（八上预习篇）15.3.2 等边三角形-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

第十五章轴对称 预习篇 二、填空题 5.在△ABC中，∠B=∠C,AB=2,则AC的长度为 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C=54°，D是边BC上的中点，连接AD,则∠DAC= B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，若∠B=72°，∠C=36°，AD平分∠BAC,则图中共有 个等腰三角形 8.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E,BF平分∠ABC 交DE于点F,若EC=3EF=6,则BD= 三、解答题 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且 BE=AF,试判断△DEF的形状并说明理由. 10.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D,E为BC 的中点，连接DE. (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)求∠EDC的度数 15.3.2等边三角形 一学习目标一 1.探索等边三角形的知识，了解等边三角形与等腰三角形的关系，掌握等边三角形的性质与判 定方法 2.能够应用等边三角形的性质及判定进行计算和说理， 3.探索含30°角的直角三角形的性质，应用含30°角的直角三角形的性质解决有关的证明和计算 4.历经探索等边三角形和含30°角直角三角形的性质的过程，发展逻辑推理能力， 87 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 匚知识点讲解☐ 知识点一等边三角形的性质与判定方法 1.等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 2. 的三角形是等边三角形 3.有一个角是60的 是等边三角形 【典型例题1】如图，在△ABC中，BD是高，D是边AC的中点，点E在边BC的延长线上，ED的 延长线交AB于点F,且EF⊥AB,若∠E=30° (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由. 小斗点拨：(1)根据线段垂直平分线的判定与性质求出AB=CB,根据直 角三角形的性质求出∠ABC=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形”即可得解； (2)根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出∠CDE=30°=∠E,根据等腰三角形的 判定定理即可得解。 (1)证明：BD⊥AC,D是边AC的中点，∴.BD垂直平分AC.∴.AB=CB. ,EF⊥AB,.∠ABC+∠E=90 ∠E=30°，∴.∠ABC=60°.∴.△ABC是等边三角形 (2)解：AD=CE.理由如下： :△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=60 ∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°，∠CDE=30°=∠E.∴.CD=CE. D是边AC的中点，∴.AD=CD..AD=CE. 【跟踪练习1】 如图，在等边三角形ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,BO,OC的垂直平分线分别交 BC于点E和点F.求证：BE=EF=FC. 知识点二含30°角直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 【典型例题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1,则AD 的长为 () A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 88 第十五章轴对称 预习篇 解析：CD是△ABC的高，∠B=60°，.∠BCD=90°-∠B=30°.∴.BC=2BD=2×1=2. ∠ACB=90°，∠B=60°，∴.∠A=90°-∠B=30°.∴.AB=2BC=2×2=4. .AD=AB-BD=4-1=3. 答案：B 【跟踪练习2】 如图，在等边三角形ABC中，BC=8,D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥ BC于点E,则BE的长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 一自主检测☐ 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=2,则BC的长为 A.2 B.1 C.4 D.0.5 D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.新考法〔跨学科]如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边三角形ABC上，若∠1= 24°，则∠2的度数为 ) A.24° B.36° C.48 D.56° 3.数改画如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°，则 ∠ACE等于 () A.18o B.20° C.30 D.15° 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D,E在BC上，AD=BD,AE=CE,则△ADE是() A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 二、填空题 5.如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，DE⊥AC于点E,若∠DAE=45°，则∠ADC的度 数为 B D 6.在△ABC中，∠B=∠C,若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 .(写出一个即可) 89 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 7.如图，在边长为6cm的等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，若∠DEC =30°，则BE的长为 第7题图 第8题图 8.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论： ①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠DBC.其中正确的有·（填 序号) 三、解答题 9.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A= 150°，AB=20米，AC=30米，这种草皮每平方米售价a元，求购买这种草皮至少需要多少元？ A C 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC内，BD=BC,∠DBC=60°，点E在△ABC外， ∠BCE=150°，∠ABE=60. (1)求∠ADB的度数； (2)判断△ABE的形状并加以证明. 11.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E为AD上一点，连接BD,CE交于点F,CE∥AB. (1)若△ABD为等边三角形，请判断△DEF的形状，并说明理由； (2)若AD=12,CE=9,求CF的长. 90∴AD=DB=DC ∴，△ADB,△DBC是等腰三角形. ∴.∠A=∠ABD=22.5°，∠DBC=∠C=180°- ∠ABC-∠A=180°-90°-22.50=67.5 ∴.∠BDE=∠A+∠ABD=45. .BE⊥AC, ∴.∠BED=∠BEC=90°. ∴，∠EBC=180°-∠BEC-∠C=22.5. ∴.∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=45 ∴.∠BDE=∠DBE=45 ∴，DE=BE. ∴，△DBE是等腰三角形. 综上，一共有3个等腰三角形.故选C. 3.C【解析】如图，点C的位置共有5个.故选C ● ---- 4.C【解析】：BI平分∠DBC,∴.∠DBI=∠CBI DE∥BC,∴，∠DIB=∠IBC..∠DIB=∠DBI. ,BD=Dl.同理，CE=E以.∴.△DBI和△EIC是等 腰三角形.故①正确；：AB=5,AC=3,DE∥BC ∴.BD>CE..DI>IE.故②错误：∴.△ADE的周 长=AD+DI+IE+EA=AB+AC=8.故③正确： .∠A=50°，∴.∠ABC+∠ACB=130°.∴.∠1BC+ ∠1CB=65°..∠B1C=115°.故④正确.故选C. 5.26.36°7.3 8.4【解析小EC=3EF=6,.EF=2.CD平分 ∠ACB,BF平分∠ABC,∴·∠ACD=∠DCB,∠ABF =∠CBF.DE∥BC,,∠DFB=∠CBF,∠EDC =∠DCB.∠ACD=∠EDC,∠ABF=∠DFB. ∴ED=EC=6,DB=DF.∴.DF=DB=DE-EF= 6-2=4. 9.解：△DEF是等腰直角三角形.理由如下： 如图，连接AD. ,∠BAC=90°，AB=AC.D为BC的中点， ∴，∠B=∠C=45°，AD⊥BC,∠BAD=∠CAD =2LBAC=45°，AD=CD=8D=2BC .∠B=∠BAD=∠CAD BD =AD 在△BDE和△ADF中，{∠B=∠DAF, BE AF. ..△BDE≌△ADF(SAS). ..DE=DF.∠BDE=∠ADF .·∠ADE+∠BDE=∠BDA=90° ∴，∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90° ·,△DEF是等腰直角三角形 10.(1)证明：由条件可知，∠ABC=180°-∠BAC- ∠ACB=80°. BD平分∠ABC. 20 ÷LDBC=3∠ABC=40 .∠DBC=∠ACB=40°..DB=DC .△BCD为等腰三角形. (2)解：由(1)可知，∠BDC=180°-40°-40 =100°. :DB=DC,E为BC的中点， .DE平分∠BDC. 5 LEDC=3∠BDC=50e 15.3.2等边三角形 知识点一 1.相等60°2.三个角都相等 3.等腰三角形 【跟踪练习1】 证明：：△ABC是等边三角形. ∴.∠ABC=∠ACB=60 :BO,CO是∠ABC,∠ACB的平分线， .∴.∠OBC=∠OCB=30°. .∠B0C=180°-30°-30°=120°. BO,CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F, ∴.OE=BE,OF=CF ∴.∠BOE=∠OBC=∠OCB=∠COF=30° .∠E0F=120°-30°-30°=600. :∠OEF,∠OFE是△OBE,△OFC的外角， ∴.∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°， ∠OFE=∠COF+∠OCF=60. ∴.∠EOF=∠OEF=∠OFE. ∴.△OEF是等边三角形. ∴OE=EF=OF.∴.BE=EF=FC 知识点二斜边的一半 【跟踪练习2】 C【解析】小：△ABC为等边三角形，BC=8, ∴.∠A=∠C=60°，AB=AC=BC=8. :DF⊥AC,FE⊥BC,.∠AFD=∠CEF=90 LADF-LCFE-30AF-AD,CE-CF. D是AB的中点，AD=4..AF=2 .CF=6..CE=3..BE=8-3=5.故选C 自主检测 1.B 2.B 3.D【解析】在等边三角形ABC中，∠ACB=60°， AB =AC. AD⊥BC,,D是BC的中点. ,AD垂直平分线段BC.∴，EB=EC ∴.∠ECB=∠EBC=45°.∴.∠ACE=15 故选D. 4.B【解析】由条件可知，∠C=∠B=30°， .AD =BD,AE CE, .∠BAD=∠B=30°，∠CAE=∠C=30 ∴.∠ADE=∠BAD+∠B=6O°，∠AED=∠CAE+ ∠C=60°. △ADE是等边三角形.故选B. 5.75°6.∠B=∠A(答案不唯一) 7.9cm【解析】，△ABC为等边三角形， 且AB=AC=BC=6cm, .∠ACB=60°. .∠DEC=30°，..∠CDE=30°.∴.DC=CE. D是AC的中点，∴.DC=CE=3cm ,.BE=BC+CE=6+3=9(cm). 8.①②④【解析】：△DAC和△EBC均是等边三 角形，∴.AC=DC,EC=BC,∠ACE=∠DCB. ∴，△ACE≌△DCB.①正确： 由①，得∠AEC=∠DBC,.△BCN≌△ECM. CM=CN.②正确： 根据已知条件无法得出AC=DN.③错误； .'∠DBC+∠CDB=60°，∠DAE+∠EAC=60° 而∠EAC=∠CDB,.∴.∠DAE=∠DBC.④正确. 综上，正确的有①2④. 9.解：如图，延长BA,过点C作CD⊥BA的延长线于 点D. ∠BAC=150°，∴.∠DAC=180°-150°=30 yAC=30米CD=4C=15米 AB=20米， Sm=2D·AB=3x15×20=150(平方米). ·这种草皮每平方米售价a元， .购买这种草皮至少需要150a元 10.解：(1)BD=BC,∠DBC=60°. ,∴.△DBC是等边三角形. ∴.DB=DC,∠BDC=∠DBC=∠DCB=60. AB=AC」 在△ADB和△ADC中，{AD=AD, DB DC ∴.△ADB≌△ADC(SSS).∴.∠ADB=∠ADC ∠A0B=7×(6360-60)=150 (2)△ABE是等边三角形.理由如下： ∠ABE=∠DBC=60°，∴.∠ABD=∠CBE. r∠ADB=∠BCE=150°. 在△ABD和△EBC中，BD=BC I∠ABD=∠EBC .△ABD≌△EBC(ASA).∴.AB=BE. ,∠ABE=60°，∴，△ABE是等边三角形 11.解：(1)△DEF是等边三角形.理由如下： ,△ABD为等边三角形， ∴.∠ADB=60°，∠ABD=60 CE∥AB. .,∠DEF=∠A=60°，∠EFD=∠ABD=60. ·.△DEF是等边三角形 (2)如图，连接AC交BD于点O, ·,*AB=AD,CB=CD ∴.AC垂直平分BD. ∴.AO⊥BD. ∴∠BAO=∠DAO=30 :CE∥AB. '.∠ACE=∠BAO=∠DAO .AE=CE=9. .DE=AD-AE=12-9=3. :△DEF是等边三角形， ∴.EF=DE=3. .'CF=CE-EF =6. 章末预习自测 1.A2.A3.B 4.B【解析】：DE垂直平分AC, ∴.AD=CD.∴.∠A=∠ACD=50° 又·CD平分∠ACB, .∠ACB=2∠ACD=100° .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100 =30°.故选B. 5.B【解析】如图，过点A作 1 AD∥a,则AD∥b. ∴.∠BAD=∠1=35° a//b. ∴，AD∥b,∠DAC=∠2. ,△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=60°. ∴.∠2=∠D4C=∠BAC-∠DAB=60°-35°=25. 故选B. 6.B【解析】小：12x-y+11+(2x+y-13)2=0, xy+10。解得=3 12x+y-13=0, ly=7. 等腰三角形的两边长分别为x,y, 当等腰三角形的腰为3时，3+3<7，不能构成三 角形， 当等腰三角形的腰为7时，7+3>7，能构成三 角形， ∴.等腰三角形的周长为7+7+3=17.故选B. 7.D 8.B【解析】如图 CCCO B 当AB=AC时，点C,符合题意： 当AB=BC时，点C2,C,符合题意： 当AC=BC时，AB的垂直平分线与x轴的交点C4 符合题意. 综上，符合条件的点C共有4个.故选B. 9.D【解析】：△ABC中，∠B=∠C=60°，.AB= AC..△ABC是等边三角形.D是BC的中点 ∴.AD⊥BC.∴.∠ADC=90°.EF∥AD,∴.∠EFC =90°.∴.∠FEC=30°.，CF=2,∴.CE=2CF=2 ×2=4.∴.AB=AC=2CE=2×4=8.故选D. 10.B【解析】如图，标注 BM ∠1，∠2，∠3，∠4. B △A,B,A2是等边三 角形， ∴.AA2=A2B1=AB, 0 AA2 As ∠1=60. ,∠1是△OA,B,的外角， ∴.∠1=∠2+∠MON 又∠M0N=30°，∴.60°=∠2+30°. .∠2=30°.∴∠2=∠M0N=30°. .△OAB是等腰三角形，即OA1=A,B1=2. .A1A2=A2B1=AB,=2. ∴.0A2=0A1+A42=4. △4B,A,是等边三角形 .∠4=60°，A2A=AB2=A2B2 .∠1=∠4=60°.∴.A1B1∥AB2 .∠3=∠2=∠M0N=30°. ∴.△OA,B是等腰三角形，即OA2=A,B2=4. .A2A,=AB2=AB2=4. .0A3=0A2+A2A3=4+4=8 21