指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质期末专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 考点目录 指数型复合函数的图像与性质 对数型复合函数的图像与性质 考点一 指数型复合函数的图像与性质 例1.(2s-26高一上福建莆田月考)已知定义域为R的函数和8(，其中是奇函数， 是偶函数， 且f+g(x)=2 ()求函数八和8刊的解析式，并判断刊的单调性（单调性直接写结论即可）； 2若x2,3列时，不等式f2r-)+/x)≥0有解，求实数t的取值范围： (3)若关于x的方程x-g(x+1=0 实根，求正实数入的取值范围. 例2。（25-26高一上河北衡水月考)已知定义域都为R的函数)与8误 R f(x g(x) 与。满足： 是偶函数， 是奇函 数，且四+g()=2-3 f(x)g(x) (1)求函数 的解析式： 2若对任意的∈R8(-2训+g到2x-)>0恒成立，求人的取值范围 3)设Py 3-2 3+2,h()=f(2)-2g()+2m-3,对于x∈R,都32∈[0，+o),使得p)=h1x),求实数m 的取值范围， 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 例3。(25-26高一上山西吕梁月考)已知函数=3+a3 的图象关于坐标原点对称. 3 (①)求方程f(x)=2的解： 2若对任意的∈-1,2，都存在∈-，2，使得>(x)-f5成立，求的取值范围： (3)若函数 刘=m(x)9+9 2一在区间-1，上的最大值为9，求m的值. 创4.(2s26商-上河北廊坊月考)已知是定义在R上的奇两数。当x0时，八=华+会 (山)求实数人的值，并求当r∈(0，+切)时，函数的解析式： 2)当*>0时，求不等式(<2 的解集 2 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 变式1.(25-26高一上辽宁沈阳·月考)已知 x划=e+e 2'8(x=ee 2 )证明：（到-8（到为定值： 2函数G)=m财2)-8+m在2，+切)上只有一个零点，求m的取值范围； 3 (B)证明：F()=f)+8(x刘+血[f(x)+8(x]-2有唯一的正零点，并比较和4无的大小，说明理由. -2*+b 变式2，(25-26高一上广东清远期中)已知定义域为R的函数f(= 2*+1是奇函数. (1)求b的值 (x) (2)判断函数 的单调性，并用定义证明. ③)当tG,时，f)+f2x-)>0恒成立，求实数的取值范围。 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 变式3.(25-26高一上江苏苏州月考)已知函数(=2+k:2k∈R 1)讨论（刊的奇偶性： (2)当k>0时，关于x的不等式k 在(2，+∞)上有解，求k的取值范围： B活内老有质数.利任金5.不式2介督：刘恒支立.求实意的 变式4.256商-上广东村州月考)图数4--。0>0且是定文在R上的商满数 (I)求a的值： 2判断八的单调性，并证明： x∈ 3若存在22丁， 使得几f(x)≥2*-4成立，求实数2的取值范围. 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 考点二 对数型复合函数的图像与性质 剑1.(2526高上上海月考)已知脑数1-可24 0)求'=f八的定义域并证明”=f是奇函数： 2)解不等式flog,+f[log,x-2)-3]<0 例2.(25-26高一上福建莆田月考》已知函数)=1od4+1-红是偶函数，xeR )求的解析式： 2若函数gy=4+m2-1,x∈0,1og,3,是否存在m,使g最小值为0若存在，求出m的值：若不存 在，说明理由： (3)若函数fx)的图象与直线y=2x+“没有公共点，求a的取值范围. 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 例3.（25-26高一上·上海普陀月考)已知aR,f八到=log;ar-2x+4 山)若函数'=f的定义域为R,求“的取值范围。 2当4=1时，判断函数”=八在+四)上的单调性，并用定义证明 例4。(25-26高一上江苏南京月考)已知f)=log,(ar+1aeR) )当=1时，求不等式 (3x-2)<0 的解集： 2)若函数8)=f2)+1og,x 且只有一个零点，求实数的取值范围. 6 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 变式1.（25-26高一上·上海·月考)己知 f)=1og,x-0 (I)若函数y=f(x)经过点 2) 求a的值，并求y=fx)的定义域； f(x)有解，求a的取值范围. 变式2，(25-26高一上四川绵阳月考)已知函数f八=1og,,k∈R 求实数k的值： 2)在()问的条件下，解关于x的不等式[/]<1， b∈ (3)若k>4,对任意的 2], 函数8=f+log2x-x-b在区间(0,2)内总存在使得gx)=-g2-) 成立，求实数k的取值范围. > 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 变式3.(25-26高一上江苏南京·月考)已知函数f(x=log。 2a>0,a≠，gx=2+k.2keR )直接写出函数的单调区间： ②)若k=,当x∈6,0时，的取值集合为A,当≠0时，的取值集合为8，且4=B,求实数“的值： ③)若a=2,且存在正整数T,使得()-T18)-T)≥0恒成立，求k的取值范围， 变式4.(2025海南儋州模拟预测)已知函数f)=1og,(3.x)-1og27 +4，xe1,27] (x) (1)求函数的值域及单调区间： t∈ 2老不等式-也20在2上有解，求实数k的取值范围 8指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 指数型复合函数的图像与性质、对数型复合函数的图像与性质专项训练 考点目录 指数型复合函数的图像与性质 对数型复合函数的图像与性质 考点一 指数型复合函数的图像与性质 例1．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数t的取值范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，在上为单调递增 (2) (3) 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，，则, 所以， 因为在上为增函数， 所以在上为单调递增． （2）因为是奇函数， 在上单调递增可得， 又因为，所以有解， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，则， 所以， 所以实数t的取值范围为． （3）关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， ， 所以或， 所以或， 综上所述：． 例2．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且. (1)求函数、的解析式； (2)若对任意的恒成立，求k的取值范围； (3)设，，对于，都，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题设，，又， 所以两式相加可得，两式相减可得； （2）由得， 因为是奇函数，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 故原问题可化为，即对任意恒成立， 所以，解得. （3）时，， 又，故， 时，， 令，则， 则， 由，都，使得，只需，即. 例3．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的图象关于坐标原点对称． (1)求方程的解； (2)若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在区间上的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数的图象关于坐标原点对称， 所以，即， 整理得，所以，解得，所以， 由，则， 令，得，解得或（舍）， 所以，解得. （2）若对任意的，都存在， 使得成立， 则， 因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 所以， 所以， 当时，，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，解得. 综上所述，的取值范围是. （3）令，因为与在上单调递增， 则在上单调递增， 所以， 所以，， 令，， 依题意可得在上的最大值为， 又， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得； 当时，在上单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在上单调递减， 所以，解得（舍）. 综上所述，的值为. 例4．（25-26高一上·河北廊坊·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求实数k的值，并求当时，函数的解析式； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)，当时，； (2) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，故， 即，解得， 故当时，， 当时，，故， 又为定义在上的奇函数，故， 所以，故； （2）时，， 故，即， ，又在R上单调递增，故，解得， 所以，不等式的解集为 变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）已知 (1)证明：为定值； (2)函数在上只有一个零点，求的取值范围； (3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)或； (3)证明见解析，，理由见解析. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即为定值； （2），设，由得， 设，则在有且只有一个零点， ①时，不满足题意. ②解得， ③解得无解， ④时，即，此时，满足题意， ⑤时，， 检验，当时，，满足题意． 当时，，不满足题意． 综上所述：的取值范围为或. 方法二：，设， 设，令. 由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增 函数在单调递增，上单调递减. 当时，， 故的图象如图所示， 由图象可知的取值范围为或． （3）方法一：依题意可得， 因为在上均单调递增，所以在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此，可得． 方法二：依题意， 因为在上均单调递增，所以在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，即， 所以, 因为，， 所以，即， 所以. 变式2．（25-26高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 变式3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数. (1)讨论的奇偶性； (2)当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； (3)若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数. （2）不等式可化为， 即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. （3）对任意时，不等式恒成立， 则有， 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 当时，，所以，所以， 当时，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 变式4．（25-26高一上·广东广州·月考）函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见详解； (3). 【详解】（1）由题意，得，结合且不等于1，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，合题意，故. （2）函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为上的增函数. （3）由（2）得在上单调递增， ， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以， 即，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 考点二 对数型复合函数的图像与性质 例1．（25-26高一上·上海·月考）已知函数． (1)求的定义域并证明是奇函数； (2)解不等式． 【答案】(1)定义域为R，证明过程见解析； (2) 【详解】（1）由于恒成立，恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 所以是奇函数， （2）， 因为为奇函数，故， 所以， 又当时，单调递增， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在R上单调递增， 所以，即， 故，所以，解得， 所以不等式解集为. 例2．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【详解】（1）因为函数是偶函数，. 所以， 解得，经验证符合题意， 所以； （2）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为； （3）由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. 例3．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，. (1)若函数的定义域为，求的取值范围. (2)当时，判断函数在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【详解】（1）由题意有：的解集为， 当时，由，解得，不满足题意， 当时，由，解得， 所以； （2）当时，在上的单调递减， 令， 对任意的，且， 所以， 由在上单调递增， 所以， 又在单调递减， 所以， 所以， 所以在上单调递减. 例4．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以所求解集为. （2）因由只有一个正根. 若，满足题意； 当时， 若，此时方程的仅一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，由可得. 综上，或. 所以实数的取值范围为：. 变式1．（25-26高一上·上海·月考）已知. (1)若函数经过点，求a的值，并求的定义域； (2)已知，若方程有解，求a的取值范围. 【答案】(1)，且 (2) 【详解】（1）， ，解得，则， ，解得且， 故的定义域为且； （2），即， 又为定义在上的递增函数， ，即， 所以方程有解有解， 又在上为增函数， 所以在上单调递增， 当，无解，不符合题意， 当时，的解为， 所以在的值域为， 时，，且，，即符合题意， 当时，的解为， 所以在的值域为，则符合题意， 综上，． 变式2．（25-26高一上·四川绵阳·月考）已知函数，. (1)若，求实数的值； (2)在（1）问的条件下，解关于的不等式； (3)若，对任意的，函数在区间内总存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1），，， ，， ，，或， 当，不满足真数大于，即不成立，故； （2），， 的解为 转化为，， ，，的解集为； （3），， ，， ， ， ，设 ，，的值域为， 设， 对称轴为，，在处取最大值为， ，的值域为， 对任意的，函数在区间内总存在使得成立， ， ， ，， 实数的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数. (1)直接写出函数的单调区间； (2)若，当时，的取值集合为，当时，的取值集合为，且，求实数的值； (3)若，且存在正整数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，函数的单调减区间为：和，无单调增区间，当时，函数的单调增区间为：和，无单调减区间 (2) (3) 【详解】（1）由，解得：或， 所以函数的定义域为：， 令， 由函数在和上单调递减， 所以在和上单调递减， 当时，函数在单调递增， 故函数的单调减区间为：和，无单调增区间， 当时，函数在单调递减， 故函数的单调增区间为：和，无单调减区间. （2）当时，， 此时， 当且仅当时等号成立， 因为，所以， 又，且， 函数的定义域为：， 所以，即， 由（1）可得函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 若函数的值域为，则且， 即， 所以， 即，解得：或（舍去）， 所以. （3）当时，， 由（1）得，当时，，，单调递减， 当时，，，单调递减， 若正整数，由于，则存在，使得， 当时，， 而当趋于正无穷时，趋于正无穷，趋于0，则， 此时不符合题意； 若，则当时，， 当时，， 要使得恒成立， 则当时，恒成立， 当时，恒成立， 即当时， 恒成立， 当时，恒成立， 设，，对称轴， 则当时，，，， 当时，，，， 所以的取值范围是. 变式4．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【详解】（1）， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $