8.1平方根（知识梳理、题型归纳、例题讲解、过关检测）2025-2026学年人教版七年级数学下册

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理平方根的定义、符号记法、开平方运算及性质，衔接算术平方根的定义、双重非负性等内容，构建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料通过“夹逼法”探究无理数培养抽象能力，例题与变式题设计层层递进提升运算与推理意识，结合正方形贺卡放置等实际问题强化应用意识。课中辅助教师授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

人教版（新教材）七年级数学下册（知识梳理、题型概括、例题讲解、变式训练、过关练习） 8.1平方根 知识导航 相关题型概括 平方根 理解平方根的定义，求一个数的平方根 理解开平方运算，利用开平方解简单的二次方程 理解平方根的性质，负数没有平方根 算术平方根 理解算术平方根的定义，会求一个数的算术平方根 初探性质，化简、 探求平方根的规律，用计算器求一个数的平方根 求平方根的近似值及大小范围 比较两个实数的大小 知识点讲解 一、平方根 1.平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根. 2.平方根的符号记法 一个正数 a有两个平方根，记作：，其中叫作a的正的平方根，“” ，叫作a的负的平方根； 3.开方运算 求一个数的平方根的运算，叫作开平方运算。平方运算和开平方运算是互逆关系。 4.求一个数的平方根 比如：求16的平方根：因为，所以16的平方根是4. 易错题：因为，所以16的平方根是4. 总结：（1）正数有2个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是0； （3）负数没有平方根. 负数没有平方根。所以 有意义的条件是a 2、 算术平方根 5.算术平方根的定义 正数a有两个平方根，其中正的平方根又叫作a的算术平方根，正数a的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是0；0的算术平方根也记为. 易错题：=（╳），的算术平方根是4（╳）. 因为表示16的算术平方根，所以=4；的算术平方根就是4的算术平方根即2. 6.初探的性质 ①双重非负性 ②运算性质 =a(a>0),=a(a>0) 易错题：=（ ╳ ）因为=，所以=. ③的增减性 被开方数越大，对应的算术平方根也就越大.因此可以判断的大小范围. 如：因为，所以 ④近似值的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的. 7.比较两个实数的大小 如比较： ____2.24； 因为 ，所以<2.24； 8.用“夹逼法”求的范围，初识“无理数” 如：用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 dm²的大正方形。这个大正方形的边长是多少？ 如图8.1-2，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到右边一个面积为2dm2的大正方形. 设大正方形的边长为x dm，则x2=2 由边长不能为负数，可知 x= 所以大正方形的边长是dm. 介于 1 和 2 之间，那么它更接近 1 还是 2？ 计算 1.4²=1.96，1.5²=2.25，∵1.96<2<2.25，∴1.4<<1.5； 介于 1.4 和1.5之间，那么它更接近 1.4 还是1.5？ …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。事实上，=1.414213562373…它是一个无限不循环小数。 实际上，很多正有理数的算术平方根（例如等）都是无限不循环小数. 例题讲解 题型1求一个数的平方根 例1（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)64; (2)121; (3); (4) 解（1）因为（8）²=64，所以64的平方根是8，即=8. （2）因为11²=121，所以121的平方根是11，即=11. （3）因为（）²=，所以的平方根是，即=. （4）因为=，所以的平方根是，即=. 变式1（25-26八年级上·四川眉山·期中）的平方根是，用式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 直接由平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：的平方根是， 用式子表示正确的是， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·河南开封·期中）若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 题型2求一个数的算术平方根 例2（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先算乘方，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （4）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：， ∵， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴的算术平方根为； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根为4． （4）解：， ∵， ∴的算术平方根为． 变式1.（25-26八年级上·河北邢台·期中）式子表示的意义是（   ） A．9的平方根是3 B．3的算术平方根是9 C．3的平方根是9 D．9的算术平方根是3 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握“表示非负数的算术平方根”是解题的关键． 先明确算术平方根的定义，再结合选项判断式子的意义． 【详解】解：对于，∵且， ∴表示9的算术平方根是3， 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：表示25的算术平方根． 故选：B． 题型3开平方运算 例3（25-26八年级上·吉林长春·月考）求的值： 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程；直接利用平方根的定义得出，进而求得的值． 【详解】解：， ∴． 解得：或． 变式1（24-25七年级下·四川泸州·期中）求下列式子中的值：． 【答案】或． 【分析】本题考查了利用平方根解简单方程，熟记定义是解答本题的关键． 先两边都除以4，再根据平方根的定义进行求解； 【详解】解：两边都除以4，得 ， 两边都除以4得，， 由平方根的定义得，， 即或． 变式2（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 题型4利用平方根的性质计算 例4（24-25八年级上·全国·课后作业）在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________;②___________;③___________． (2)①___________;②___________;③___________． （3）你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的概念． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）①；②；③． 故答案为：； (2)①；②；③． 故答案为：； （3），理由： 由算术平方根的定义，可知是的算术平方根，则． 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于，记作．因此，由定义可知． 变式1（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 变式2（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： （1）完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． （2）根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 题型5利用算术平方根的非负性解题 例5（25-26七年级下·湖北黄石·期中）若m，n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，平方根． 根据非负数的性质求出m和n的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 所以的平方根是． 故答案为：． 变式1（25-26七年级下·甘肃甘南·期末）若与 互为相反数，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查相反数的性质、非负数的性质、代数式求值，先根据相反数的性质，结合绝对值和算术平方根的非负性求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ，， 则． 故答案为：3 变式2（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 题型6探求平方根的规律 例6（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 变式1（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 变式2（25-26七年级下·山东日照·月考），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 题型7探求平方根的大小范围 例7（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 变式1（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 变式2（24-25七年级下·河南商丘·月考）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解。 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 题型8比较两个数的大小 例8（1） 与 2； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：（1）因为 是5的算术平方根；2是4的算术平方根 所以 >2； （2） 因为 >2 所以 -1>2-1，即-1 >1 所以 >0.5 （3） 因为<3 所以-1<2 所以 <1 变式1（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ， 比较接近整数5， 故选：C． 变式2（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及求代数式的值，求得、的值是解题的关键．依据被开放数越大对应的算术平方根越大，可求得、的值，然后再利用有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，是两个连续整数，若， ∴，， ∴． 故选：C． 过关练习 1.（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键。 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 2.（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 3.（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 4.（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 6.（24-25八年级上·江西九江·月考）若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵面积为20的正方形的边长为a， ∴， ∴（舍负）， ∵， ∴， ∴a的值在4和5之间， 故选：B． 7.（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义。注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 8.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9.（25-26八年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，从而求出x和y的值． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 10.（25-26七年级下·四川·月考） ， ， ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了求平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答． 【详解】解：． 故答案为：． 11.（25-26七年级下·江苏·月考）方程的解是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，通过移项将方程化为，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴ 或 ， 即或， 故答案为：或． 12.（23-24七年级下·江西赣州·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根，代数式求值，根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：1． 13.（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 14．（2025七年级下·天津·专题练习）求下列各数的平方根： (1)4 (2) (3)0.01 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据平方根的定义计算即可．如果一个数的平方等于，这个数就叫作的平方根，也叫作的二次方根． 【详解】（1）解： 的平方根为； （2）解：， 的平方根为； （3）解：， 的平方根为． 15.（23-24七年级下·吉林白城·月考）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的意义得出，根据算术平方根的意义得出，，继而得出，的值，再代入进行计算，即可得解．掌握平方根与算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 16.（2024七年级下·广东佛山·竞赛）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) (3)当时，；当或时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； （3）根据表格作答即可． 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； （3）解：由表格可知，当时，；当或时，；当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（新教材）七年级数学下册（知识梳理、题型概括、例题讲解、变式训练、过关练习） 8.1平方根 知识导航 相关题型概括 平方根 理解平方根的定义，求一个数的平方根 理解开平方运算，利用开平方解简单的二次方程 理解平方根的性质，负数没有平方根 算术平方根 理解算术平方根的定义，会求一个数的算术平方根 初探性质，化简、 探求平方根的规律，用计算器求一个数的平方根 求平方根的近似值及大小范围 比较两个实数的大小 知识点讲解 一、平方根 1.平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根. 2.平方根的符号记法 一个正数 a 有两个平方根，记作：，其中叫作a的正的平方根，“” ，叫作a的负的平方根； 3.开方运算 求一个数的平方根的运算，叫作开平方运算。平方运算和开平方运算是互逆关系。 4.求一个数的平方根 比如：求16的平方根：因为，所以16的平方根是4. 易错题：因为，所以16的平方根是4. 总结：（1）正数有2个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是0； （3）负数没有平方根. 负数没有平方根。所以 有意义的条件是a 2、 算术平方根 5.算术平方根的定义 正数a有两个平方根，其中正的平方根又叫作a的算术平方根，正数a的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是0；0的算术平方根也记为. 易错题：=（╳），的算术平方根是4（╳）. 因为表示16的算术平方根，所以=4；的算术平方根就是4的算术平方根即2. 6.初探的性质 ①双重非负性 ②运算性质 易错题：=（ ╳ ）因为=，所以=. ③的增减性 被开方数越大，对应的算术平方根也就越大.因此可以判断的大小范围. 如：因为，所以 ④近似值的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的. 7.比较两个实数的大小 如比较： ____2.24； 因为 ，所以<2.24； 8.用“夹逼法”求的范围，初识“无理数” 如：用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 dm²的大正方形。这个大正方形的边长是多少？ 如图8.1-2，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到右边一个面积为2dm2的大正方形. 设大正方形的边长为x dm，则x2=2 由边长不能为负数，可知 x= 所以大正方形的边长是dm. 介于 1 和 2 之间，那么它更接近 1 还是 2？ 计算 1.4²=1.96，1.5²=2.25，∵1.96<2<2.25，∴1.4<<1.5； 介于 1.4 和1.5之间，那么它更接近 1.4 还是1.5？ …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。事实上，=1.414213562373…它是一个无限不循环小数。 实际上，很多正有理数的算术平方根（例如等）都是无限不循环小数. 例题讲解 题型1求一个数的平方根 例1（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)64; (2)121; (3); (4) 变式1（25-26八年级上·四川眉山·期中）的平方根是，用式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·河南开封·期中）若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D．4或 题型2求一个数的算术平方根 例2（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 变式1.（25-26八年级上·河北邢台·期中）式子表示的意义是（   ） A．9的平方根是3 B．3的算术平方根是9 C．3的平方根是9 D．9的算术平方根是3 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 题型3开平方运算 例3（25-26八年级上·吉林长春·月考）求的值： 变式1（24-25七年级下·四川泸州·期中）求下列式子中的值：． 变式2（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 ． 题型4利用平方根的性质计算 例4（24-25八年级上·全国·课后作业）在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________;②___________;③___________． (2)①___________;②___________;③___________． （3）你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 变式1（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 变式2（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： （1）完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． （2）根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 题型5利用算术平方根的非负性解题 例5（25-26七年级下·湖北黄石·期中）若m，n满足，则的平方根是 ． 变式1（25-26七年级下·甘肃甘南·期末）若与 互为相反数，那么 ． 变式2（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 题型6探求平方根的规律 例6（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 变式1（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知，，那么 . 变式2（25-26七年级下·山东日照·月考），则 ． 题型7探求平方根的大小范围 例7（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 变式1（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 变式2（24-25七年级下·河南商丘·月考）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 题型8比较两个数的大小 例8（1） 与 2； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 变式1（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 过关练习 1.（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 2.（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 3.（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 6.（24-25八年级上·江西九江·月考）若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7.（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 8.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ． 9.（25-26八年级上·上海·期中）已知，则 ． 10.（25-26七年级下·四川·月考） ， ， ． 11.（25-26七年级下·江苏·月考）方程的解是 ． 12.（23-24七年级下·江西赣州·期末）若，则 ． 13.（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 14．（2025七年级下·天津·专题练习）求下列各数的平方根： (1)4 (2) (3)0.01 15.（23-24七年级下·吉林白城·月考）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 16.（2024七年级下·广东佛山·竞赛）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $