8.1平方根（同步练习作业设计、题型归纳、分类训练、综合提升） 2025-2026学年人教版 七年级数学下册

人教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 8.1平方根 目标导航: 1.理解平方根、算术平方根的定义，会求一个数的平方根、算术平方根； 2.会用计算器求一个数平方根的近似值，会估算一个的平方根的大小范围. 分类训练 题型1求一个数的平方根 1.（25-26八年级上·四川眉山·期中）的平方根是，用式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 直接由平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：的平方根是， 用式子表示正确的是， 故选：B． 2.（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)64; (2)121; (3); (4) 解（1）因为（8）²=64,所以64的平方根是8,即=8. （2）因为11²=121,所以121的平方根是11,即=11. （3）因为（）²=,所以的平方根是,即=. （4）因为=,所以的平方根是,即=. 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． (1)81；(2)1.96；(3)30；(4)；(5)；(6)． 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键； （1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴81的平方根为； （2）∵， ∴1.96的平方根为； （3）∵， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）， ∵， ∴的平方根为． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 5.（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1），225的平方根是．用式子表示为； （2），的平方根是．用式子表示为； （3），的平方根是，用式子表示为； （4），的平方根是，用式子表示为 题型2求一个数的算术平方根 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先算乘方，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （4）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：， ∵， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴的算术平方根为； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根为4． （4）解：， ∵， ∴的算术平方根为． 7.（25-26八年级上·河北邢台·期中）式子表示的意义是（   ） A．9的平方根是3 B．3的算术平方根是9 C．3的平方根是9 D．9的算术平方根是3 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握“表示非负数的算术平方根”是解题的关键． 先明确算术平方根的定义，再结合选项判断式子的意义． 【详解】解：对于，∵且， ∴表示9的算术平方根是3， 故选：D． 8.（25-26八年级上·全国·课后作业）所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：表示25的算术平方根． 故选：B． 9.（2025·江苏南京·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10.（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 题型3开平方运算 11.（25-26八年级上·吉林长春·月考）求的值： 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程；直接利用平方根的定义得出，进而求得的值． 【详解】解：， ∴． 解得：或． 12.（24-25七年级下·四川泸州·期中）求下列式子中的值：． 【答案】或． 【分析】本题考查了利用平方根解简单方程，熟记定义是解答本题的关键． 先两边都除以4，再根据平方根的定义进行求解； 【详解】解：两边都除以4，得 ， 两边都除以4得，， 由平方根的定义得，， 即或． 13.（24-25七年级下·江苏·月考）方程的解是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，通过移项将方程化为，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴ 或 ， 即或， 故答案为：或． 14.（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 15.（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 题型4利用平方根的性质计算 16.求的平方根； 【详解】； 17.求的平方根； 【详解】∵， ∴的平方根是； 18.（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 19.（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 20.（24-25八年级上·全国·课后作业）在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的概念． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）①；②；③． 故答案为：； （2）①；②；③． 故答案为：； （3），理由： 由算术平方根的定义，可知是的算术平方根，则． 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于，记作．因此，由定义可知． 题型5利用算术平方根的非负性解题 21.（23-24七年级下·湖北黄石·期中）若m，n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，平方根． 根据非负数的性质求出m和n的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 所以的平方根是． 故答案为：． 22.（23-24七年级下·甘肃甘南·期末）若与 互为相反数，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查相反数的性质、非负数的性质、代数式求值，先根据相反数的性质，结合绝对值和算术平方根的非负性求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ，， 则． 故答案为：3 23.（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 24.（23-24七年级下·山东德州·月考）已知与互为相反数． (1)求的平方根； (2)解关于x的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程，解题关键是根据非负数的性质，求出a、b的值． （1）根据非负数的性质求出，再求出，再根据平方根定义求出结果即可； （2）把代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 解得： ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． （2）解：， ， ． 25.（23-24七年级下·江西赣州·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根，代数式求值，根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：1． 题型6探求平方根的规律 26.（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 27.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 28.（24-25七年级下·山东日照·月考），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 29.（2024七年级下·广东佛山·竞赛）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； 30．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 题型7探求平方根的大小范围 31.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 32.（24-25七年级下·河南商丘·月考）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 33．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ， 比较接近整数5， 故选：C． 34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 35．（24-25八年级上·江西九江·月考）若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵面积为20的正方形的边长为a， ∴， ∴（舍负）， ∵， ∴， ∴a的值在4和5之间， 故选：B． 题型8比较两个数的大小 36.（1） 与 2； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：（1）因为 是5的算术平方根；2是4的算术平方根 所以 >2； （2） 因为 >2 所以 -1>2-1，即-1 >1 所以 >0.5 （3） 因为<3 所以-1<2 所以 <1 37．（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：3 （填写“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 38．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查比较实数的大小，先比较与5的大小，进而即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：＞． 39．（25-26八年级上·广东佛山·期中）比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 利用夹逼法估算无理数的取值范围，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故答案为：． 40.（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及求代数式的值，求得、的值是解题的关键．依据被开放数越大对应的算术平方根越大，可求得、的值，然后再利用有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，是两个连续整数，若， ∴，， ∴． 故选：C． 拓展提升 1．（24-25七年级下·江西·月考）6的算术平方根是（   ） A． B． C．36 D．±36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：6的算术平方根是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南·月考）平方根等于本身的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】直接利用平方根可得答案． 【详解】解：没有平方根，故选项A，D不符合题意； 0有平方根是0，故选项B符合题意； 1有平方根是，故选项C不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根是解题关键． 3．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的剪拼算术平方根的应用，求出阴影部分面积是解题的关键．先计算阴影部分的面积，也就是新组成的四边形的面积，根据面积就可求得新正方形的边长． 【详解】解：新正方形的面积为 ∴新正方形的边长是 故选：C． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）算术平方根等于它本身的数是 ． 【答案】0和1 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为非负数，由此即可解决问题． 【详解】解：∵1的算术平方根为1，0的算术平方根为0， ∴算术平方根等于它本身的数是1和0， 故答案为：1和0． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义和性质，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键． 7.（23-24七年级下·全国·课后作业）实数，满足，则的算术平方根等于 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，求代数式的值，解题的关键是根据算术平方根的非负性得到，，继而得出、的值，然后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·四川·期中）请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律，即可求解． 【详解】解：由题意得 规律为：， ， ， 故答案为：，． 三、解答题 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 【详解】（1）解：∵， 的算术平方根是； （2）解：∵， 的算术平方根是； （3）解：∵， 的算术平方根是 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，求代数式的值，解题的关键是根据算术平方根的定义得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：， 又∵是的算术平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）一块长方形空地面积为555平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的长和宽； (2)在空地内修建“T字型”通道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为，花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为486平方米．请问宽度为2.49米的洒水车能不能在两个花坛之间的纵向通道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的长为米，宽为米 (2)宽度为2.49米的洒水车能在两个花坛之间的通道上正常通行，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握长方形的面积公式，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）这块长方形的长为米，则宽为米，根据面积公式列出方程进行求解即可； （2）设花坛1的边长为米，则花坛2的长为米，宽为米，根据花坛的面积列出方程求出的值，比较长方形空地的长与正方形花坛的边长，长方形花坛的宽和洒水车的宽的和的大小关系即可． 【详解】（1）长方形空地长宽之比为， 设这块长方形的长为米，则宽为米， 由题意得，，解得：， ，， 答：这块长方形空地的长为米，宽为米． （2）设花坛1的边长为米，则花坛2的长为米，宽为米， 由题意得，，解得：， 花坛1的边长为米，花坛2的宽为米， ， ， ， ． 宽度为2.49米的洒水车能在两个花坛之间的通道上正常通行． 13．（24-25七年级下·河南焦作·期中）李大爷有一块长方形的菜地（如图），其中长比宽多，长方形菜地的周长是． (1)求长方形菜地的长和宽； (2)李大爷想沿着边的方向，将这块长方形菜地分出一块长与宽的比为，面积为的新长方形区域作为他用．试判断李大爷能否成功，并说明理由． 【答案】(1)长方形菜地的长为，宽为 (2)李大爷不能成功，见解析 【分析】本题考查实数的大小比较，一元一次方程的实际应用．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设，根据长比宽多，长方形菜地的周长是，列出方程进行求解即可； （2）设新长方形区域的长为，宽为，根据面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则． 依题意得． 解得． ． 答：长方形菜地的长为，宽为． （2）解：李大爷不能成功．理由如下： 设新长方形区域的长为，宽为， 依题意得， （负值舍去）． 则新长方形区域的长为，宽为． ， 李大爷不能成功． 14．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”． (1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值； (3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明． 【答案】(1)三个数是“最美组合数”，理由见解析 (2)或者 (3)，，，，，；推理见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“最美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）先由算术平方根为18推出这两个数乘积为，再分三种情况讨论：分别是与乘积为324、与乘积为324、与乘积为324（此情况不成立舍去），进而求出m的值再根据“最美组合数”的定义进行判断即可． （3）依据“最美组合数”两种构成形式，代入正整数确定具体数字，再通过计算两两乘积算术平方根验证，说明其符合定义． 【详解】（1）解：因为，，，， 所以，以上三个数是“最美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为18， ∴这两个数的乘积为324， 当时，，，此时，，符合； 当时，，，此时，，符合； 当时，不成立，舍去． 所以或． （3）情况一：每个数的绝对值都是完全平方数（形式为，a，b，c是正整数） 例子：，， 推理说明：设，，，三个数表示为，，． 计算两两乘积的算术平方根：；；，结果都是整数，符合“最美组合数”定义． 情况二：三个数的绝对值不是完全平方数，但它们乘积的算术平方根是整数（形式为，a，b，c，k是正整数） 例子：，， 推理说明：可变形为，，，即，，，，三个数表示为，，． 计算两两乘积的算术平方根：，而根据形式计算，这里；，形式计算为；，形式计算为，结果都是整数，符合“最美组合数”定义． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 8.1平方根 目标导航: 1.理解平方根、算术平方根的定义，会求一个数的平方根、算术平方根； 2.会用计算器求一个数平方根的近似值，会估算一个的平方根的大小范围. 分类训练 题型1求一个数的平方根 1.（25-26八年级上·四川眉山·期中）的平方根是，用式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)64; (2)121; (3); (4) 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． (1)81；(2)1.96；(3)30；(4)；(5)；(6)． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 5.（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)；(2)；(3)；(4) 题型2求一个数的算术平方根 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 7.（25-26八年级上·河北邢台·期中）式子表示的意义是（   ） A．9的平方根是3 B．3的算术平方根是9 C．3的平方根是9 D．9的算术平方根是3 8.（25-26八年级上·全国·课后作业）所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 9.（2025·江苏南京·一模）计算： ． 10.（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 题型3开平方运算 11.（25-26八年级上·吉林长春·月考）求的值： 12.（24-25七年级下·四川泸州·期中）求下列式子中的值：． 13.（24-25七年级下·江苏·月考）方程的解是 ． 14.（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 ． 15.（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 题型4利用平方根的性质计算 16.求的平方根； 17.求的平方根； 18.（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 19.（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 20.（24-25八年级上·全国·课后作业）在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 题型5利用算术平方根的非负性解题 21.（23-24七年级下·湖北黄石·期中）若m，n满足，则的平方根是 ． 22.（23-24七年级下·甘肃甘南·期末）若与 互为相反数，那么 ． 23.（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 24.（23-24七年级下·山东德州·月考）已知与互为相反数． (1)求的平方根； (2)解关于x的方程． 25.（23-24七年级下·江西赣州·期末）若，则 ． 题型6探求平方根的规律 26.（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 27.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知，，那么 . 28.（24-25七年级下·山东日照·月考），则 ． 29.（2024七年级下·广东佛山·竞赛）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 30．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 题型7探求平方根的大小范围 31.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 32.（24-25七年级下·河南商丘·月考）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 33．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 35．（24-25八年级上·江西九江·月考）若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 题型8比较两个数的大小 36.（1） 与 2； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 37．（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：3 （填写“”或“”）． 38．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 39．（25-26八年级上·广东佛山·期中）比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 40.（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 拓展提升 1．（24-25七年级下·江西·月考）6的算术平方根是（   ） A． B． C．36 D．±36 2．（24-25七年级下·湖南·月考）平方根等于本身的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）算术平方根等于它本身的数是 ． 7.（23-24七年级下·全国·课后作业）实数，满足，则的算术平方根等于 ． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 9．（25-26八年级上·四川·期中）请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 三、解答题 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，是的算术平方根，求的值． 12．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）一块长方形空地面积为555平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的长和宽； (2)在空地内修建“T字型”通道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为，花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为486平方米．请问宽度为2.49米的洒水车能不能在两个花坛之间的纵向通道上正常通行？ 13．（24-25七年级下·河南焦作·期中）李大爷有一块长方形的菜地（如图），其中长比宽多，长方形菜地的周长是． (1)求长方形菜地的长和宽； (2)李大爷想沿着边的方向，将这块长方形菜地分出一块长与宽的比为，面积为的新长方形区域作为他用．试判断李大爷能否成功，并说明理由． 14．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”． (1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值； (3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $