河南省商丘市青桐鸣2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试卷

秘密★启用前 高二年级质量检测 开心A 白，的./ 数学（人教A卷） )1 注意事项： 1/1 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 4 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在等差数列{a.}中，若2a5=a6十3，则a,= A.1 B.2 C.3 D.4 2.直线x=cos75°的倾斜角为 A.0° B.90° C.75° D.25° ,式 订 婆H回 3设P,R,分别是辅圆C需+益-1的左右熊点，点P在C上，且PFPF,一 110 6,则 头，公1u加为 A.PF|=9 B.PF|=6 C.PF2|=8 D.|PF2|=4 4双曲线C号茶-16>0的一条渐近线方程为y一2红则C的焦距为 班 级 A.6 B.10 C.26 D.2√10 5.某科技馆建了一个AI技术展播厅，此展播厅共设置了17排座位，后一排都比前一排多 姓 名 2个座位（例如：第二排比第一排多2个座位），已知第9排有36个座位，则此展播厅的 座位总数为 A.646 B.629 C.612 D.595 6.设{a,b,c)是空间的一组单位正交基底，向量OA=a+3b十c,若m=a一b,n=a十b c,p=a一b十c,且{m,n,p}是空间的另一组基底，则OA= A.-4m+2n+3p B.4m-2n+3p C.4m+2n-3p D.4m+2n+3p 数学（人教A卷）试题第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP Ba 7.已知在数列{an}中，a1十a2十a,=2,且{anam+1am+z)是公比为3的等比数列，则数列 {a.)的前30项和为 A.310-1 B.315-1 C.320-1 D.330-1 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足|PA|=2|PB|点Q在圆C:(x+1)2+(y一4)2= 1上运动，点M在直线x-y-2=0上运动，则|PM|+|QM的最小值为 》 A.5√2-3 B.6√2-3 C.√73-3 D.45-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知2a十b=(4,0,4),b=(2,2,2),则下列正确的有 A.a=(1,-1,1) B.a//b C.(2a+b)⊥(2a-b) D.cos<a,b>=号 10.已知等比数列{an}是单调数列，且其前n项和为Sn,前n项积为Tm,a=8,S,二56， 则下列正确的有 Aa品 B.S<2a C.T5=8T8 D.T。取得最大值时，n=6 _y2 11.已知双曲线C3=1(@≥o)的离心率为2，F1,F2分别为C的左、右焦点，O为 坐标原点，曲线E:y=b|x一2|，k∈[2,4]，且E与C交于A,B两点，则下列正确的有 A.a=1 B.AF2+BF2>7 C.|AF,|+|BF,|的最大值为32， D△OAB面积的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两平行直线7x一y一4=0与7x一my+6=0(m∈R)之间的距离为 18若直线)=一十4与椭圆C:爱+y°=1a>1)在第一象限内有两个公共点，则C的 长轴长的取值范围为 1 14.如图，已知∠AOB=90°，且边OA,OB有无限长，按下面 A)A1 操作：在边OA,OB上分别取OA1=OB1=2,沿A1B1 剪去一个Rt△OA1B1,再在边A1A,B1B上分别取 A1A2=B,B2,沿A2B2剪去一个梯形A1B1B2A2,依次 操作，在边AnA,BnB上分别取A.Am+1=BnBm+1,沿 A+1Bn+1剪去一个梯形AnB,Bn+1An+1,使得每一个梯 形A,B,Bn+1An+1的面积都等于Rt△OA1B,的面积的一半，则A,Am+1= (用含n的式子表示) 数学（人教A卷）试题第2页（共4页） CS扫描全能王 链3亿人都在用的扫描App 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分） 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线BD所在直线的方程为4x十2y十1= 0,且正方形ABCD的外接圆的方程为x2+y2十2x一3y+2=0. (1)求正方形ABCD的面积； (2)求顶点A的坐标 中空。食1计，食)欧小府，要小 ,的美方，6代酷前反代暗，代 8心小时，.三g. , 16.(15分) 小. 记S,为数列(a,}的前n项和，已知S=n2+4n.,p (1)证明：{a.}是等差数列； (2设6，-会求数列6，)的前”项和 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,PC= PD=√5，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）. (1)若Pi=2P, (1)证明：MQ∥平面PCD; (i)求直线CD与平面CMQ所成角的正弦值 (2)若平面CMQ与平面PCD的夹角的余弦值为 4√21 21,求MQ的长度. 数学（人教A卷）试题第3页（共4页） CS扫描全能王 链3亿人都在用的扫描App 18.(17分) 用启★， 已知F为抛物线C:y2=2px（p>0)的焦点，直线1：2x一y-4=0经过F,过点 M(4,0)的动直线l2与C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； (器姓人学烟 (2)设0为坐标原点，若△ABF的面积为85，直线l2与y轴交于点N,证明： IOMI=IONI; (3)若直线l2的斜率小于0，且l上任意一点到两直线AF,BF的距离相等，求直线 l2的斜率. 装 3生大 少一千改沙素：指，认必5去1 北，代云盛小霜，公小公些程本 站农装日 19.(17分) 订 已知数列(an}满足a1=2,an十1= 2 (1)求a2,ag的值； (2)求{an}的通项公式； 注意清点有无漏印或缺页，若有要及时更换 3设6一。行十.子记S,为数列6，}的前n项和，证明是<S,<号 2 2 线 数学（人教A卷）试题：第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 高二年级质量检测 数学（人教A卷） 参考答案 1.C【解析】由等差数列的性质可知，2a5=a6十a4, 所以{am}的前30项可以分成三组：第一组a1,a4, 结合2a5=a6十3，所以a4=3. a7,…,a28;第二组a2,a5,ag,…,a29;第三组a3, 故选C. a6,ag,…,a30,每组都是公比为3的等比数列. 2.B【解析】因为直线x=cos75°垂直于x轴，所以 设数列{an}的前30项和为S30,则 该直线的倾斜角为90°. S30=a1十a2十a3+…十a3o=(a1十a4十a7+…十 故选B. a28)+(a2十a5十ag+…+a2s)+(a3+a6+ag+…+ 3.A【解析】根据椭圆的定义可知，PF1|+ |PF2=2a=12,又|PF1|-|PF2|=6,解得 an)=a11-32)+a,1-39+a1-30y 1-3 1-3 1-3 PF=9,PF2|=3. (a1+a,+a,)1-3）=30-1. 故选A 1-3 故选A. 4D【解标由双曲线C:名-=16>0)可知，其 8.C【解析】设P(x,y),由|PA|=2|PB得， 162 62 渐近线方程为y=±√2x,由题意可知√2=2， √(x-2)2+y=2√(x十1)十y,整理得 (x+2)2+y2=4,所以点P在以C1(-2,0)为圆 所以b2=8,则c2=a2+b2=10,解得c=√10，所 心，半径为2的圆上 以C的焦距为2√10 点Q在圆C:(x+1)2十(y一4)2=1上运动，该圆 故选D. 的圆心为C(-1,4),半径为1， 5.C【解析】设AI技术展播厅的座位从第1排到第 如图； 17排，各排的座位数依次排成一列，构成数列 {an},其前n项和为Sn,则数列{an}是一个公差为 x-y-2=0 2的等差数列，且ag=36,所以ag=a1十(9一1)× 2=a1十16=36，解得a1=20,则a17=a1+(17一 1)×2=20+16×2=52,因此S17= 17(a1+a17) 2 17×(20+52) 2 =612 故选C. 6.A【解析】设OA-xm+yn十xp, |MP|=|MC1|-2,|MQ|=|MC引-1，设圆C OA=x(a-b)+y(a+b-c)+z(a-b+c)= 与圆C2关于直线x一y一2=0对称，则 (x+y十z)a十（一x+y-z)b+(z-y)c, |MC1|=|MC2|, x+y+之=1， 连接CC2,则|PM|+|QM|=|MC|-2+ 又OA=a十3b+c,则-x十y-x=3,解得x= |MC|-1=|MC+|MC2-3≥|CC2|-3,当 x-y=1, C,M,C2三点共线时，取得最小值. -4,y=2,x=3,所以OA=-4m+2n+3p. =一1， 故选A. x1+2 设C2(x1,y1),则 7.A【解析】由题意可知， n+1an+2aa+3=an+3=3, x1-2_y1-2=0, anan+lan+2 an 2 ·数学（人教A卷）答案（第1页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫Ap 解得2， 要使T.取得最大值，需am≥l, y1=-4, 即C2(2,-4), 所以Tn取得最大值时，n=5或n=6,D错误. 所以|CC2|=√(-1-2)2+(4+4)2=√73，则 故选BC. |PM|+|QM的最小值为√73-3. .AD【解析】由双香线C号苦-1。>0)的 故选C. 9.ACD【解析】由2a+b=(4,0,4),b=(2,2,2),得 离心率为2得， a十3=2，解得Q=1,A正确： a=(1,-1,1),A正确； 不妨设A的纵坐标比B的纵坐标大，曲线E:y= 假设b=λa,则(2,2,2)=（入，一入，A),显然入无解， x-2|,k∈[2,4]，过焦点F2(2,0),因为C的 所以a与b不平行，B错误； 渐近线方程为y=士√3x,而直线y=(x一2)的 因为2a-b=(0,-4,0),所以(2a+b)·(2a-b)= 斜率k∈[2,4]，所以延长线段AF2与C的右支 (4,0,4)·(0,-4,0)=0,则(2a+b)⊥(2a-b),C 交于点B。,由对称性可知，B与B。关于x轴对 正确； 称，设A(x1,y1),B(x2,y2),则B(x2,一y2), 因为a·b=2-2十2=2，所以cos<a,b> a·b 2 1 不妨设直线AB,的方程x=y十2，则：=名∈ a·bV3X2g3D正确， 故选ACD. [] 10.BC【解析】设公比为q,由a3=8,S3=56可知， 2 a4十a十ag=56,即8+8+8=56，整理得6g2 由 31, 整理得(3t2-1)y2+12ty+9=0, x=ty+2, 1 1 -12t 9-1=0,解得9=2或g=-3, 所以y1+(-y2)= 322-1y1·（-y2)= 9 因为等比数列(a}是单调数列，所以g=2,由 3t2-1' a1g2= 4a1=8得，a1=32,所以an=32X 所以|AF2|+BF2|=|AF2|+|BF2|= |AB=√1+z·|y1-(-y2)川=√1+· ()=()”,A错误； √y1+(-y2)]-4y1·(-y2)=√/1+t· 32[1-(2)] 1-q 1 =[1-(分门 1一2 令1计=，则a飞[最]，-m-1,所以 64=2a1,B正确； 1AF,1+BF,F4-3m4-3 6m= 6 因为T5=a1·a2·…·a5,Tg=a1·a2·…· a5·a6·a7·a8,所以Tg=a6·a7·agT5,根据 m 等比数列的性质可知，。=a7,又a,=(侣)”- 易知两数fm)去-3在[活引上单润递减： ,所以T,=日T则T,=8T,C正确， 1 所以a)号则g≤A,+BF.< 30,所以|AF2|+|BF2>7,B正确： 令an= =1,解得n=6,又等比数列 由双曲线的定义可知，|AF1=2a十AF,|= {am}是单调递减数列， 2+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|=2+|BF2, 所以a1>a2>a3>a4>a5>a6=l>a7>a8>…, 所以|AF1|+|BF1|=4+|AF2|+|BF2|≤ ·数学（人教A卷）答案（第2页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫Ap 4十30=34，故AF1|+|BF1的最大值为34，C △=(-8)2-4(a2+1)(16-a2)>0, 错误； 则 16-a2 易知OA=(x1,y1),O=(x2y2),则cos<OA, 12=a2+1>0, OA.OB 解得√/15<a<4,则2√15<2a<8, ,所以sin2<OA,oB> 1OA|·OB 故C的长轴长的取值范围为(2√15,8). OA.OB 1-(01:0o: 14.√2(n+2)-√2(n+1) 【解折】S△04，鸟- 2十 则△0AB面积为SaB=41Oi·1Oi2, 2X2=2,设am=OAm, 在梯形A,B.B+1Am+1中，AnBn∥A+1B+1,所 sim<o,oi>=4[1ai·1oa-(oi· 以△DA,B△OAm+1Bn+1, o)2]=[(+)(x+) 则a, Saa=2+,D,所以a= an十1 S△0A+1Bn+1 2+n (红1+)2]=是（i+x Vn+2,即2t1= /n+1 n+2 amVn+1’ 1 2x1x2y1yz)=4（x1y2-xy1)2, 所以a,=a1×2X…Xa1= an-1 an-2 1 1 所以Sas=豆x1y:-xy= |(ty1+2)y2-(-ty2+2)y1|=ty1y2+(y2 故A.A+1=OAm+1-OAm=√2(n十2)- 3 w√2(n+1) 15.解：(1)由圆的一般方程为x2+y2+2x-3y+2=0 因为y=}-在[] 上单调递减，所以 化为圆的标准方程为(x+1)+(-含)广- 113 (2分) ymax=4-3X 4一4 412 所以圆心坐标为(1，）半径= 2, (3分) 故△OAB面积的最小值为3X1313D正确。 则|AC|=|BD|=2r=√5， (4分) 故选ABD. 12.√2【解析】由题意可知，m=1,所以两直线之间 故正方形ABCD的面积为Sm=号AC· 的距离为d= 1-4-61 10 =√2 5 √72+(-1)25√2 |BD|=2 (6分) x=-y+4, (2)因为BD⊥AC,所以kc=一 13.(2√15,8) 【解析】联立 a+y-1, 整理得， 31 则对角线AC所在的直线方程为y一2=2(x十 (a2+1)y2-8y十16-a2=0,设交点坐标为(x1, 1),即x-2y十4=0， (8分) y1),(x2y2), x2+y2+2x-3y+2=0, 要使直线y=一x+4与椭圆C,号+y2=1(a> 由 (9分) x-2y+4=0, 1)在第一象限内有两个公共点， 整理得y2-3y十2=0， (10分) 易知两点横坐标均大于零， 解得y1=1,y2=2, (11分) ·数学（人教A卷）答案（第3页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫Ap x1=一2，.x2=0, 因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平 所以{ 或 (12分) y1=1,y2=2, 面ABCD=CD,所以PO⊥平面ABCD,又BCC 故顶点A的坐标为（一2,1）或(0,2). (13分) 平面ABCD,则PO⊥BC. (2分) 16.解：(1)证明：当n=1时，a1=S1=12+4×1=5, 以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以 (1分) OC,OP所在直线分别为y,之轴，建立如图所示 当n≥2时，am=Sn-Sm-1=n2+4n-[(n-1)2+ 空间直角坐标系O-xy之. 4(n-1)]=2n+3, (3分) 则M(1,-1,0),P(0,0,2),B(2,1,0),C(0,1, 显然n=1时也满足上式，所以an=2n十3， 0),D(0,-1,0),因为PB=2PQ,所以Q为PB (4分) 的中点，所以Q(1,号，1)，所以Md=(o,三1). 因为am+1一am=2(n+1)+3-(2n+3)=2, (5分) (3分) 所以{an}是公差为2的等差数列. (6分) (1)证明：易知Ox⊥平面PCD,所以取平面 (2)由(1)可知，b.=2n十3 PCD的一个法向量为m=(1,0,0), (4分) 2 (7分) 则T.=2+交十2 5 ,7,9 .+2n+3 因为M·m=(0,21)·1,0,0)=0,所以 2n ① (8分) MQ⊥m, (5分) -++ 51719 2n+3 2m+1,② (9分) 因为MQ丈平面PCD,所以MQ∥平面PCD, (6分) 由①-②得，工.=号+（+安+…+ 1 2m-1 (i)由上得CM-(1,-2,0),CD=(0,-2,0), 2n+3 设平面CMQ的法向量为n=(x1,y1,之1)， 2n+1 (10分) CM.n=0, x1-2y1=0, -()] 由 得3 取y1=2, 2n+3 Mdn=0,2y+1=0 2 2n+1 (12分) 1 则n=(4,2,-3). =72m+ 设直线CD与平面CMQ所成的角为0， Γ22+1， (14分) 则sin0=|cos<m,C市>|=，ln·C⑦1 故T,=7-2m+? n|·IcD 2 (15分) 4 2√29 17.解：(1)取CD的中点O,连接PO, √29×2 29 故直线CD与平面CMQ所成角的正弦值为 2√29 29 (10分) (2)由上可知，CB=(2,0,0),CM=(1,-2,0), BP=(-2,-1,2), 设B0=BP(0<1<1),则B0=A(-2,-1,2)= (-2x,-X,2λ)，所以Cd=C店+BG=(2-2x, -1,2λ)， (11分) 设平面CMQ的法向量为p=(x2,y2,z2), 因为PC=PD=5,所以PO⊥CD,且PO=2, CM·p=0, 则 (1分) C0·p=0, ·数学（人教A卷）答案（第4页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 即2：-2=0， B在第四象限内， 取y2=入，则p= (2-2λ)x2-λy2+2λ之2=0， 因为L1上任意一点到两直线AF,BF的距离相 (2xd8x-2）, 等，所以直线l1平分∠AFB, (10分) (12分) 结合图形可知，AF,BF的斜率都存在，则kAF= 又知平面PCD一个法向量为m=(1,0,0), =、y1 y2 z,二2=y,+2er三x22, (11分) 所以cos<p,m>|= p·m lp|·m 又直线11的斜率为2，在11上取一点E,且E位 2λ 4√21 (13分) 于点F的右上方， √5-10x+4 21 整理得32-5λ十2=0， 所以tan∠AFE=tan∠BFE,则，+2-2 1+2 解得入-子或入=1（舍去）， ty1+2 (14分) 2 y2 所以对-（京子，》则Q(》,所 y2+2 (13分) 1+ 2y2 ty2+2 u=(3专》， 整理得，(t+2)(2-4t)y1y2-(8t+6)(y1+y2)- 16=0, (14分) 故MQ=M=√(-3)+()+() 由(2)得，y1+y2=8t,y1y2=-32, 3 所以-(t+2)(2-4t)×32-(8t+6)×8t- 3 (15分) 16=0, 18.解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 即-2(t+2)(2-4t)-(4t+3)t-1=0,所以 F(, 4t2+9t-9=0, (15分) 由题意可知，2×号-0-4=0，解得p=4,(2分) 解得1=子或1=-3 (16分) 2 经验证可知，t=一3， 故抛物线C的方程为y2=8x。 (3分) (2)易知动直线L2的斜率不为0，设其方程x= 故直线12的斜率为- 3 (17分) ty+4,A(x1,y1),B(x2y2), ∫x=ty十4， 19.解：1)由a,十1=√@，得a1=a+ 2 整理得y2-8ty一32=0， (4分) y2=8x, 4an+2. (1分) 则△=64t2十128>0， 由a1=2得，a2=a+4a1+2=22+8+2=14, y1+y2=8t,y1y2=-32, (5分) (2分) 所以△ABF的面积为Sm=号×(4一2》· a3=a+4a2+2=142+4×14+2=254.(3分) (2)由am+1=a员十4am十2得，am+1十2=a员十 |y1-y2|=√(y1+y2)2-4y1y2=√64t+128= 4am+4=(am+2)2, (4分) 8√e2+2, (6分) 两边取以2为底的对数，log2（am+1+2)= 由题意得，8√2+2=8√3，解得t=±1，(7分) 2l0g2 (a,+2), (6分) 所以直线12的方程为x士y一4=0，则N(0,±4)， 又a1-2,则log2(a1十2)=2， (5分) 故|OM=|ON|. (9分) 所以数列(log2(an十2)}是以2为首项，2为公比 (3)不失一般性，不妨设点A在第一象限内，则点 的等比数列， (6分) ·数学（人教A卷）答案（第5页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫Ap 则log2(an十2)=2X2”-1=2", (7分) 因t3,-6+6+…+6-(a异)t 所以an十2=22”， 故am=22”-2. (9分) (3)证明：由am+1=a十4an十2得，am+1十1= (14分) a+4an十3=(an+1)(an+3), (10分) 22_2_2 所以1 1（1 a1+1a+1+1322*1-1 (15分) 1+1=(a+1)(a.十3)27。 2 2 因为0< 1 22+1-115' an+3), (11分) ,8222 则1 =12 所以≤32-13’ an+3an+1a+1+1' (12分) 故6。=2 2 Can+1十i十an+3a+1+1t2 做s.<号 (17分) 422 an+1+1an十1ant1十1' (13分) ·数学（人教A卷）答案（第6页，共6页）· 蝎c扫描全能王 延 3亿人都在用的扫描Ap