精品解析：福建省惠安第一中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

福建省惠安第一中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 命题者：蒋萍华 审核者：郑志聪 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与平行，所以， 直线即， 所以两条平行直线之间的距离为. 故选：C. 2. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过椭圆和双曲线有共同的焦点，就是让它们的相等进而得到的关系，再代入到直线方程即可求出答案. 【详解】椭圆与双曲线有共同的焦点， 椭圆的焦点在轴上，即，， 直线可化为，即， 令，解得，直线必过定点. 故选：. 3. 已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 4. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件得，进而求得点的坐标，代入到椭圆方程计算得到答案． 【详解】由题知，，，设，由， 所以，即，得，． 由在椭圆上，得，得， 因为，所以， 故E：． 故选：A. 5. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】如下图，将七块三角形编号如下， 所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为： ，， ，，，共有种， 将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为， 则编号的面积为，则编号的面积为， 编号的面积为， 任取两块板面积相等的基本事件为：. 从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为. 故选：C. 6. 已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示： 分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、. 抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为， 由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形， ，则，，得， A选项正确； ，又，为的中点，则，B选项正确； ，，（抛物线定义），C选项正确； ，，D选项错误. 故选：D. 7. 在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中长度，可证OA，OB，OC两两垂直，如图建系，根据条件可得，设，，则，所以，，，四点共面，求得各点坐标，进而可得平面的一个法向量，根据点到平面距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以，即， 同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， 所以，设，， 则，所以，，，四点共面， 因为，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 因为，所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】如图所示: 设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得, ,, 所以,, , 设,, 则在△中,由余弦定理得, 即,所以,即, 由柯西不等式得, 即.当且仅当,即,时,等号成立. 故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解． 【详解】对于A，因为，所以，A正确． 对于B，因为，所以，得，B正确． 对于C，因为在上的投影向量为，所以， 即，化简可得， 因为，所以m有两个实数解，C错误． 对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线， 所以，解得， 假设，此时无解， 所以与的夹角为钝角，则，D错误． 故选：AB. 10. 已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，其中所有正确结论的序号是（ ） A. 曲线为一个圆； B. 曲线上存在点，使得到点的距离为6； C. 直线（为常数），无论为何值，直线与曲线恒有两个交点； D. 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断A是否正确；由A可知，圆上的点到的距离的范围为，进而可判断B是否正确；确定直线过的定点，判断定点与圆的位置，即可判断C是否正确；由椭圆的定义，可知在椭圆上，再联立椭圆与曲线的方程求交点，即可判断D是否正确. 【详解】对于A：设，因为满足，所以， 整理可得：，即，曲线为一个圆，所以A正确； 对于：由A可知，所以点在圆的外部， 因为到圆心的距离，半径为2， 所以圆上的点到的距离的范围为，而，所以B不正确； 对于C：直线（为常数），则，则直线过定点，因， 所以点在圆内，则无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确； 对于D：假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为8， 则在以点与点为焦点，长轴长为8的椭圆上，即在椭圆上， 联立方程与，解得，所以椭圆与圆有交点， 故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8；所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若点是正方体表面上一动点且满足，则点的轨迹长度为 D. 已知平面过点且，若，且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行得出点到面的距离相等，转换三棱锥的顶点与底面，即可得A； 利用线面平行证明线线平行，即可得B；由于过一点作已知直线的垂线可组成唯一平面，找到该平面，则其与正方体表面的交线，即可求得轨迹长度C；建系求出点P在球上，由于球与平面的公共点组成一个圆，求出球心与平面的距离，即可求出其轨迹长度，即可得D. 【详解】由，平面可得平面， 则点C、点到平面距离相等，所以，故A选项正确； 如图，取中点，连接，则， 由于平面，平面，则，则， 由于与互余，则可得， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B选项正确； 如图取中点F，中点G， 由于平面，平面，则， 由于 与互余，则可得， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得， 又因为，则平面， 因为，所以平面， 又因为点是正方体表面上一动点，所以点的轨迹为平面与正方体表面的公共点组成的图形，即，其中可求得，，所以周长为，故C选项错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 设，由于， 则，即， 则点P在圆心为，半径的球上， 又因为，则点P轨迹为球与平面的公共点组成的图形，即圆， 由于，可得取为平面的法向量， 由于平面过点， 则点到平面的距离，， 则， 其周长为，故D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程. 【详解】设，， 则，，所以， 即. 因为，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 13. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________ 【答案】 【解析】 【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）， 则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2）， 即x=2x1-x2，y=2y1-y2， ∵点M，N在双曲线上，所以，， 故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2）， 设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2， ∴y1y2-2 x1x2=0， ∴2x2-y2=20， 所以P在双曲线2x2-y2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F1，F2， 由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为 点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，7题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）求过点与圆O相切的直线方程； （2）点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围． 【答案】（1）和； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线的距离公式，并按切线斜率存在和不存在分别讨论作答. （2）利用给定的向量关系，结合切线长定理可得OP与AB互相垂直平分，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解作答. 【小问1详解】 当切线斜率不存在时，直线与圆相切，此时切线方程为， 当切线斜率存在时，设切线斜率为k，直线方程为，即， 因此有，解得，此时直线方程为， 所以过点与圆O相切的直线方程为和． 【小问2详解】 如图，，故四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，故与互相垂直平分，则线段OP的中点在圆O内，因此， 即，又，即，因此，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点. （1）求向量与的数量积； （2）设，若，求在轴上截距的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设A，B坐标为，再设直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理与向量的数量积坐标公式计算即可； （2）由（1），利用韦达定理表达出和的关系以及在轴上截距关于的表达式，再根据得出的取值范围，进而求得截距范围即可 【详解】（1）设A，B坐标为，由题知直线倾斜角不可能为0，设直线方程为：.联立得，， 由韦达定理得. . 向量的数量积为. （2）由（1）知， 代入得. 在为增函数 在y轴上截距的取值范围为 17. 如图，在四棱锥 中，底面，底面 为平行四边形，，且 ，， 是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ?若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）连接交于，连接，则为中点，是棱的中点， 故，，，所以平面. （2） （3）存在，在的两个三等分点处，理由如下： 假设存在，，设，即， 故， 设平面的法向量为，则， 取，得到， ，化简得到，解得或. 故在的两个三等分点处. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，则为中点，，得到证明. （2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据向量的夹角公式得到答案. （3）假设存在，，计算平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得到，， 直线 与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）直线恒过定点；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率推出的关系式，再由题设求得和，借助于正弦定理求出，即得椭圆方程； （2）（i）设直线，将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，设直线的斜率为，计算得，再由可得，利用斜率公式，结合韦达定理，化简计算求得或，验证取舍后即得直线的方程，即可证得结论；（ii）根据（i）的结论可推得，令，结合韦达定理推得，由可得，进而求出的范围，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 如图，连接，因椭圆的离心率为，则，即， 在中，，则， 在中，，由正弦定理得， 解得故，则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题知直线的斜率存在，且不为0，设直线， 联立，消去，可得， 依题意，，即， 设，则， 设直线的斜率为，因为，且， 则，即， 又因为，故， 即有，即（*）， 又，所以， 代入（*），可得， 化简得，解得或， 又位于轴的两侧，所以，解得， 所以，故直线的方程，故必过定点. （ii）由（i）已得直线过定点， 则，， 于是，令，则，由（i）可得， 由，解得， 再代入，可得， 化简得， 因为，所以，即：， 解得，即， 则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省惠安第一中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 命题者：蒋萍华 审核者：郑志聪 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 2. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. 3. 已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D. 若与的夹角为钝角，则 10. 已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，其中所有正确结论的序号是（ ） A. 曲线为一个圆； B. 曲线上存在点，使得到点的距离为6； C. 直线（为常数），无论为何值，直线与曲线恒有两个交点； D. 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8. 11. 已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若点是正方体表面上一动点且满足，则点的轨迹长度为 D. 已知平面过点且，若，且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为_______. 13. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，7题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）求过点与圆O相切的直线方程； （2）点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围． 16. 已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点. （1）求向量与的数量积； （2）设，若，求在轴上截距的取值范围. 17. 如图，在四棱锥 中，底面，底面 为平行四边形，，且 ，， 是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ?若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由． 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $