已知三角函数的性质求参数、三角函数的图像与性质期末专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

已知三角函数的性质求参数、三角函数的图像与性质专项训练 已知三角函数的性质求参数、三角函数的图像与性质专项训练 考点目录 已知三角函数的性质求参数 三角函数的图像与性质 考点一 已知三角函数的性质求参数 例1．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，时，， 由于在区间上有最大值，没有最小值， 故，解得. 故选：A 例2．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以 所以， 所以. 故选：B 例3．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ． 【答案】 【详解】由函数的最小正周期为，则，解得； ，解得，则.由，则. 故，由，则，， 由函数在上单调递减，则，解得. 故答案为：. 例4．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数在区间上有且只有2个零点，则ω的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，可得，其中， 因为函数在区间上有且仅有2个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 例5．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期． 又，所以，所以函数． 因为，所以，所以. 所以， 若有解，则． 所以的取值范围为. （2）由（1）知，. 令，，因为，即的单调递增区间为，. 因为在区间上单调递增，所以 所以，，解得，. 因为，所以，解得，又，所以. 将代入中可得，即，又，所以. 故的取值范围为. 例6．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍后得到的曲线向左平移个单位长度得到函数的图象． (1)求； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）通过伸缩变换所得到的曲线解析式为， 所以， （2）由得，记， 由解得， 可得的单调增区间为． 于是，由知，而，故， 于是由得，故， 于是由得实数的取值范围是． 变式1．（25-26高三上·天津·月考）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在区间单调递增，且是相邻两条对称轴， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：B 变式2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 变式3．（2025·河北·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 令，可得， 所以只需，解得， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是． 故答案为：. 变式4．（24-25高二下·河南鹤壁·月考）已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ． 【答案】或 【详解】由函数的图像关于点对称，可得， 解得，可得， 又因为在区间上单调，可得，即， 即，解得， 当时，；当时，， 故答案为：或. 变式5．（25-26高三上·河北唐山·月考）记函数，的最小正周期为． (1)若，且直线为的图像的一条对称轴，求； (2)若为的一个零点，且在区间上至多有两个零点，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为， 所以，又因为，所以，则， 因为直线为的图像的一条对称轴，所以， 即， 所以 （2）由为的一个零点，可知，则 因为在区间上至多有两个零点，所以， 因为，所以，则， 又因为，所以或. ①当时，代入，得， 因为，所以，此时在只有一个零点，符合题意； ②当时，代入，得， 因为，所以不符合题意； 综上，， 变式6．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. (1)求ω的值; (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知,则 , 故， 又在区间上单调，则，即， 则，故或. 当时，在区间 上单调递增，符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 综上所述，. （2） 令，则， 由（1）可知 ，故当时，， 作出函数在区间上的大致图象如下所示，    因为，所以a的取值范围为 . 考点二 三角函数的图像与性质 例1．（2025·山东·三模·多选）将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 例2．（2025·四川自贡·一模·多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期是 B． C．在单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】AB 【详解】依题意，， 对于A，的最小正周期是，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，因此函数在取得最大值1， 在上不单调递增，C错误； 对于D，由，得的图象关于点不对称，D错误. 故选：AB 例3．（25-26高二上·宁夏中卫·月考）设函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数在时的最小值，并求出取最小值时的值. 【答案】(1)最小正周期，对称轴为； (2)当时，. 【详解】（1）的最小正周期， 由，可得， 所以的对称轴为， （2）由，可得， 则， 当即时，函数取得最小值为， 例4．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且. (1)求的解析式和对称中心. (2)当，时，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，， 所以最小正周期，解得， 又，所以， 解得，， 由可得，所以， 令，解得，， 所以的对称中心为. （2）由（1）可得， 当时，，， 所以，即的值域为. 例5．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)求图象的对称轴和单调递增区间； (2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)对称轴方程为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）由题意，得函数， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由题意得时，关于x的不等式有解， 即不等式有解， 而此时，即有解，只需要即可， ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以. 例6．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数 (1)求的单调区间； (2)若，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为，. (2) 【详解】（1）. 根据正弦函数的单调性， 单调递增区间：令，， 则，； 单调递减区间：令，， 则，. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 已知，恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立. ， 当且仅当，即时，等号成立. 即. 因此，的取值范围为. 变式1．（2025·四川成都·模拟预测·多选）已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．则（   ） A．图象关于点对称 B．图象在上单调递增 C．在上有且仅有3个解 D．在上有6个极值点 【答案】AC 【详解】函数的图象上所有点向左平移个单位， 得到， 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数． 选项A：因为，所以图象关于点对称，A正确. 选项B：当时，， 因为函数在上不单调， 所以在区间上不单调，故B错误. 选项C：，则即， 所以，所以， 所以，所以（），则（）， 解不等式，得，得， 对应、、，即在上有且仅有3个解，C正确. 选项D：令得（），得，（）， 解不等式，（），得，得， 对应、、、、，即在上有5个极值点，D错误. 故选：AC 变式2．（25-26高三上·广东珠海·月考·多选）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．函数为奇函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 【答案】ABD 【详解】设函数的周期为，由图象可知，，，所以，解得，此时； 如图，，因为，所以，因此； 对于A，因为函数，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以，结合正弦函数的单调性知，在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最小值等于，故C错误； 对于D，依题意，，由，，得；因为，函数在上有2个零点，，解得，故D正确. 故选：ABD. 变式3．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1) (2)最小正周期为，最小值为，取最小值时x的取值集合为. (3) 【详解】（1）由题意知，所以， 所以或，， 解得或，， 又，所以. （2）最小正周期. 由可得，当时，函数取得最小值， 此时，，即，. 故函数的最小值为，且取最小值时x的取值集合为. （3），使不等式能成立，即（）. 因为，所以，因函数在上单调递减， 故，即， 则的最大值为. 因此，解得. 所以实数m的取值集合为. 变式4．（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值及取得最大值时x的值； (3)当时，求的单调递增区间． 【答案】(1) (2)的最大值为，取得最大值时x的值为 (3)， 【详解】（1）， 所以的最小正周期为. （2）令，解得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，取得最大值时x的值为. （3）令，解得，， 当时，，当时，， 所以当时，的单调递增区间为，. 变式5．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间． 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1） ， 故的最小正周期为. （2）因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 变式6．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知函数． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） 时，，故． 即在上的值域为． （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $已知三角函数的性质求参数、三角函数的图像与性质专项训练 已知三角函数的性质求参数、三角函数的图像与性质专项训练 考点目录 已知三角函数的性质求参数 三角函数的图像与性质 考点一 已知三角函数的性质求参数 例1．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ． 例4．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数在区间上有且只有2个零点，则ω的取值范围是 . 例5．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 例6．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍后得到的曲线向左平移个单位长度得到函数的图象． (1)求； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高三上·天津·月考）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·河北·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 变式4．（24-25高二下·河南鹤壁·月考）已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ． 变式5．（25-26高三上·河北唐山·月考）记函数，的最小正周期为． (1)若，且直线为的图像的一条对称轴，求； (2)若为的一个零点，且在区间上至多有两个零点，求． 变式6．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. (1)求ω的值; (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 考点二 三角函数的图像与性质 例1．（2025·山东·三模·多选）将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 例2．（2025·四川自贡·一模·多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期是 B． C．在单调递增 D．的图象关于点对称 例3．（25-26高二上·宁夏中卫·月考）设函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数在时的最小值，并求出取最小值时的值. 例4．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且. (1)求的解析式和对称中心. (2)当，时，求的值域. 例5．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)求图象的对称轴和单调递增区间； (2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. 例6．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数 (1)求的单调区间； (2)若，都有恒成立，求的取值范围. 变式1．（2025·四川成都·模拟预测·多选）已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．则（   ） A．图象关于点对称 B．图象在上单调递增 C．在上有且仅有3个解 D．在上有6个极值点 变式2．（25-26高三上·广东珠海·月考·多选）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．函数为奇函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 变式3．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 变式4．（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值及取得最大值时x的值； (3)当时，求的单调递增区间． 变式5．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间． 变式6．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知函数． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $