福建省泉州第五中学2025-2026学年高二上学期数学单元测试五

泉州五中2027届高二上数学单元测试（五） 一、单进题 1.抛物线y=4x2的准线仿程为( A.y=-1 B.X=-1 C.y=- 2.等差数列(am]中，a4+a6=46,a7=27,则公差d为（ A.1 B.2 C.3 D.4 3。已知圆锥曲线号+兰=1的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根，则满足条件的不同m值有 m ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.圆C1:x2+y2-4=0与C2:x2+y2-4x-4y+4=0的公共弦长为( A.2V2 B.2 C.4 D.2 5.在数列(an]中，a1=2,a2=3,a+a-1+a-2=6,若{anJ的前n项和为Sn,则S2026= () A.4052 B.4053 4054 D.4055 记沁物线=2pr(p>0)的焦点为，406，m)为抛物线上-点hH=8,直线与沁物线另-交点为B,测则仁 BF A.5 B.4 C.3 D.2 7.己等差数列{an}的前n项和为Sm,则( A.若Sg>Sg,Sg>S10,则S17>0,S1g<0 B.若S7>0,S18<0,则SgSg,SgS10 C.若S17>0,S1g<0,则41>0,41g<0 D.若a17>0,a1g<0,则S17>0,S18<0 8.数列{an}中，a1=1,an+1= dn-12EN a+5号eN,使an≤2021对任意的m≤k(k为正鉴数)恒成立 的最大k值为() A.1209 B.1211 C.1213 D.1215 1 二、$她测 9、苦救列(}是等差数列，则下列数列中…定为等差数列的有 A、(a+3] B.(a} C.(an+1-an】 D.(2an) 10.过抛物线C:y2=2x(p>0)的雄点F的直线交C于A,肉点，其中M是AB的中点，点M 到y的的距离的最小值为，0为坐标点，则下列命题E确的是 A.p=1 B.AB的最小值为2 C.IAB2=40M12+2 D.点M的轨迹方程是y2=x- 1】、己知曲线y=mx+生(m≠0)的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转-定角度 + 得到.现将双曲线c荒-片=1〔a>0,b>0)绕原点旋转得到曲线5：y=号x 2x ,则( A.直线x=0是曲线E的一条渐近线 B.C的实轴长为2√3 C.C的高心率为2 D.当t>2V2时，直线y=V3x+t与C有两个交点 三、填空题 12.已知数列an}的前项和为S,且满足a1=1,a+1=an+1(n∈N),则S10=一 13. 设游数r侧=4x5名≤8.颜e,满足a,一.且数a,提湘数列则a 的范围是 14.如图，已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于 A,B两点，过点A作抛物线的准线的垂线AA1,垂足为A1,抛物线的准线 与x轴交于点M,0为坐标原点，记S1,S2,S3分别为△A0B,△A1FM, M △AA1F的面积.若S,+S2=Sg,则直线AB的斜率的一 三、解答题 15.甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球.约定先投中者获胜，当有人投中成者何人 都己投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的慨率为，且两人各次 投篮互不彩响. (1)若甲先投篮，求投篮结束时，印只投了2个球的概率： (2)若乙先投篮，求乙获胜的概率， 16.已正项数列[a的前n项和为Sn,且满足2Sn=a听+an (1)求数列a}的通项公式： (2）设bn=a2n-12m+: 2 数列bn)的前n项和为Tn,证明：Tn<1. 17.在如图所示的多面体AFDCBE中，AB⊥平面BCE,AB/CD/EF,BE⊥EC,AB=4,EF= 2,EC=2BE=4. (1)在线段BC上是否存在一点G,使得EG/平面AFC?如果存在，请指出G点位置并证明；如果不 存在，请说明理由： D (2)当三棱锥D-AFC的体积为8时，求二面角D一AF一C的余弦值. C 州 3 18.已知双曲线c兰-若=1a,b>0)的左顶点为M,离心率为3，右焦点为P,MF1=4,A,B 是C上的两点，线段AB的中点为H, (1)求C的标准方程； (2若H(?,)）,求直线AB的斜截式方程； (3)若M,A,B三点不共线，且AB=2MH,证明：直线AB过定点. 19.己知点P(t,t+1)在抛物线C:y2=4x上，按照如下方法依次构造点Pn(n=2,3,4,,过点 P,n-1作斜率为-1的直线与抛物线C交于另一点Qn-1,令Pn为Qn-1关于x轴的对称点，记Pn的坐标为 （xn%n) (1)求t的值： (2)分别求数列{xn,yn的通项公式： (3)求△BnPn+1Pn+2(n∈N*)的面积 4 泉州五中2027届高二数学单元测试（五）参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C B B ACD ABD ABD 12.55 13.(3,4) 14.V3 8.【详解】由已知可得，数列{an:1,6,11,6,11,16,11,16,21,…,通过观察，可得规律； 将原数列分为三个等差数列： 16,1,,aa=2,nefnln=3m+1,me: 6,11,16,,au=,ne6n1n=3m+2,m∈： 11,16,21,,an=5mt8,ne{m1n=3m+3,m∈N: 2 因为a1209=2021,a1210=2016,a1211=2021,a1212=2026>2021, 所以满足am≤2021对任意的n≤k(k∈N恒成立的最大k值为1211. 10.【详解】抛物线C:y2=2px的焦点F号，0)，显然直线1不垂直于y轴，设其方程为x=号+切， 由号十y消去x得2-2py-p2=0,△=4p22+4p2>0, (y2 2px 设A(x1y),B(x2,2),则h+2=2pt2=-2,弦AB的中点M(pt2+号，p), 对于A,当t=0时，pt2+取得最小值号又点M到y轴的距离的最小值为 因此号=解得=1，A正确： 对于B,|AB|为焦点弦，通径最短，因此lABImin=2p=2,B正确； 对于C,1AB1=x+x为+1=22+2,10M=2+(2+2=4+22+ 则1AB2=4t4+8t2+4=410M12+3,C错误； 时于D,设M化，则x=t+,消去得y2=x-点M的轨迹方程是y=X-D正确了 y=t 1.【详解】曲线E:y=号x+提的两条新近线为：x=0和y=号x 3x,故A选项正确： 易知两条渐近线夹角为5，故曲线E的一个对称轴为y=V3x, 联立方程+ x= x= x,解得 或 2 y=V3x (y=3 3 2 (y=- 故曲线E的两个顶点为： ()(--引 易得实轴长为2a=2√3，故B选项正确： 由B选项知：两条渐近线夹角为， 易知将Ey=受x+经颗时针旋转得到C二-片 2x1 a2-62=1(a>0,b>0), 此时的渐近线倾斜角为，由渐近线方程得：也=， 3 而离心率==层-②-+、+号= 3 2,故C选项错误： 由2a=23,=29,c2=a2+b2可得：a=3,b=1,故双曲线c的方程为：号-y2=1 联立直线与曲线c的方程行-y2=1,消去y得：8x2+6V3x+3(C2+1)=0, (y=V3x+t 若使直线y=V3x+t与C有两个交点，则只需要让上述方程有两个根即可， 即判别式大于零：△=(6v3t)2-4×8×3(t2+1)>0,解得：t>2V2或t<-2v2, 故当t>2V2时，直线y=V3x+t与C有两个交点，故D正确 14.【详解】设直线AB倾斜角为8∈(0，》，A(xh),B(x2,y2),>0, 可知：=AFlcose8+y=IAFIsine8, 且lAF|=x1+2=LAFIcose6+p,解得lAF=D 1-c0s8 则1=AFIsin0=0g,同理可得2=-2sne 1+c0s8' 可知：S=0Fr4-%l=×引0 、2 1+cos0 2sine' S2=IMFIA,M=主×px2se p2sine 1-c0s8 2(1-c0s8) 9=号h1A=2×0雨×a3 p2sine 1-c0s8 2(1-cos8)2 因为S+2=5,则 p2sin0 02sin6+生×21cos621-co52)2,】 整理得2cos20+3cos0-2=0,解得cos0=或cos0=-2, 2 且6∈(0，)，则cos0=可得0=？所以直线AB的斜率为k=tan9=V3 故答案为：√3. 2 (哈2号 【详解】(1)设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中， 则由题意可得P(Ak)=子P(Bx)=(k=12,3), 记事件C为“投篮结束时甲只投了2个球”， P(C)=P(A]B1A2)+P(A]B]A2B2)=P(A)P(B)P(A2)+P(A)P(B)P(A2)P(B2) =××+×号××写=号 即若甲先投，投篮结束时，甲只投了2个球的概率为号： (2)若由乙首次投篮，记事件D为“乙获胜”， P(D)=P(B1+BA]B2+BA]B2A2B3)=P(B1)+P(BA:B2)+P(BA]B2A2B3) =+××+号xxx×=号 3 故若乙光投篮，乙获胜的概率为号 16,(1)an=n;(2)证明见解析 详解1()因为a>0.2=匠+a 所以当n=1时，2a1=2S1=a好+a1,解得a1=1, 当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=a晚-a吃-1+an-an-1y 则(an+an-1)(an-an-1-1)=0,又an>0,则an-an-1=1, 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an=n; （2）证明：由(1)得am=n,则b.=2n-2n+五=2n-1一2n+1 2 1 1 2,2,2 2 7n=1X3+3×5+5x7++2m-12n+ -居-+G动+-》+（是+( =1-< 3 故T元<1成立. 3 17.【详解】(1)存在，点G为BC中点，理由如下： 取线段AB的中点H,连接EH、HG、EG. .AHIEF,AH=EF=2,.四边形AHEF是平行四边形，.HEIAF. 又.AFc平面AFC,HE平面AFC,.HEI平面AFC. ,H、G分别为AB、BC的中点， .HG是△ABC的中位线，.HGIAC. ,ACc平面AFC,HGt平面AFC,.HGI平面AFC. ,HG OHE=H,HG、HEc平面EHG, ∴.平面EHGI平面AFC. .EGc平面EHG,.EGI平面AFC. (2)AB⊥平面BCE,AB/EF,.EF⊥平面BCE, 又，BEC平面BEC,∴BE⊥EF :BE⊥EC,EFnEC=E,∴.BE⊥平面EFC 又·ABIEF,EFC平面EFC,AB￠平面EFC,所以ABN平面EFC,所以A到平面EFC的距离等于 B到平面EFC的距离，即BE. 设CD=t(t>0), 由v,-Ac=V-oFc=x×CD×CE×BE=××4×2=智=8，可得CD=t=6. 以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题可知F(0,0,2),C(4,0,0),A(0,2,4),D(4,0,6), AF=(0,-2,-2),CF=(-4,0,2),FD=(4,0,4). 设平商c的法向为m=,小须士严→+2名=8-份2 令x1=1,得y1=-2,乙1=2，所以平面AFC的一个法向量为m=(1,-2,2) 设平面AFD的法向量为苏=(2,2,2)，则1严 (坑LFD 欧0→胎 令z2=1,得x2=y2=-1,所以平面AFD的一个法向量为元=(-1，-1,1). cos元可=员=若= 3x3 3 由图可知二面角D一AF-C为锐角，故二面角D-AF-C的余弦值为 3 (MFI=a+c=4 18.【详解】(1)依题意， e=g=3, a 解侣二日 a2+b2=c2 所以双曲线C的标准方程为x2-苦=1 4 (2)易知直线AB的斜率存在，设A(X1,y1),B(X2,y2): x好-且=1 则 8 x好-竖=1 作差可得x好-x3-造=0， 所以1-x2)(x1+x2)-y22=0, 8 因为线段AB的中点坐标为H(作，》，所以x+名=乡y1+y2=, 9 所以（名1一x2)-乡.2=0，所以直线AB的斜率为水=兴= X1-X2 1, 所以直线AB的方程为y-号=X一 即y=x+1. (3)当AB平行于x轴时，设直线AB:y=t, 联立2-若1，解得-+号.8C+， 8 (y=t 因为H是AB中点，因此H(O,),所以，AB=21+号 MHI=V1+t2 因为ABl=2MH,解得t=0,此时M,A,B三点共线，不合题意。 当AB不平行于×轴时，设直线AB:x=my+n, 联立x2-苦=1，得enm2-1y2+i6my+8n2-8=0, 8 x my+n 财+%=-器2器器A>0, 因为AB=2MH,则AH川=M=BH,所以AM⊥BM,则M瓜·ME=0, 因M丽=(x1+1,y1)=(my:+n+1,y1),ME=(x2+1,y2)=(my2+n+1,y2), 所以(my1+n+1)(my2+n+1)+y1y2=0, 即(m2+1y1y2+m(n+1)y1+y2)+(n+1)2=0, 即(m2+)(二)+m6a+10(-)+a+12=0, 即(m2+1)(8n2-8)-16m2n(n+1)+(8m2-1)m+1)2=0, 得7n2-2n-9=0,解得n=或n=-1, 若n=一1，则直线AB:×=my-1,过点M,不符合题意； 若n=号则直线AB:x=my+号，满足△>0，则过定点(，0)， 则直线AB过定点(？，O) 5 19.(1)t=1:(2)yn=4n-2,xn=(2n-1)2:(3)16 【详解】(1)因为点P(化，t+1)在抛物线C:y2=4x上，则(t+1)2=4t,解得t=1. (2)由(1)可知：P1(1,2),即x1=1,y1=2, 因为点P,(Cnn)在抛物线C:y2=4x上，则xn=蓝，且Qn(x,-yn), 过P-1(,y1-）,n≥2，且斜率为-1的直线Pn-1Qn-1y--1=-（x-） 联立方程-1=(x-学）， 消去x可得y2+4y-4ym-1-y哈-1=0， y2=4x 解得y=yn-1或y=-ym-1-4,即-n=-yn-1-4,可得n=yn-1+4, 可知数列0y是以首项为2，公差为4的等差数列， 所以=2+40m-1)=4n-2,x=竖=m-2=(2n-1)2 (3)由(2)题意可知：Pn(2-1)2,4n-2),Pn+1(2n+1)2,4n+2),Pn+2(2m+3)2,4n+6), 如图所示：梯形TnPB,P+1Tn+1的面积为：SPn+m,=TnIn+1 ITB+Pn+1了n+iD =2[(2m+1)2-(2-1)2](4n-2+4n+2)=32n2, 即Sr,PPn+1+1=32n2,同理可得Sn+1Pn+1Pa+2nt2=32(n+1)2, 梯形Tn PaPn+zTn+2的面积为：STaPnPas2nt2=ITnTna+2l(ITBa+Pn+2In+2l) =2[(2n+3)2-(2m-1)2](4n-2+4n+6)=16(2n+1)2, 即S7nPPn+2n2=16(2n+1)2, 则△BnPn+1Pn+2(n∈N)的面积为：SaPP+1P+2=STnFaPn+1Tn+1+S+1B+1P+2rn2- STnPnPn+2Tn+2 32n2+32(m+1)2-16(2n+1)2=16. Pm y2=4x 6 T刀TT年着