6.4.1平面几何中的向量方法&6.4.2向量在物理中的应用举例 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例
基础知识巩固练
知识点1 向量在平面几何中的应用
1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是( )
A.2
B.
C.3 D.
2.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,0),B(1,0),C
,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中,已知AB=2AC=2,点D是边BC上靠近C的三等分点,AD的长等于边AB上的高,则tan∠BAC=( )
A.3 B.2
C.4 D.3
4.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
知识点2 向量在物理中的应用
5.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态,|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为45°,则F3的大小为( )
A. N B.5 N C. N D.
N
6.一物体在力F的作用下,由点A(2,15)移动到点B(7,8),已知F=(-4,3),则F对该物体所做的功为( )
A.-41 B.-1 C.1 D.41
7.(多选)如图所示,小船被绳索拉向岸边,设船在水中运动时水的阻力大小不变,那么小船匀速靠近岸边的过程中,下列说法中正确的是( )
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A.绳子的拉力的大小不断增大
B.绳子的拉力的大小不断变小
C.船的浮力的大小不断减小
D.船的浮力的大小保持不变
8.一条河两岸平行,河宽400 m,一艘船从河岸边A处出发垂直到达正对岸的B处,船速v1的大小为20 km/h,水速v2的大小为12 km/h,则船到达B处所需时间为 min.
9.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10 km/h,则小船实际航行速度的大小为 km/h.
10.右图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法线的夹角均为60°.已知礼物质量为2 kg,每根绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N.(重力加速度g取10 m/s2)
综合能力提升练
11.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=AB=2DC=2,E为BC的中点,F为DC上的动点(含端点),则
·
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.在Rt△ACB中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=
,C=
,c=2,P是△ABC外接圆上一点,则
·(
+
)的最大值是( )
A.4 B.2+
C.3 D.1+
13.若|a|=2,|a-b|=1,则|b|的最大值为( )
A.3 B.5
C.3 D.2
14.(多选)长江某处的南北两岸平行,江面宽度为2 km,一艘船从江南岸边的A处出发到江北岸.如图,船在静水中的速度为v1,v1的大小为10 km/h,水流方向自西向东,且速度为v2,v2的大小为6 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),北岸的点A'在A的正北方向,则( )
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A.当船的航行距离最短时,cos θ=-
B.当船的航行时间最短时,θ=
C.当θ=
时,船航行到达北岸的位置在点A'的左侧
D.当θ=时,船的航行距离为
km
15.如图所示,四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成了一个大正方形.正方形ABCD的边长为
,正方形EFGH的边长为1,则·
的值为 .若在线段AB上有一个动点M,则
·
的最小值为 .
16.如图,AB为半圆O的直径,|AB|=2,C为
上一点(不含端点).
(1)用向量的方法证明AC⊥BC;
(2)若C是上靠近点B的三等分点,Q为
上的任意一点(不含端点),求
·
的最大值.
17.如图,已知某河流河水自西向东流,流速大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
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