河南省洛阳市强基联盟2025-2026学年高二上学期1月检测数学试卷

洛阳强基联盟高二1月检测 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答策答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超 出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第三章，选择性必修第二册第四章第1节~第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知数列{an}的前4项为1,2,5,12，则{an}的通项公式可以是 A.an=3n-2 B.an=2m-n C.an=3-2 D.an=4"-3 2.抛物线C:x=一8y2的准线方程为 Ay=-2 B.y=2 C=一是 Dx=成 3.双曲线号一-若-1的左顶点到其一条南近线的距离为 A号 B号 c号 D号 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=8,S3=15,则S,= A98 B.109 C.126 D.159 5,已知椭圆E秀十长-1的左，右焦点分别为R,R,B为上顶点，则 A.BF=5 B.△BF1F2的周长为14 C,E的长轴长为5 D.E的离心率等于号 2a,0≤a,< 6.已知数列{an}满足：an+1三 neN),若a1=号，则as 2a-1,2<a<1 A B号 c号 D.号 【高二1月检测·数学第1页（共4页）】 7.已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆 刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横粱，那么正中 间的一根横梁的长度是 A.0.6m B.0.7m C.0.8m D.0.9m 8已知R,R:分别为双曲线E荐-苦-1（®>0,6>0）的左，右焦点，过原点的直线交E于P,Q两点， 若|PF1|+|QF1|=4a,△PF1F2为锐角三角形，则E的离心率的取值范围为 A.(1,√2) B.(2,3) C.(3,2) Da,） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知曲线C:x2+my2=1,则下列说法正确的有 A.若m>0,则C是椭圆 B,若m=,则C是焦点在y轴上的椭圆 C.若m<0,则C是双曲线 D.若m=0,则C是两条平行于y轴的直线 10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，若S2s<0,S22s>0,则 A.d>0 B.|a1o13l<|a1o4 C.Sn的最小值为S1o13 D.Sn的最大值为S1o3 11.已知M,N是抛物线C:x2=2y(p>0)上的两点，C的焦点为F,O为坐标原点，C上一点P(t,1)到 焦点F的距离为号，则 A.p=1 B.若OM⊥ON,则直线MN过定点(0,2) C若M亦=2F成，则直线MN的斜率为？ D,若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若数列{an}的前n项和Sn=(-5)-1十3，则a6= 18.已知椭圆C若+苦-1的左，右焦点分别为A,R,P为C上的个动点，则PF·P,引的取值 范围为 14已知等差数列a,么}的前a项和分别为A,和8若会-本，则满足爱∈乙的正整数n的个 b。 数为 【高二1月检测·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) (1)求焦点为F1(一3,0)，F2(3,0),且过点A(4,一1)的双曲线的标准方程； (②)求与双曲线号-苦-1有相同的渐近线，且过点（3厄，2)的双曲线的标准方程 16.(本小题满分15分) 在数列a)中，a=克at1=有a∈N) (1)证明：任}是等差数列： (2)设bn=aa+1,求数列{bn)的前n项和. 17.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,yo)为抛物线C上一点，且|AF=4. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点0的直线l:y=x十m与抛物线C交于不同的两点P,Q,若O2.O应=0，求m的值. 【高二1月检测·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 在等差数列{an}中，a1=22,a5为a2与ag十1的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn,判断23是不是数列{ 受}的项，若是，是第几项？若不是，请说明 理由； (3)若bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tm: 19.(本小题满分17分) x21y2 已知椭圆C:言+芳-1(a>b>0)的上顶点和两个焦点都在圆E:x+0一1)2-4上. (1)求C的方程； (2)若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A,B两点，求|AB|; (3)若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M,N两点，且直线FM,FN的斜率互为 相反数，记直线MN的斜率为m,求证：0<m< 【高二1月检测·数学第4页（共4页）】洛阳强基联盟高二1月检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B已知数列{an}的前4项为1,2,5,12，即a1=1,a2=2,a=5,a4=12,验证选项中的通项公式，只有an=2m一符合 题意，所以{an}的通项公式可以是an=2m一.故选B. 2.D由题意，抛物线x=一8Y的标准方程为)y=一日x,C的焦点在x轴的负半轴上且p=6,故其准线的方程为x= 2·故选D. 3.A 因为双面线号。-1的左顶点为（一30》商近线方程为士3y=0,所以双前线号-若-1的左顶点到其一条 渐近线的距离为 12 32+4 导故选A a+2d=8, a1=2, 4.C设{an}的公差为d,由题意得 解得 -”所以S,=9×2+9X8×3=126.故选C 2 3a1+3d=15, d=3, 5.A由题意知Q=5,b=4,c=3,所以E的长轴长为10，离心率为号，BF1=5,△BF,的周长为16，故BCD错误， A正确.故选A. -1 2an,0≤am<2’ 6.C因为a1= 2且a 所以a=2Xa=青a=2Xa&-1=2X号-1=号，a4=2Xa-1=2 2am-1,2≤am<1 X号-1=号4=2Xa=号=a,=2Xa=专=4，…，所以数列a,是周期数列，且-个周期为4，所以as= 2 ax1=a=子.故选C 7.B记7根横梁的长度从上到下成等差数列{am}(1≤≤7，n∈N),由题意得a1十a2十a=1.8,a5十a6十a=2.4, ∴.3a2=1.8,3a6=2.4,故a2=0.6,a6=0.8,.2a4=a2十a6,∴.a4=0.7,即正中间的一根横梁的长度是0.7m.故选B. 8.D由题意知，P,Q关于原点对称，不妨设点P为第一象限内一点，则|QF1|=|PF2|,|PF1|一|PF2|=2a,又 |PF|+|QF1|=4a,|PF|+|PF2|=4a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,记|FF2|=2c,因为△PFF2为锐角三角 形，所以1PF|2+|PF2|2-|F1F22>0,|PF1|2+|F1F2I2-|PF2|>0,|FF212+1PF2|2-|PF|>0,即 9a+d-4c>0,9a+4c-a2>0,4+a2-9a2>0,解得2<号<号，所以wE<e<放选D, 9.BCD对于A,若m=1,则曲线C表示圆，故A错误； 对于B,若m=,则x十my=1可化为x+兰=1，此时曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故B正确： 对于C,若0，则曲线C表示双曲线，故C正确： 对于D,若m=0,则x2+my2=1可化为x2=1,此时曲线C表示两条平行于y轴的直线，故D正确.故选BCD 10.ABC由S,s<0.S>0,得2025(a,十a2=2025a10B<0,2026Ca,十a2=1013(a1B十a1)>0,即as 2 2 <0,a1o13十a14>0,所以a113<0,a1o14>0,a1ms|<|a114,所以d=a101t-a11s>0,所以a1<a2<<a1s<0 【高二1月检测·数学参考答案第1页（共4页）】 <a1o14,所以S113最小.故ABC正确，D错误.故选ABC 1.ABD对于A,根据抛物线的定义得PF=1十号=号，解得力=1，所以抛物线C:=2,F(0,号），放A正确：对 于B,因为直线MN,OM,ON的斜率必存在，设直线MN的方程为y=x十b,M(1,y),N(x2,2),联立方程 x2=2y, 消去y得x2-2kx-2b=0,则△=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,因为OM⊥ON,所以kMkN= y=kx+b, 西=子=一号=-1，解得6=2，清足40，所以直线MN过定点(0,2》，放B正确：对于C,因为M证 =2FV,所以直线MN过焦点F,且|MF|=2FN|,设直线MN的倾斜角为O,当M在第一象限时，如图，过点M,N 分别向准线作垂线段MA,NB,过点N向MA作垂线段ND,设|FN|=m,则 A MN =3m,|NB =m,MA =2m,MD =m,sin 0= MD MN 3,cos 0= 22 化，tan02,当M在第二象限时，同理可得an0=一2，所以直线MN的斜率 4 为±号.放C错误：对于D.因为线段0F的垂直平分线为y子，所以△MOF外接 圆圆心的纵坐标为子，所以外接圆半径为好十号=子，故D正确故选ABD 12.-3750a6=S6-S=[(-5)5+3]-[(-5)4+3]=-3750. 13.[5,9]由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=6,所以|PF2|=6-|PF|,记|PF1|=t,则1≤t≤5，所以|PF1|· |PF2|=t(6-t)=-t+61=一(t-3)2+9,所以当t=3时，|PF1|·|PF2|取得最大值9，当t=1,或t=5时， |PF|·|PF2|取得最小值5，所以|PF|·|PF2|的取值范围是[5,9]. 142因为等差数列a,么)的前n项和分别为A,和R会-得，所以可设A=如(3n+75≠0).R= kn(2n+5),所以n≥2时，am=Am-Am-1=kn(3n+75)-k(n-1)(31+72)=6k(n十12)，又a1=78k满足上式，所 以an=6k(n十12)(n∈N“),n≥2时，b=Bn-Bw-1=kn(2+5)-k(n-1)(2十3)=k(4十3)，又b=7k满足上 式，所以么=6十3EN会-装号-1=3十是g因为受∈乙所以拟十3是63的正因数：即 4十3=1,3,7,9,21,63，又n∈N,所以n=1,15,即满足22∈Z的正整数n有2个. 15.解：(1)由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且半焦距c=3, 故设所求双曲线的标准方程为号一芳=1(。>0.b>0>… y …1分 |AF1|=√(-3-4)2+1=5√2，|AF2|=√3-4)2+1=√2， …3分 所以2a=|AF1|-|AF2|=52-√2=4V2,所以a=22,… …5分 所以6=c2-a2=9-8=1, 放所求双曲线的标准方程为苓一=1 …7分 (2)设所求双曲线的方程为号-背入（≠0），…- …9分 【高二1月检测·数学参考答案第2页（共4页）】 将点(32,23)代人上述方程，得3D)_2) 9 3 10分 所以入=一2，所以子一 93 =一2， 12分 故所求双由线的方程为号-后-1.… 13分 16.(1)证明：因为a+1= an十1Qn an十1an 所以数列 }是公差为1的等差数列。…巴 …6分 (2)解：因为数列2}是公差为1的等老数列，=2，所以士=2+(n-1)×1=+1,9分 (I an 所以a.=4=aa-m十m万n 12分 设数列{b.}的前n项和为Tm, 则工=号言+号子+…+市中合w 15分 17.解：(1)八点A(2,y)为抛物线C上一点，且AF=4,根据抛物线的定义可得2+多=4，解得p=4,…4分 2 ∴抛物线C的标准方程为y2=8x.… …5分 (2)不过原点O的直线l:y=x十m与抛物线C交于不同的两点P,Q, [y=x+m, 设P(x1,y),Q(x2,y2),联立得 得x2+(2m-8)x+m2=0, y2=8x, .△=(2m-8)2-4X1×m2=-32m+64>0,解得m<2.… …8分 由韦达定理，得x1十x2=8-21,2=m2, 又Op.O0=0,x1x2十hy2=0,… 10分 又两点P,Q在直线l:y=x十m上，y=x十1，y=2十m, 故上式化为x1x2十（十m)(x2十m)=0,化简得2x12十m(.x1十x2)+m2=0,…12分 把韦达定理代人，得22+m(8-2m)十m2=0→m2+8m=0,解得m=0或m=-8, ,直线l不过原点，∴m≠0， 故m的值为一8。… 15分 18.解：(1)设{am}的公差为d,则an=22+(1-1)d, 1分 所以a=22+4d,a2=22+d,a=22+8d, 3分 因为a6为a2与ag+1的等差中项，所以2(22+4d)=22+d+22+8d+1, 解得d=一1，所以an=23-1… …5分 (2)由(1D知d=-1,所以S=a1+"1Dd=221-n11D=45m,正 2 2 2 …7分 所以S=45一u …8分 12 2 令45，”=23，解得m=-1不是正整数， 2 【高二1月检测·数学参考答案第3页（共4页）】 所以23不是{}的项… 10分 (3)由(1)知bn=|23-n, 当n≤23时，an≥0，bn=au,当n≥24时，an<0,bn=-au, 12分 所以当≤23时，T,=S.=45m。 2 13分 当n≥24时，Tn=a1十a2十…十a28一a24-…一an =2(a1十a2+…十a2g)-(a1十a2十…十an)…14分 2 2、 =2Sa-S。=506-45122=是 2n+506. 16分 +号2 所以T= …17分 -号a+506n心24 19.(1)解：圆E:x2+(y-1)2=4与x轴的两个交点分别为（一√3,0），(W,0),与y轴的两个交点分别为(0,3)，(0，-1)， …1分 则C的两个焦点分别为（一5,0），(W5,0),上顶点为(0,3)， 2分 所以b=3,c=√3，a2=9+3=12,… …3分 所以C的方程为呢+号-1. …4分 (2)解：由)知，C的右焦点F(5,0),圆E的圆心E(0,1),直线EF的斜率为1-。=-5 0-/3 3 …5分 因为过F的圆E的切线与EF垂直，所以切线方程为y=√5(x一√5)， …6分 (2+=1, 联立 129 消去y,得5x2-8√3x=0,所以x=0或x 83 5 7分 y=√5(x-√5)， 所以AB=√1+(W5)2 83 165 …8分 5 (3)证明：设直线FM的方程为y=k(x一√5)（不妨设k>0), （2+y=1, 联立 12+91 消去y,得(4k2+3)x2-83k2x+12k2-36=0, 10分 y=(x-5), 则△=(-8√3k2)2-4(4k2+3)(12k2-36)=432(k2+1), 所以x=8Bk25.E五-4B2±63.五 2(4k2+3) 4k2+3 …12分 因为上式中的k换成一k,结果一样，所以上述x的两个值就是M,N两点的横坐标.…13分 设My),N(x2y),y<0,2<0, 则m=45E-63:E五时=n一3，=45+65 4k2+3 4k2+3 ,2=一(2-√5)， 直线MN的斜率m=边业=一一B)-k(一)=-k(十)十23k ………16分 X2X1 2一1 x2一x1 2/2+1 2市<z即0<m<2 因为>0，：<+，所以0<与<1，所以<冬 1 …17分 【高二1月检测·数学参考答案第4页（共4页）】