案为：4，；
（2）解：，而，
，
的整数部分，小数部分为，
；
（3）解：，
，
又，其中x是整数，且，
，
，
故答案为：.
题型4实数的大小比较
16.（24-25七年级下·江苏·月考）比较大小：3 （用“”或“”填空）．
【答案】
<
【分析】本题主要考查了无理数的比较大小，通过比较平方根的大小，由于14大于9，根据平方根的性质，大于即3，因此3小于．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算，由题意得到是解题的关键．
由题意可得，进而得到，再结合即可解答．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵，
∴另一端点E将落在线段上．
故选：D．
18．（24-25七年级下·广东·月考）下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴与的值最接近的整数是7．
故选：A．
19.（24-25七年级下·福建·期中）若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
先找到，取值范围，进而可求的最大值即可．
【详解】解：∵，即；
，即，
又，均为正整数，且要使最大，
最大取3，最大取2，
的最大值是5，
故选：B．
20．（24-25七年级下·浙江·期中）将下列各数表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接．
；；；0；
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，算术平方根，立方根，实数与数轴，掌握实数的大小比较方法，立方根的定义，绝对值的定义，算术平方根的定义是解题的关键．
先利用绝对值的定义，立方根的定义进行计算，然后把各数在数轴上表示出来，最后用“<”把各数连接起来即可．
【详解】解：，，
把各数在数轴上表示为：
按从小到大的顺序用“<”连接为：
题型5实数的相反数、绝对值
21．（24-25七年级下·黑龙江·月考）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：的相反数为，
22．（24-25七年级下·山西·期中）的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正数的绝对值等于本身解答即可．
本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵是正数，
∴的绝对值是，
故选：C．
23．（24-25七年级下·河北·期中）下列各组数中互为相反数的是()
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数．
【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数．
B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数．
C：∵=，∵=．∴与互为相反数，
D：∵，∴不互为相反数．
故选：C．
24．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B．
(1)点B表示的数为 ；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性．
（1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可；
（2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案．
【详解】（1）解：设点B表示的数为x，
∵点A表示的数为，，
，
∴点B表示的数是，
故答案为：；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
，
∴，，
解得：，，
∴
，
∴的平方根是．
25.（24-25七年级下·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示．
(1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0；
(2)化简：．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键；
（1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成；
（2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可．
【详解】（1）解：由数轴知：，且，
则，
∴，，
故答案为：；；；
（2）解：∵，，
．
题型6实数的运算
26.（24-25七年级下·陕西榆林·月考）下面运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握实数的运算法则，算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、，原计算正确，故本选项符合题意；
故选：D．
27．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据算术平方根的定义和实数的运算法则判断即可．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、与，不能合并，原计算错误，故不符合题意；
故选：A．
28．（24-25七年级下·重庆永川·期中）计算：
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根、算术平方根．
（1）分别计算绝对值、算术平方根，有理数的乘法，再计算加减；
（2）分别计算有理数的乘方、立方根、算术平方根，绝对值，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
29．（24-25七年级下·江苏·月考）（1）计算：．
（2）求式中的值：．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，利用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则．
（1）根据算术平方根定义，乘方运算法则，绝对值意义进行求解即可；
（2）利用平方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
开平方得：，
解得：或．
30．（24-25七年级下·黑龙江·月考）先观察下列各式4；
(1)计算：
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)6
(2)
(3)52
【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于．
（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案；
（2）利用以上所得规律可得；
（3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得
【详解】（1）解：，
故答案为：6；
（2），
故答案为：；
（3）
．
拓展提升
1．（24-25七年级下·重庆·月考）以下是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的识别，掌握有理数的定义是解决本题的关键．
整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
【详解】解：A：是无理数，不符合题意；
B：是无理数，不符合题意；
C：是分数也是有理数，符合题意；
D：中是无理数，则也是无理数，不符合题意．
故选C．
2．（24-25七年级下·山东·月考）在，，，，，，，这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了无理数，实数的分类，解题关键是掌握实数的分类．
根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数．
【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，
∴是有限小数，是有理数；
是无理数；
是无理数；
是无理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是有限小数，是有理数；
是分数，是有理数．
∴无理数有，，，，共4个，
故选：D．
3.（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解．
【详解】解： ∵，
∴ ，
∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B．
故选：B．
4.（24-25七年级下·广东·月考）下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴与的值最接近的整数是7．
故选：A．
5．（24-25七年级下·四川·期中）的值在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，据此可求出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．（24-25七年级下·全国·周测）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握立方根、平方根的取值范围判断方法是解题的关键．
先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域．
【详解】解：A、，对应点在2的位置，不在之间，不符合题意；
B、，对应点在之间，不符合题意；
C、，且，对应点在之间，不符合题意；
D、， 对应点在之间，符合题意．
故选：D．
7.（24-25七年级下·陕西·月考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的性质．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，即可求解．
【详解】解：的相反数是
故选：A．
8．（24-25七年级下·上海·月考）在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性.
本题考查实数的性质，立方根的意义.
【详解】解：∵ 选项A：若，则或，
∴ A错误.
∵ 选项B：若，如但，
∴ B错误.
∵ 选项C：若，则或，
∴ C错误.
∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一，
∴ D正确.
故选：D
9.（24-25七年级下·上海·月考）绝对值不大于的所有整数是 ．
【答案】，，1， 0， 1， 2
【分析】根据绝对值的意义，找出所有整数满足绝对值不大于 ，需计算 的近似值以确定整数范围．
本题考查了无理数的估算，绝对值，不等式的性质，熟练掌握估算是解题的关键．
【详解】解：由得，
故，
故；
由于即，
故的整数部分为为2，
故绝对值不大于的整数为绝对值小于或等于2的整数，即，
故答案为：．
10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若，是两个连续整数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
通过估算的范围，确定连续整数和的值．
【详解】，
，即，
，
和是两个连续整数，且，
，，
．
故答案是：．
11.（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论．
【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15，
∴甲的右端与数轴上表示的点重合，
∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13，
∴乙的左端与数轴上表示的点重合，
∴纸条重叠部分的长度为，
故答案为：．
12．（24-25七年级下·全国·专题练习）计算：；
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先开方，化简绝对值，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
13.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算．
先计算乘方、算术平方根、绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式．
14．（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值，算术平方根，立方根，有理数的乘方进行计算．
【详解】解：
．
15．（24-25七年级下·浙江·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查实数、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式运用乘法分配律进行计算即可；
（2）原式先计算乘方，立方根与算术平方根，然后计算除法，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
16．（24-25七年级下·山东·月考）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（）先依据绝对值性质去绝对值符号，再计算乘方与乘法运算，最后通过有理数加减运算化简得出结果；
（）先分别计算算术平方根和立方根，再将结果代入原式进行有理数加减运算，得到最终含无理数的化简结果．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
17．（24-25七年级下·江苏·期中）计算
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）首先化去带根号的部分，然后进行实数的加减法运算即可；
（2）首先化去带根号的部分，去掉绝对值符号，有理数的乘方，然后进行实数的加减法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)10
(2)5
【分析】（1）（2）先分别计算每道题中的绝对值、乘方、算术平方根，再按照四则运算的顺序进行计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，掌握先算绝对值、乘方、开方，再算乘除，最后算加减的运算顺序是解题的关键．
19.（24-25七年级下·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B．
(1)点B表示的数为______；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)的算术平方根是3．
【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数；
（2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B，
∴点B表示的数为，
故答案为：；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，，
∴，，
∴的算术平方根是，
即的算术平方根是3．
【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
20.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③；
……
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式；
(2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）；
(3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．
（1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子；
（2）利用上述规律可知即可求值；
（3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式
【详解】（1）解：①；
②；
③；
……
可得第6个等式为：
（2）解：
；
（3）解：用（为正整数）表示的等式为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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人教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升）
8.3实数及其简单运算
知识点梳理：
1. 无限不循环小数叫作无理数，有理数、无理数统称实数；
2. 有理数的相反数、绝对值、大小比较、运算法则同样适用于实数。
分类训练
题型1实数概念的辨析
1.（24-25七年级下·北京·专题练习）判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）无限小数都是无理数。
（2）带根号的数都是无理数。
（3）实数不是有理数就是无理数。
2.（24-25七年级下·山东·期末）在实数，，3.14，，中，有理数的个数是（ ）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列实数中，属于无理数的是（ ）．
A． B． C． D．
4.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在下列数中是无理数的是（ ）
A．0.010010001 B． C． D．0
5.（24-25七年级下·广东佛山·月考）无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现。下列选项中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
题型2实数与数轴上的点一一对应
6.（24-25七年级下·全国·期末）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
7.（24-25七年级下·广西北海·期末）如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
8.（24-25七年级下·江苏·期中）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9.（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ．
10.（24-25七年级下·南通·月考）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ．
题型3无理数的整数部分和小数部分
11.（24-25七年级下·河南·月考）已知a是的整数部分，那么a的值为 ．
12.（24-25七年级下·江西·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是 ．
13.（24-25七年级下·浙江·月考）已知的小数部分是a，则 ．
14.（24-25七年级下·山东·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分，
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
15.（24-25七年级下·河南·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
【解决问题】
（1）的整数部分是______，小数部分是______；
（2），n分别是的整数部分和小数部分，求的值；
（3）若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）。
题型4实数的大小比较
16.（24-25七年级下·江苏·月考）比较大小：3 （用“”或“”填空）．
17.（24-25七年级下·浙江·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（ ）
A． B． C． D．
18.（24-25七年级下·广东·月考）下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
19.（24-25七年级下·福建·期中）若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
20.（24-25七年级下·浙江·期中）将下列各数表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接．
；；；0;
题型5实数的相反数、绝对值
21.（24-25七年级下·黑龙江·月考）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
22.（24-25七年级下·山西·期中）的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
23.（24-25七年级下·河北·期中）下列各组数中互为相反数的是（）
A．与 B．与
C．与 D．与
24.（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B．
（1）点B表示的数为 ；
（2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
25.（24-25七年级下·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示．
（1）用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0；
（2）化简：．
题型6实数的运算
26.（24-25七年级下·陕西榆林·月考）下面运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
27.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28.（24-25七年级下·重庆永川·期中）计算：
（1）计算：；
（2）计算：．
29.（24-25七年级下·江苏·月考）（1）计算：．
（2）求式中的值：．
30.（24-25七年级下·黑龙江·月考）先观察下列各式4；
（1）计算：
（2）已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
（3）应用上述结论，请计算的值．
拓展提升
1.（24-25七年级下·重庆·月考）以下是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25七年级下·山东·月考）在，，，，，，，这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
3.（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4.（24-25七年级下·广东·月考）下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5.（24-25七年级下·四川·期中）的值在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
6.（24-25七年级下·全国·周测）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
7.（24-25七年级下·陕西·月考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
8.（24-25七年级下·上海·月考）在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9.（24-25七年级下·上海·月考）绝对值不大于的所有整数是 ．
10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若，是两个连续整数，且，则 ．
11.（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ．
12．（24-25七年级下·全国·专题练习）计算：；
13.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）计算：．
14．（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：．
15．（24-25七年级下·浙江·期末）计算：
(1)；
(2)．
16．（24-25七年级下·山东·月考）计算：
(1)；
(2)．
17．（24-25七年级下·江苏·期中）计算
(1)．
(2)．
18．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
19.（24-25七年级下·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B．
(1)点B表示的数为______；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根．
20.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③；
……
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式；
(2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）；
(3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式．
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