3.4 圆周角和圆心角的关系（八大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.4圆周角和圆心角的关系 题型一求圆弧的度数 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分 别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28° B.60° C.55° D.40 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角 的定义；先求出∠B,再根据等腰三角形的性质求出LBCD,∠BCD即为弧BD的 度数，即可得解 【详解】解：∠ACB=90°，∠A=20°， .∠B=90°-∠A=70°， :CB=CD, LCDB=LB=70°， .∠BCD=180°-70°-70°=40°， :弧BD的度数为40°， 故选：D. 2.如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=BC=DA,AD、BC的延长线交于点P, 且∠P=40°，则弧CD的度数为 A D 【答案】30°/30度 【分析】连接BD,根据AB=BC=DA得到B=BC=AD,得到 ∠ABD=∠ADB=LBAC,根据三角形的内角和列式计算即可. 1 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角 定理是解题的关键， 【详解】解：连接BD、AC, A ○ P:AB=BC=AD B .AB=BC=AD, :∠ABD=∠ADB=∠BAC=∠ACB, :LADB=∠DBP+LP=∠DBP+40°，∠ABC+LACB+∠BAC=180°， :∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°=180°， 解得，∠DBP=15°， CD的度数为30°， 故答案为：30°. 3.如图，在ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D, 交AC于点E. B (1)若LA=20°，求BD的度数， (2)若BC=5,AC=12,求BD的长 【答案】(1)40° @碧 【分析】(1)连接CD,先求出∠B的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形 内角和定理求出LBCD的度数，即可得出答案； (2)过点C作CH⊥BD于点H,根据垂径定理得到BH=DH,再利用勾股定 理计算出AB,接着利用等面积法计算出CH,然后利用勾股定理计算出BH,从 2 而得到BD的长 【详解】(1)解：连接CD, B D :∠A=20°，∠C=90°， E LB=70°， CB=CD ∠B=∠CDB=70°， ∠BCD=180°-∠B-∠CDB=40°， .BD的度数为40°： (2)解：过点C作CH⊥BD于点H,则BH=DH, 在RtAABC中，BC=5,AC=12, AB=VBC2+AC2=V52+122=13, .CH.AB=IBC.AC, 2 :CH=5x1260 1313 ∴.在RtA BCH中，BH=V√BC2-CH2 60 25 13 ∴.BD=2BH= 50 13 题型二圆周角的概念辨析及简便运算 4.如图，ABC内接于圆，点D在AC上，连接BD,AD.下列角中，AB所对圆 周角的是() A.∠APB B.∠DAC C.∠ACB D.∠DBA 3 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解， 【详解】解：由图可知：AB所对圆周角的是∠ACB或∠ADB, 故选：C 5.如图所示，AB为O0的直径，弦CD1AB于点E,LA=30°，CD=45,则 ⊙0的半径是 D 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质以及 勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键.由圆周角定理可得∠C0E=60° ,结合AB为O0的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=4V5,可得L0CE=30°， CE=CD=25,推出oE=0C,最后根据勾股定理即可求解。 【详解】解：：BC=BC, :∠C0E=2∠A=60°， :AB为O0的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=45, :∠0CE=30,CE=CD=25, 2 :.OE=-OC, 在.0cE中，由勾股定理得oE+CK=0C,即}0c+=oc, :0C=4,即00的半径是4， 故答案为：4. 6.已知射线0M经过⊙0的圆心，与00相交于点A,点B在⊙0上，且 LB0A=30°，P为射线OM上异于点O,A的一动点，直线PB交O0于点C,且 PC=OC. B B PA M 图① 图② (1)如图①，当点P在线段OA上时，求∠B的度数： (2)如图②，当点P在线段OA的延长线上时，求∠PB0的度数. 【答案】(1)LB=40° (2)∠PB0=100° 【分析】本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质、三角形外角的性 质，根据题意，设关键角为X,利用三角形内角和定理列方程是解题给关键， (1)设∠B=x,再用含x的式子表示出∠COP和∠CPO,最后根据三角形内角和 定理列方程求解即可」 (2)设∠BOC=y,再用含x的式子表示出∠C和∠OBC,最后根据三角形内角和 定理列方程求解即可. 【详解】(1)解：OB=OC,.∠C=∠B. 设LB=LC=x. :PC=OC,∴∠COP=∠CPO=∠B+∠BOA=x+30°. 在△P0C中，x+2(x+30)=180°， 解得x=40°，∠B=40°. (2)解：设∠BOC=y, PC=OC,∴∠CPO=∠COP=y+30° :0B=0C, ∠C=∠0BC=∠B0A+∠CP0=30°+(y+30）=60°+y. 在△0BC中，y+2(60°+y)=180°， 解得y=20°， :∠0BC=80°， ∠PB0=180°-∠0BC=100°. 题型三圆周角定理 7.如图，在O0中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°， 则∠BAC=( A.21° B.25° C.26° D.27° 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键，连接OC, 根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解 ∠BOC的度数即可. 【详解】解：连接0C, 0 B ∠ABC=19°， A ∠A0C=2∠ABC=38°， :半径OA,OB互相垂直， .∠A0B=90°， LB0C=90°-38°=52°， :∠BAC=∠B0C=26°. 故选：C 8.如图，A,C,B是⊙0上的点，若LA0B=130°，则∠ACB的度数是 度 6 B 【答案】115 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键， 根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可. 【详解】解：在优弧AB上任意找一点D,连接AD,BD. D B .∠A0B=130°， ·∠ADB=∠AOB=650 ∠ADB+∠ACB=180°， .ACB=115°. 故答案为：115. 9.如图1，四边形ABCD内接于O0,AC为直径，∠BDC=45°，AC,BD交于点 E,AB=20,过点O作GH⊥CD,垂足为G,交BD于点H. D D G 图1 图2 (1)求o0的半径： (2)当DE=EH时，求OH:OG的值； 7 (3)延长GH交CB的延长线于点Q,当HG=30G时，求BQ的长. 【答案】(1)102 (2)2 (3)10 【分析】(1)利用圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质解答即可； (2)利用垂径定理，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，全 等三角形的判定与性质解答即可； (3)设0G=k,则HG=3k,利用垂径定理和勾股定理求得k值，连接EG,CH, 利用(2)的结论，三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质和相似三角形 的判定与性质解答即可得出结论 【详解】(1)解：AC为直径， ∴.∠ABC=∠ADC=90°， ,LBAC=LBDC=45°， ∴.ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=BC=20, AC=AB2+BC2=2AB=202, ∴00的半径=24C=105: (2)解：，过点0作GH⊥CD, ∴.GD=GC, .0A=0C, .OG为△CAD的中位线， 0G=54D, .OG⊥DC,AD⊥DC, .0G∥AD, .ZADE=Z0HE 在ADE和△OHE中， ∠ADE=∠OHE DE=EH ∠AED=∠OEH △ADE≌△OHE(ASA), :AD=OH, 0H:0G=2; (3)解：∠BDC=45°，GH⊥CD, ∴.△DHG是等腰直角三角形，GD=GH, :HG=30G, 设0G=k,则HG=3k, .AD=OH=2k,DG=GC=3k, CD=6k, AD+CD=ACC, (22+62=(202, 解得：k=25(负值不合题意，舍去)， ..OH AD=2k=45, 连接EG,CH,如图， E :AG=30G, B 0H0G=2, 由(2)知：E为DH的中点， ∴.GE⊥DH, ,G为CD的中点， ∴.EG为△DCH的中位线， ∴.EG∥CH, EG⊥BD, ∴.CH⊥BD, 9 LCHB=∠ADC=90°， :∠DBC=LDAC, △BHC∽△ADC, BH AD BCAC’ BH 45 2020W2' .BH=2V10, ∠BDC=45°，HG⊥CD,CH⊥BD, .∴.∠DHG=LGHC=45°， ∴.∠BH0=∠DHG=45°， .ZBHO ZGHC ,∠QBH=∠QBA+∠ABD=90°+∠ABD,∠H0C=∠0GC+∠ACD=90°+∠ACD, LACD=∠ABD ∴.∠QBH=∠HOC, ∴.△QBH∽aCOH, OB OC BH OH' 由(1)得00的半径是102； .0C=10√2 OB 102 21o4V5’ ∴.BQ=10. 题型四同弧或等弧所对的圆周角相等 10.如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的两点，连接AC,CD,AD,若 ∠ADC=75°，则∠BAC的度数是() 0 D 103.4圆周角和圆心角的关系 题型一求圆弧的度数 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分 别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28 B.60 C.55 D.40° 2.如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=BC=DA,AD、BC的延长线交于点P, 且∠P=40°，则弧CD的度数为 A D 0 P 3.如图，在ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D, 交AC于点E. 6 D E (1)若∠A=20°，求BD的度数， (2)若BC=5,AC=12,求BD的长. 题型二圆周角的概念辨析及简便运算 4.如图，ABC内接于圆，点D在AC上，连接BD,AD.下列角中，AB所对圆 周角的是() A.∠APB B.∠DAC C.∠ACB D.∠DBA 5.如图所示，AB为⊙0的直径，弦CD上AB于点E,LA=30°，CD=4V5,则 00的半径是 D 6.已知射线0M经过⊙0的圆心，与o0相交于点A,点B在00上，且 ∠B0A=30°，P为射线OM上异于点O,A的一动点，直线PB交O0于点C,且 PC=OC. B B A PM 图① 图② (1)如图①，当点P在线段OA上时，求∠B的度数 (2)如图②，当点P在线段OA的延长线上时，求∠PB0的度数. 题型三圆周角定理 7.如图，在⊙0中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若LABC=19°， 则∠BAC=( 0 C A.21° B.25° C.26 D.27° 8.如图，A,C,B是⊙0上的点，若LA0B=130°，则∠ACB的度数是 度. B 9.如图1，四边形ABCD内接于O0,AC为直径，∠BDC=45°，AC,BD交于点 E,AB=20,过点O作GH⊥CD,垂足为G,交BD于点H. D D 图1 图2 (1)求o0的半径； (2)当DE=EH时，求0H:OG的值； (3)延长GH交CB的延长线于点Q,当HG=30G时，求BQ的长. 题型四同弧或等弧所对的圆周角相等 10.如图，AB是OO的直径，C,D是O0上的两点，连接AC,CD,AD,若 ∠ADC=75°，则∠BAC的度数是() A.15 B.25° C.30° D.75° 11.如图，AB为O0的直径，点C,D在⊙0上.若∠ABC=60°，则∠D的度数为 D 12.如图，四边形ABCD是o0的内接四边形，点G在边DC的延长线上. 3 G (I)求证：LBAD=GCB; (2)若∠DBA=80°，∠CDA=50°，求LCAD的度数. 题型五半圆（直径）所对的圆周角是直角 13.如图.AB为O0的直径，点C、D在O0上，∠BAC=50°.则∠ADC的度数 为() B D A.50 B.40° C.30° D.60° 14.如图，AB是⊙0的直径，若AC=4,∠D=60°，则BC的长等于 B 15.如图，⊙0为ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D,直径AE平分∠BAD交 BC于点F,连接BE. B E (1)证明：∠AEB=∠AFD; (2)若AB=10,BF=5,求AF的长. 题型六90度的圆周角所对的弦是直径 16.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动 点，满足LPAB=LPBC,则线段CP的长度最小值为() A.2 B.4 C.5 D.7 17.如图，等腰△ABP内接于O0,AB=AP,以AB为边的矩形ABCD交OO于点C ,D,交AP于点E,若DE=CE,BC=2,则00的直径长为 E 18.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点，过B,C,D的圆交AC 于点E,己知点C为BCD的中点，连接DE· B (I)求证：△ABC∽△AED. (2)AD=2DE=2,求O0的半径. 题型七已知圆内接四边形求角度 19.如图所示，⊙0的内接四边形ABCD中，L0AB+∠0CB=115°，则∠ADC的度 数是() D A.115° B.120° C.65° D.130° 20.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接0A,0C.若∠ABC=108°，则 ∠AOC的度数为 B C D 21.如图，四边形ABCD内接于OO,对角线AC平分∠BAD,连接BD交AC于点 安 (1)求证：△ABC∽△BEC; (2)若AB=AC,BE=6,EC=4,求△ABD和△BCD的面积比. 题型八求四边形外接圆的直径 22.如图，四边形ABCD内接于O0，,BC是直径，连接AC、若∠ADC=150°，点 0到AC的距离为23，则o0的半径长为() 6 A.2 B.6 C.4 D.8 23.如图，在四边形ABCD中，AC=3,∠ABC=120°，∠ADC=60°，求CD的最大 值为 B 24.如图，四边形ABCD内接于O0,AD为直径，BC=CD=5,AD=5V5,E为 对角线AC上一动点，连结BE并延长交OO于点F. B C A 0 (I)若BF⊥AD,求证：∠ABF=∠ACB; (2)求四边形ABCD的面积； 7