2025-2026学年浙教版数学八年级上册期末复习：一次函数中的三角形问题

2025年浙教版八年级第一学期期末复习：一次函数中的三角形问题 1.如图，己知一次函数y=2x-2,y2=-2x+4的图象交于点A,它们分别交x轴于点B,C ,则△ABC的面积为() y本 y2=-2x+4 y1=2x-2 O/B C A.1 B. C.2 D.星 2.如图，直线y=-2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A.若点C是 射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB 全等，则0D的长为() A.2或V5+1 B.3或V5 c.2或5 D.3或5+1 3.如图，矩形ABCD的边长AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴 正半轴上，经过点C的直线y=青x~2与x轴交于点E,则△AEC的面积是一· -2 4.如图，已知B(1,乃)，B2（2,y2),B3（3,3)…在直线y=2x+3上，在 x轴上取点A,使OA=a(0<a<1),作等腰△AB,A,面积为S,等腰 △A,B2A,面积为S2,等腰△A,B,A面积为S3…,则S2025-S2024= 试卷第1页，共12页 (用含a的代数式表示)· B B3 9 B 5如图，在平面直角坐标系中，直线乃=一)x+2分别与X轴、y轴交于点A,点 B,直线y2=ax-b与直线y相交于点C(2,m),与x轴相交于点D(1,0, 与V轴相交于点E· V2 C D A (1)求直线y,的表达式； ②表据图象，直接写出关于X的不等式心代一b>一 二X+2的解集； 1 ③)若点P是X轴上一动点，连结CP,当S△cDP=)S△BCE时，请求出点P的坐 2 标 试卷第1页，共12页 6如图，直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A3,0),点 B(0,-4),过D(0,8)作平行x轴的直线CD,交AB于点C,点E(0,m)在线 段OD上，延长CE交x轴于点F,点G在x轴正半轴上，且AG=AF. D D A Gx A 八（备用图） (1)求直线AB的函数表达式. (2)当点E恰好是OD中点时，求AG长. (3)是否存在m,使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说 明理由。 试卷第1页，共12页 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+5的图象乙分别与X,y轴交 于A,B两点，正比例函数的图象与1交于点C(2,4)· 1 0 (1)求k的值及直线乙的表达式； (2)若点M是直线I上一点，连接OM,当△BOM的面积是△BOC的 面积的2倍时，求点M的坐标. 试卷第1页，共12页 8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠O)的图象分别与x轴、y轴 1 交于点B(12,0)和点C(0,12),并与正比例函数y=一x的图象相交. 2 B (1)求直线BC的表达式. (2)求△AOC的面积. (1)y=-x+12 试卷第1页，共12页 9.如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于点A,C,直线BC与AC关于y轴对称. (1)求点A、B、C的坐标； (2)若点P(m,2)在△ABC的内部（不包含边界），求m的取值范围； (3)0为坐标原点，若过点0的直线将△ABC分成的两部分面积之比为1：2，求该直线 的解析式. y C A B 试卷第1页，共12页 10.如图，直线11：y=-x+3与x轴相交于点A,直线12：y=kx+b经过点（3，-1)，与 x轴交于点B(6,0),与y轴交于点C,与直线11相交于点D. (1)求直线12的函数关系式： (2)点P是12上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为(m,3),是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由， B C 试卷第1页，共12页 11.【模型建立】 如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED 于点D,过点B作BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA. 【模型应用】 (1)如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点0重合，D和B所在 直线分别为x轴、y轴，若OB=2,OC=1,请解答下列问题： ①点C的坐标是 ,点A的坐标是 一； ②在x轴上存在点M,使得以O,A,B,M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M 的坐标： (2)如图3，已知直线11：y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线11绕点B 旋转45°至直线12，求直线12的函数表达式. yA y ⊙ B A A D OE)C D x 图1 图2 图3 备用图 试卷第1页，共12页 12.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-2,0)·现将点B向右平移6个单位得 到点C,AC⊥BC,且AC=5,连接AB交y轴于点D. (1)如图1，点A,C的坐标分别为 (2)如图2，∠CAD与∠ODA的角平分线相交于点E,BF⊥AE,垂足为点F,求证：∠ADE =∠ABF; (3)如图3，点P是线段AB上一动点，设其横坐标为m,将点P向下平移2个单位到点 Q,连接AQ、BQ、CQ,当△AQC的面积是△BQC的面积的4倍时，求m的值. A y D 0 D E Q B C BO 图1 图2 图3 试卷第1页，共12页 13.如图，一次函数y=-x+m的图象和y轴交于点B,与正比例函数y=x图象交于点P(2, n). (1)求m和n的值： (2)求△POA的面积. y本 P(2,n) 0 A x 试卷第1页，共12页 2025年浙教版八年级第一学期期末复习： 一次函数中的三角形问题 1.如图，已知一次函数y1＝2x﹣2，y2＝﹣2x+4的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则△ABC的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：由解析式可知当y1＝0时，0＝2x﹣2， 解得：x＝1， 由解析式可知当y2＝0时，0＝﹣2x+4， 解得：x＝2， ∴B（1，0），C（2，0）， 当y1＝y2时，2x﹣2＝﹣2x+4， 解得：， ∴y1＝y2＝1， ∴， ∴BC＝2﹣1＝1， BC边上的高即为点A的纵坐标1， ∴△ABC的面积为：， 故选：B． 2.如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或1 B．3或 C．2或 D．3或1 【解答】解：∵AP⊥AB， ∴∠BAP＝∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠CAD， 在y＝﹣2x+2中， 令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1， ∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB， ①当∠ACD＝90°时，如图1， ∵△AOB≌△DCA， ∴AD＝AB， ∴OD＝1； ②当∠ADC＝90°时，如图2， ∵△AOB≌△CDA， ∴AD＝OB＝2， ∴OA+AD＝3， 综上所述：OD的长为1或3． 故选：D． 3.如图，矩形ABCD的边长AB＝9，AD＝3，将此矩形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴正半轴上，经过点C的直线yx﹣2与x轴交于点E，则△AEC的面积是　　 ． 【解答】解：∵矩形ABCD的边长AB＝9，AD＝3的矩形， ∴S△ABC3×9， ∵经过点C的直线yx﹣2与x轴交于点E， ∴E（4，0），C（10，3）， ∴BE＝6， ∴S△EBCBE•BC ＝9， ∴S△AEC9 故答案为：． 4.如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征，得到、、的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【详解】解：∵，，，…，在直线上， ∴，，，，…，； 又∵， 故， ∴； ， ； ， ； ； … ∴（n为奇数），（n为偶数）， ∴ ． 故答案是：． 5.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形面积公式； （1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）首先求得直线与轴的交点的坐标，设点的坐标为，则可将的长表示出来，进而可求得的面积，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 把点和点代入，，得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：直， 根据函数图象可得，的解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， 令，则有：， 解得：， ， 点是轴上一动点， 可设点的坐标为， ， ， ， 又， ， 即：， ， 或， 点的坐标为或． 6.如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) (2)12 (3)存在，或2 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直线与直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入函数表达式y=kx+b,即可求解； （2）证明可求解； （3）①当时，，则AC是中线，则，故点，即可求解；②当时，则点，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得： ， 解得，， 故直线的表达式为：； （2）解：当时， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （3）解：①当时，，则是中线，则， 故点， 设直线的表达式为， 把点C、F的坐标代入得 解得 ∴直线的表达式为，， 故点，则； ②当时，则点， 则， 故点， 同理直线的表达式为：， 故； 综上，或2． 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ． (1)求 的值及直线 的表达式； (2)若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等．解决问题的关键是利用图象求解． （1）设正比例函数解析式为：，将点C坐标代入，一次函数可得k，的值，即可求解； （2）如图，连接，求解，求解M的横坐标，即可求解纵坐标． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为：， ∵与交于点， ∴，， ∴，， 正比例函数解析式为： ． （2）解：如图，连接， 当 时， ， ∴， ∴， ∴， 点 M 的横坐标为 4或 ， ∴或， ∴ 的坐标为 ． 8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (1) 【答案】(2)48 【分析】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令可得点A的坐标，再由可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：令， 解得，此时， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即的面积为48． 9.如图，直线y＝x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与AC关于y轴对称． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若点P（m，2）在△ABC的内部（不包含边界），求m的取值范围； （3）O为坐标原点，若过点O的直线将△ABC分成的两部分面积之比为1：2，求该直线的解析式． 【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0），C（0，3）， ∵直线BC与直线AC关于y轴对称， ∴点B与点A关于y轴对称， ∴B（3，0）； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把点C（0，3）和点B（3，0）的坐标代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 当点P在直线CA上时，m+3＝2， 解得m＝﹣1， 当点P在直线BC上时，﹣m+3＝2， 解得m＝1， ∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是﹣1＜m＜1； （3）∵A（﹣3，0），C（0，3），B（3，0）， ∴S△ABC＝×6×3＝9； ①设直线L交AC于K，S△AOK：S四边形KOBC＝1：2，过K作KH⊥AB于H，如图： ∴S△AOKS△ABC＝3， ∴3×HK＝3， 则KH＝2， 在y＝x+3中，令y＝2， 即2＝x+3， 解得：x＝﹣1， ∴K（﹣1，2） 设直线L解析式为y＝px， ∴2＝﹣p， 解得p＝﹣2， ∴直线L解析式为y＝﹣2x； ②设直线L交BC于T，S△BOT：S四边形AOTC＝1：2，过T作TH'⊥AB于H'，如图： 同理可得：3×TH′＝3， 解得：TH′＝2， 在y＝﹣x+3中，令y＝2得x＝1， 则点T（1，2）， 则直线L解析式为y＝2x； 综上所述，直线L的解析式为y＝﹣2x或y＝2x． 10.如图，直线l1：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx+b经过点（3，﹣1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l1相交于点D． （1）求直线l2的函数关系式； （2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标； （3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题知： 解得：， 故直线l2的函数关系式为：yx﹣2； （2）由题及（1）可设点P的坐标为（t，t﹣2）． 解方程组，得， ∴点D的坐标为（，）． ∵S△ABP＝2S△ABD， ∴AB•|t﹣2|＝2AB•||，即|t﹣2|，解得：t或t， ∴点P的坐标为（，）或（，）； （3）作直线y＝3（如图），再作点A关于直线y＝3的对称点A′，连接A′B． 由几何知识可知：A′B与直线y＝3的交点即为QA+QB最小时的点Q． ∵点A（3，0）， ∴A′（3，6） ∵点B（6，0）， ∴直线A′B的函数表达式为y＝﹣2x+12． ∵点Q（m，3）在直线A′B上， ∴3＝﹣2m+12 解得：m， 故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）． 11.【模型建立】 如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若OB＝2，OC＝1，请解答下列问题： ①点C的坐标是 　（1，0）　 ，点A的坐标是 　（3，1）　 ； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：　（2，0）或（﹣1，0）　 ； （2）如图3，已知直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式． 【解答】【模型建立】证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BEC和△CDA中， ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （1）解：①∵OC＝1， ∴点C的坐标是（1，0）， 由【模型建立】得△BOC≌△CDA， ∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝2， ∴OD＝OC+CD＝3， ∴点A的坐标是（3，1）； 故答案为：（1，0），（3，1）； ②如图2，当M在x轴正半轴时，连接OA， ∵点A的坐标是（3，1），OB＝2， S△AOB2×3＝3， ∴S△OAM＝S四边形﹣S△AOB＝4﹣3＝1， ∴OM×1＝1， OM＝2， ∴M（2，0）， 如图2.2，当M在x轴负半轴时，连接OA， ∵点A的坐标是（3，1），OB＝2， S△AOB2×3＝3， ∴S△OBM＝S四边形﹣S△AOB＝4﹣3＝1， ∴OM•OB＝1， ∴OM＝1， ∴M（﹣1，0）， 故答案为：（2，0）或（﹣1，0）； （2）解：过点B作BF⊥l2于点F， ∵将直线l1绕点B旋转45°至直线l2， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∵直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴AB2， ∴AF＝BFAB， 设l2的函数解析式为y＝kx+4，则F（a，ka+4），依题意得： ， 解得：或， ∴直线l2的函数解析式为yx+4或y＝﹣3x+4． 12.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣2，0）．现将点B向右平移6个单位得到点C，AC⊥BC，且AC＝5，连接AB交y轴于点D． （1）如图1，点A，C的坐标分别为　（4，5）　 ，　（4，0）　 ； （2）如图2，∠CAD与∠ODA的角平分线相交于点E，BF⊥AE，垂足为点F，求证：∠ADE＝∠ABF； （3）如图3，点P是线段AB上一动点，设其横坐标为m，将点P向下平移2个单位到点Q，连接AQ、BQ、CQ，当△AQC的面积是△BQC的面积的4倍时，求m的值． 【解答】（1）解：∵﹣2+6＝4， ∴C（4，0）， ∵AC＝5，AC⊥BC， ∴A（4，5）， 故答案为：（4，5），（4，0）； （2）∵∠ODA＝∠ABC+∠DOB＝90°+∠ABC，DE平分∠ODA ∴∠ADE， 在Rt△ABC中， ∠BAC＝90﹣∠ABC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴DE⊥AF， ∵BF⊥AF， ∴DE∥BF， ∴∠ADE＝∠ABF； （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y， ∴P（m，）， ∴Q（m，）， ∵△AQC的面积是△BQC的面积的4倍， ∴， ∴5•（4﹣m）＝4×6•（）， ∴m． 13.如图，一次函数y＝﹣x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y＝x图象交于点P（2，n）． （1）求m和n的值； （2）求△POA的面积． 【解答】解：（1）把P（2，n）代入y＝x中，得n＝2， ∴P点坐标为（2，2）， 把P（2，2）代入y＝﹣x+m得：﹣2+m＝2， 解得：m＝4， 即m和n的值分别为4，2； （2）把y＝0代入y＝﹣x+4得：x＝4， ∴A点坐标为（4，0）， ∴△POA的面积4×2＝4． 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B， 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， 令y＝0，则x+4＝0， 解得x＝3， ∴A（3，0）， ∴OA＝3， 在Rt△OAB中，AB5； （2）∵OC＝OA+AC＝3+5＝8， ∴C（8，0）， 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4， 在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2， 即（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6， ∴D（0，﹣6）； （3）∵S△PABS△OCD， ∴S△PAB6×8＝12， ∵点P在y轴上，S△PAB＝12， ∴BP×OA＝12， 即3BP＝12， 解得BP＝8， ∵P点B点上方或B点下方， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $