2.4二次函数的应用 同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版九年级下册 2.4二次函数的应用 同步练习 一．选择题（共6小题） 1．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣4t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　） A．3s B．4s C．5s D．6s 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，则小球从抛出到落地所需要的时间是（　　） A．6s B．4s C．3s D．2s 3．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（　　） A． B．2m C． D．1m 4．如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（　　） A．4m2 B．6m2 C．8m2 D．12m2 5．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S（单位：平方米）．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 6．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x＝2时，该乒乓球所经过的路程为（　　） A．5米 B．米 C．米 D．米 二．填空题（共6小题） 7．如图1，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，求表达式．如图2是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图2中的抛物线的解析式为 　 　． 8．把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝20t﹣5t2．当h＝15时，小球的运动时间为　 　s． 9．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 　 　． 10．某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度AB是10米时，水面到拱顶的高度OC是 　 　米． 11．飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第　 　秒． 12．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h＝﹣5t2+20t，则小球运动中的最大高度是 　 　m． 三．解答题（共4小题） 13．镇江香醋受百姓喜爱，某商场平均每天卖出600份香醋礼盒，卖出1份礼盒的利润是10元，经发现，每份礼盒售价每涨1元，平均每天少卖10份，为了使每天获取的利润更多，该商场决定将售价上调． （1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为 　 　元，该商场平均每天可卖出礼盒 　 　份；（结果用含x的代数式表示） （2）为了控制价格，要求一份礼盒获利不超过20元，则每份礼盒售价上涨多少元时，该商场每天获得的利润最大？ 14．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 15．网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为10元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于24元/kg．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/kg） 17 18 19 20 y（kg） 230 220 210 200 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 16． 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为10cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，求出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A A A A B 一．选择题（共6小题） 1．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣4t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　） A．3s B．4s C．5s D．6s 【分析】当小球落地时，则h＝0，于是得20t﹣4t2＝0，解方程求出符合题意的h的值即得到问题的答案． 【解答】解：抛物线h＝20t﹣4t2，当h＝0时，则20t﹣4t2＝0， 解得t1＝5，t2＝0（不符合题意，舍去）， ∴小球从飞出到落地的所用时间为5s， 故选：C． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，则小球从抛出到落地所需要的时间是（　　） A．6s B．4s C．3s D．2s 【分析】由小球落地，即小球的高度h＝0，代入关系式，解方程即可得出结果． 【解答】解：根据题意得30t﹣5t2＝0， 解得t＝6或t＝0， t＝0时，即小球还未抛出的时刻，舍去， ∴t＝6， 答：小球从抛出到落地所需要的时间是6秒， 故选：A． 3．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（　　） A． B．2m C． D．1m 【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得相应的函数值，即为所求的答案． 【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3． ∵该抛物线过点（3，0）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：a ∴y（x﹣1）2+3． ∵当x＝0时，y（0﹣1）2+33， ∴水管应长m． 故选：A． 4．如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（　　） A．4m2 B．6m2 C．8m2 D．12m2 【分析】用含x的代数式（12﹣3x）÷3＝4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积． 【解答】解：∵AB为x米，则AD4﹣x， S长方形框架ABCD＝AB×AD＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， 当x＝2时，S取得最大值4； ∴长方形框架ABCD的面积S最大为4m2． 故选：A． 5．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S（单位：平方米）．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【分析】先根据AD+AB+BC＝30得出yx+15；再根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，从而得出结论． 【解答】解：∵AB＝x，BC＝AD＝y，AD+AB+BC＝30， ∴2y+x＝30， 即y（30﹣x）x+15， ∴y与x满足的函数关系是一次函数； ∵S＝AB•BC＝xy＝x（x+15）x2+15x， ∴S与x满足的函数关系是二次函数． 故选：A． 6．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x＝2时，该乒乓球所经过的路程为（　　） A．5米 B．米 C．米 D．米 【分析】先由待定系数法求出函数关系式，再代入x＝2即可求出结论． 【解答】解：设y＝ax2， 将（1.5，3）代入上式得：3＝2.25a， 解得：a， 则函数的表达式为：yx2， 当x＝2时，y22， 即乒乓球所经过的路程是米， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．如图1，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，求表达式．如图2是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图2中的抛物线的解析式为 　y＝﹣0.2x2+0.8　． 【分析】根据题意可得B（2，0），C（0，0.8），设函数解析式为：y＝ax2+0.8，将点B的坐标代入求出a的值即可得出结论． 【解答】解：如图，由题意可知，则B（2，0），C（0，0.8）， 设函数解析式为：y＝ax2+0.8， 将（2，0）代入得出： 0＝4a+0.8， 解得：a＝﹣0.2， 则抛物线解析式为：y＝﹣0.2x2+0.8． 故答案为：y＝﹣0.2x2+0.8． 8．把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝20t﹣5t2．当h＝15时，小球的运动时间为　1或3　s． 【分析】把h＝15代入关系式得求解即可． 【解答】解：把h＝15代入关系式h＝20t﹣5t2得： 20t﹣5t2﹣15＝0， t＝1或t＝3， 故答案为：1或3． 9．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 　y＝﹣0.01x2+9　． 【分析】根据题意得到A、B、E的坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），将E的坐标代入解析式求出a的值，即可得到抛物线解析式． 【解答】解：∵拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点， ∴AO＝BO＝30m， ∴A的坐标为（30，0），B的坐标为（﹣30，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30）， ∵AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m， ∴OE＝AO﹣AE＝30﹣2＝28m， ∴E的坐标为（28，1.16）， ∴a（28+30）（28﹣30）＝1.16， 解得a＝﹣0.01， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.01（x+30）（x﹣30）＝﹣0.01x2+9， 故答案为：y＝﹣0.01x2+9． 10．某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度AB是10米时，水面到拱顶的高度OC是 　　米． 【分析】根据题意，把x＝5直接代入解析式即可解答． 【解答】解：∵水面的宽度AB为10米， ∴B的横坐标为5， 把x＝5代入yx2， 得y， ∴B（5，）， ∴OCm． 故答案为：． 11．飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第　10　秒． 【分析】根据题意和二次函数的图象具有对称性，可以求得炮弹在最高处的时间． 【解答】解：∵高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴炮弹在最高处的时间是第10（秒）， 故答案为：10． 12．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h＝﹣5t2+20t，则小球运动中的最大高度是 　20　m． 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论． 【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵﹣5＜0， ∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20， 故答案为：20． 三．解答题（共4小题） 13．镇江香醋受百姓喜爱，某商场平均每天卖出600份香醋礼盒，卖出1份礼盒的利润是10元，经发现，每份礼盒售价每涨1元，平均每天少卖10份，为了使每天获取的利润更多，该商场决定将售价上调． （1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为 　（10+x）　元，该商场平均每天可卖出礼盒 　（600﹣10x）　份；（结果用含x的代数式表示） （2）为了控制价格，要求一份礼盒获利不超过20元，则每份礼盒售价上涨多少元时，该商场每天获得的利润最大？ 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价上涨x元时，该商场每天获得的利润为y元，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为（10+x）元，该商场平均每天可卖出礼盒（600﹣10x）份； 故答案为：（10+x），（600﹣10x）； （2）设每份礼盒售价上涨x元时，该商场每天获得的利润为y元， 根据题意得，y＝（10+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x2﹣50x﹣600）＝﹣10（x﹣25）2+12250， ∵获利不超过20元， ∴当x＝10时，商场每天获得的利润最大． 14．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6， 把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）此船不能通过，理由： 当y＝2+3＝5时，， 解得x＝5或x＝15， ∵15﹣5＝10＜12， ∴此船不能通过桥洞． 15．网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为10元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于24元/kg．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/kg） 17 18 19 20 y（kg） 230 220 210 200 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 把x＝17，y＝230和x＝20，y＝200代入函数关系式为y＝kx+b得： ， ∴， ∴函数关系式为y＝﹣10x+400； （2）∵w＝（x﹣10）（﹣10x+400） ＝﹣10x2+500x﹣4000 ＝﹣10（x﹣25）2+2250， ∵a＝﹣10＜0，对称轴为直线x＝25，越靠近对称轴的x所对应的函数值越大 ∵销售单价不低于成本价且不高于24元/kg． ∴当x＝24时，w＝﹣10×（24﹣25）2+2250＝2240， ∴w有最大值为2240元． ∴当销售单价定为24元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为2240元． 16． 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为10cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，求出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到5，那么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； 任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内； 任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可． 【解答】解：任务一： ∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：x＝5． ∴5． ∴b＝﹣10a． 把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得： 15a+b+1＝0， 把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得： 15a﹣10a+1＝0， 解得：a， ∴b＝2， ∴水流抛物线的函数表达式为：yx2+2x+15． 任务二： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12， 当x＝12时，y122+2×12+15＝10.2， ∵10＜10.2， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 任务三：2+3 学科网（北京）股份有限公司 $$