精品解析：湖北省襄阳市樊城区南漳胡云镇一中协作体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025秋第二次月考九年级数学试题 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式的值，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 化为标准形式为， 其中 ，，， 判别式 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选： C． 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离为d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 4. 已知，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性．先求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴点， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 成语“水中捞月”所描述的事件 C. 明天一定是晴天 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此判断． 【详解】解：A、内错角有可能相等，也有可能不相等，故为随机事件，故不符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件，为不可能事件，故不符合题意； C、明天不一定是晴天，有可能是阴天，故为随机事件，故不符合题意； D、对顶角相等，为必然事件，故符合题意． 故选：D． 6. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，由是的直径，，由四边形内接于，可得，即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ． 故选：D． 8. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 9. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 10. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 0 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键．先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与新图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， ①当直线与x轴重合，即时与新图象有两个公共点， ②当时，直线与和组成新图象有三个公共点； ③所以当时，与新图象有二个公共点； ④当时，直线与新图象有四个交点，如图， ∴当时，直线与新图象有四个交点． 故选：C． 二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 【答案】1 【解析】 【分析】关于x一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得m的值． 【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴， 解得，； 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（是常数且），特别要注意的条件；以及正确解出一元二次方程的根． 12. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 【答案】##8米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：列表如下： 黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ． 【答案】2-2 【解析】 【分析】通过证明△ABE≌△BCF，可证∠AGF=90°，则点G在以AB为直径的一段弧上运动， 当点G在OC与弧的交点处时，CG最短，然后根据勾股定理求出OC的长即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC=4． 在△ABE和△BCF中 ， ∴△ABE≌△BCF， ∴∠BAE=∠CBF． ∵∠ABF+∠CBF=90°， ∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠AGF=90°， ∴点G在以AB为直径的一段弧上运动， 设AB的中点为O，则当点G在OC与弧的交点处时，CG最短． ∵AB=4， ∴OB=2． ∴OC==， ∴CG=OC=OG=2-2． 故答案为：2-2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 18. 为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： （1）这次参与调查的村民人数为 人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率． 【答案】（1）120 （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的应用和树状图法求概率． （1）直接利用腰鼓所占比例以及条形图中人数即可得出这次参与调查的村民人数； （2）利用条形统计图以及样本数量得出喜欢广场舞的人数； （3）利用树状图法列举出所有的可能进而得出概率． 仔细识图，正确列举出所有可能是解题关键． 【小问1详解】 解：这次参与调查的村民人数为：（人）； 故答案为：120； 【小问2详解】 喜欢广场舞的人数为：（人） 【小问3详解】 画树状图如下： 一共有12种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种可能， 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：． 19. 如图，在正方形中，为边上一点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）在（2）的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． （1）利用“一线三直角”即可证明； （2）由，，求出和的长，利用求出的长度； （3）由求出的长度，再由勾股定理求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形， ， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，写出点坐标： （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，写出点坐标． （3）在轴上找一点，使的和最小，写出P点坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： （2） 解：如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转变换作图，中心对称作图和轴对称性质，一次函数的性质，正确掌握作图的方法是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点，即为所求点P，利用一次函数即可求解． 【小问1详解】 和关于原点O对称，， ； 【小问2详解】 绕原点O顺时针旋转，得到，， 【小问3详解】 如图，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点，即为所求点P， 此时的和最小， ， ， 设直线的函数为， 经过和， ，解得， ， 当时，，解得， 则． 21. 如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， , ，即， ， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和求不规则图形的面积，熟练掌握切线的判定定理和不规则图形面积的求法是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据垂径定理和勾股定理，求出、和的长以及圆心角，再根据扇形、三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）可知， 在中，，， ，， ，是的直径， ，， , 扇形的面积为， 在中，， ，， ， 的面积为， 根据图形可知， ， 则图中阴影部分的面积为． 22. 惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？ 【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为50元 （3）当售价为60元时，经销商能获得最大利润，最大利润为9000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为w，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔每个售价为元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 因要尽可能让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【小问3详解】 设该品牌头盔每个售价为y元，月利润为w元， 则 ， ∴当售价为60元时，最大利润为9000元． 23. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质，即可得到结论； （2）由（1）可得，求出，得到，过点作，得到，求出，由得到； （3）过点作，交的延长线于点，由得到，设，则，，可证明，得到，求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ， ∴， ∴， ， 如图，过点作， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ， ， ．即， ； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点． ， ， ∵， ， ， ∵， ， ，即， ， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 点是的中点， ， 同理可证， ，即， 解得， ． 24. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋第二次月考九年级数学试题 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 成语“水中捞月”所描述的事件 C. 明天一定是晴天 D. 对顶角相等 6. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 9. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 0 D. 或 二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 12. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 14. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是_____． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 18. 为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： （1）这次参与调查的村民人数为 人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率． 19. 如图，在正方形中，为边上一点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）在（2）的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，写出点坐标： （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，写出点坐标． （3）在轴上找一点，使的和最小，写出P点坐标． 21. 如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？ 23. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 24. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $