专题4.2.4 随机变量的数字特征（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

本讲义聚焦离散型随机变量的数字特征，系统梳理均值与方差的定义、性质（Y=aX+b）及两点分布、二项分布、超几何分布的公式，前承分布列知识，后启统计决策应用，构建“定义理解-性质推导-实际计算”的学习支架。 资料以“即学即练+分层题型”为特色，结合乒乓球比赛、抽奖游戏等案例，引导学生从实际情境中抽象数学模型（数学眼光），通过推导性质培养逻辑推理能力（数学思维），用分布列与公式解决问题（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后变式训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题4.2.4 随机变量的数字特征 教学目标 1.理解离散型随机变量均值与方差的定义，能结合分布列熟练掌握其计算方法及方差变形公式的应用； 2.掌握均值与方差的核心性质（Y=aX+b），理解其推导逻辑并能解决简单的变量变换问题； 3.熟记两点分布、二项分布、超几何分布的均值与方差公式，能准确辨析分布类型并代入计算。 教学重难点 重点：均值与方差的定义理解及计算步骤，均值方差性质的灵活运用，三类特殊分布的公式记忆与直接应用； 难点：方差计算的准确性（含变形公式的运用），分布类型的精准辨析，性质在实际问题中的灵活迁移。 知识点01 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 知识点02 均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 【即学即练】 2．若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【详解】， 故选：C． 3．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 知识点03 特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则; （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则 【即学即练】 4．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则 ， . 【答案】 2 1 【详解】一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上相互独立，所以， 所以，. 故答案为：2；1. 5．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 题型01 求离散型随机变量的均值 【例1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】详解】的可能取值为2，4， ， 所以. 故选：C. 【例2】一种游戏的玩法如下：有4个完全一样的盒子，其中有2个盒子写的是“成功”，2个盒子写的是“失败”.玩家每一次可以随机打开一个盒子.①若打开盒子内容是“成功”，则该盒子消失；②若打开盒子内容是“失败”，则所有盒子的位置会刷新（即所有盒子会随机重排，但内容不变），当所有写着“成功”的盒子被打开后，则玩家获胜，并停止游戏. (1)求玩家打开3个盒子后获胜的概率； (2)若玩家最多有5次打开盒子的机会，设玩家停止游戏时打开盒子的数量为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记A为玩家打开标记“成功”的盒子，B为玩家打开标记“失败”的盒子， 事件M为玩家打开3个盒子后获胜， 则， 则 （2）由题意，， ，， ， ， 分布列如下： 2 3 4 5 . 【变式1-1】一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 故选：A 【变式1-2】某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． (1)求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； (2)若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 【答案】(1)，， (2)分布列见解析， 【详解】（1）生产出的甲产品为一等品的概率为； 生产出的甲产品为二等品的概率为； 生产出的甲产品为三等品的概率为． （2）由题意得X的取值可能为40，30，10． 由（1）得，，． X的分布列为 X 40 30 10 P 故． 【变式1-3】设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 【答案】C 【分析】详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，计算即可 题型02 求离散型随机变量的方差 【例3】已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】详解】依题意，，则， 又，同理，而， 则，所以. 故选：A 【例4】变量的分布列如下： 0 1 其中，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】详解】依题意，解得，，， 所以． 故答案为：． 【变式2-1】设，且随机变量的分布列是 0 1 则的最小值为 ． 【答案】 【分析】详解】由分布列得， 则， 当时，取得最小值． 故答案为：. 【变式2-2】已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 【答案】1，1 【分析】详解】， 所以， ． 故方差和标准差均为1. 【变式2-3】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【分析】详解】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 题型03 均值及方差性质的应用 【例5】已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（   ）（多选） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】详解】由得， 所以，， 所以，， 故选：AC. 【例6】离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则 . 【答案】1.6/ 【分析】详解】由题意知：. 所以， 所以. 故答案为： 【变式3-1】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】详解】依题意得，解得，故A正确，B错误； 而， 则，故C错误； 而， 则，故D正确. 故选:AD. 【变式3-2】已知随机变量的分布列如下：若，则 . 1 2 3 0.3 0.3 【答案】 【分析】详解】根据分布列的性质可知， 于是有， 又因为， 所以， 故答案为： 【变式3-3】已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， . 对于型的随机变量,则有， 题型04 两点分布的均值与方差 【例7】一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题意，所以. 故选：D 【例8】设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【答案】B 【分析】详解】因为随机变量服从两点分布，且，， 所以 这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 当从增大到时，随增大而递增； 当从增大到时，随增大而递减， 因此，当在内增大时，方差先增大后减小. 故选：B. 【变式4-1】若离散型随机变量X服从分布，且，则 ． 【答案】/ 【分析】详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 【变式4-2】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.6 0.4 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】详解】由X的分布列可得， ， 所以， . 故选：. 【变式4-3】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】详解】由题意可知，， 所以，故A正确； ，故D错误； ，故B正确； ， 故C错误. 故选：AB 题型05 二项分布的均值与方差 【例9】若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由题，， 所以. 故选：B 【例10】幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况. (1)当地一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数； (2)从当地随机抽取3人，求这3人中感染幽门螺杆菌的人数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由于当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌， 所以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染的频率为， 所以一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数为：； （2）因为这3人中感染幽门螺杆菌的人数为，幽门螺杆菌的感染概率为， ， 因为的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 【变式5-1】已知随机变量，，且，则 【答案】1 【分析】详解】由题意得，， 由， 得，即，由知， 故，，， 而，， 故． 故答案为：1． 【变式5-2】某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.8 (2)分布列见解析，2.4 【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件， 由题意可知，事件与相互独立，，则， 任选1名学生，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名学生，该人参加过培训的概率. （2）由题意结合（1）可知，3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望. 【变式5-3】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置. (1)若，求的值； (2)若，求和的值； 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”， 由于质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，所以. 由题意知，即. 当时，. （2）当时，. . 题型06 超几何分布的均值与方差 【例11】（多选）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数，所选5人中男生的人数服从超几何分布， 即 故错误； 又由超几何分布的均值公式，可得： , 所以 故正确， 故选： 【例12】甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. (1)求m的值； (2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1. 【详解】（1）由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为，点数为3、4、5、6的概率为. 由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是， 则，化简得， 解得或者（舍去）. 所以. （2）由题意可知，随机变量可能取值为0，1，2. 则； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 【变式6-1】袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 【变式6-2】袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 （2）因为，所以． （3）由已知得， 因为， 所以，所以． 【变式6-3】为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 题型07 均值方差在决策中的应用 【例13】某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3)应选 【详解】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ， ， 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为 且， 所以的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （2）由题意得，当时，， 当时，． 所以 设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 当时，，解得． 由（1）中的分布列可知，． （3）由（1）知，． 当时，的分布列为： 0.06 0.94 所以； 当时，的分布列为： 0.06 0.23 0.71 所以， 因为，所以应选． 【例14】为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 【变式7-1】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【变式7-2】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)选择方案二，理由见解析 【详解】（1）记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”， 则,，，， ，且，互斥， 所以． 即测试结果为语音识别成功的概率为． （2）因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低． 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则； 方案二：Y可取3，5， ， ， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3 5 P 0.512 0.488 所以；所以， 即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 【变式7-3】为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 【答案】(1) (2)采用补贴方案二的补贴额更高 【详解】（1）记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月， 事件B：单个家庭共生育2个婴儿， 则， ， ； （2）记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为， ， ， ，故采用补贴方案二的补贴额更高． 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 题型08 均值方差中的最值问题 【例15】设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值 C．无最大值但有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】B 【分析】详解】由分布列，得随机变量的期望， 则， 由，得当时，取得最大值，无最小值. 故选：B. 【例16】某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，且．从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为． (1)若，已知的数列期望，的方差求的值. (2)若，且服从二项分布．已，求的值. (3)已知，，在抽取的件商品中，一等品和二等品的数量之和为．求当为何值时，的数学期望取得最大值？ 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）由题意，则. （2）因为，所以， 所以得， 即，化简得， 解得，又，所以. （3）由题意知， 则，所以随着n的增大而增大， 当时，，故的数学期望没有最大值. 但在实际情境中，n的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，取得最大值. 【变式8-1】某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． (1)若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； (3)已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 【答案】(1) (2)6 (3) 【详解】（1）设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A， 则． （2）设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B， 则， 令，得，当时，单调递增， 又当时，，当时，， 所以m的最小值为6． （3）每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X， 依题意，X服从超几何分布，则． 设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元， 则， 所以． 函数的图象的对称轴方程为， 要使的值最小，应取． 【变式8-2】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1；理由见解析 【详解】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则， 所以至少遇到一个红灯的事件为， 由对立事件概率公式， 得， 所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为． （2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则， 所以， 设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，， 设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， ， 所以． 因为， 所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1． 【变式8-3】有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，如果按照A、B、C的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小. 【答案】(1)①；②分布列见解析，； (2)先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【详解】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则， ②可取1，2，3， ，，， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. （2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而， 所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 一、单选题 1．已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】详解】因为，所以， 则. 故选：B 2．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【答案】A 【分析】详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 3．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或． 正方体共12条棱中任取两条，共有种取法， 其中相交的有种，平行且距离为的有种， 其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种， ，，， 分布列为： 0 1 ． 故选：D． 4．一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 5．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为． 故选：D. 6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】详解】解法1：由题意，共有幅作品，选取2幅作品有种方法， 其中全是文化领域的有种方法，因此全是文化领域的概率为，从而解得． 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 则． 解法2：同法1，求得后可用下列方法求解． 由题意可知服从参数为，，的超几何分布，则． 故选：A. 二、多选题 7．甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 8．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有黄球40个，白球60个，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则（    ） 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 A．如果采取有放回摸球，其方差为24 B．如果采取不放回摸球，其期望为8 C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率约为0.7988 D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1的限制条件下，采用不放回摸球估计的结果更可靠 【答案】BCD 【分析】详解】对于A，当采取有放回摸球时，则每次摸到黄球的概率为， 此时，方差为，故A错误； 对于B，当采取不放回摸球时，则服从超几何分布，期望为，故B正确； 对于C，如果采取不放回摸球，样本中黄球比例为，总体黄球比例为0.4，因此， 查阅参考数据中超几何分布列（第三行）可知，该值约等于，故C正确； 对于D，如果采取有放回摸球时，查阅参考数据中二项分布列（第二行）可知， ， 因,即采用不放回摸球估计的结果更可靠，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．从集合中随机取出3个能作为一个三角形三边长的不重复的数，设以这3个数为边长组成的三角形面积为，则的期望 . 【答案】 【分析】详解】从集合中随机取出3个能作为一个三角形三边长的不重复的数， 能够组成三角形的组合仅{3，4，5}和{2，3，4}和{2，4，5}三组，且三组的可能性均等. 对于3，4，5为边长的三角形，其为直角三角形，故面积为； 对于2，3，4为边长的三角形，有，故； 对于2，4，5为边长的三角形，有，故， 故的期望. 故答案为：. 10．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 【答案】 【分析】详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：， ，， ，，共种， 第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率. 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为， 质点4次运动，共有种情况， 当X=0时，，共有1种情况，则， 当X=1时，， ， ， ， ，，，共有7种情况， 所以，又， 所以X的分布列为： ， 故答案为：，. 四、解答题 11．12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； (2)从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，上四分位数为 (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题可知，解得； 上四分位数即为第75百分位数. 学生成绩在范围内的频率为， 学生成绩在范围内的频率为. 所以第75百分位数一定位于范围内. 由，所以估计学生成绩的上四分位数为. （2）依题意，成绩在，两组内的频率分别为和，所以在两组内分别抽取3人和2人. 记为抽取的3人中成绩来自内的人数，则的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望. 12．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和发送信号1时，接收为1和0的概率分别为且每次数字的传输相互独立. (1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)若发送的序列为“011”，用X表示接收到的数字串中0的个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1). (2)分布列见解析， 【详解】（1）设事件表示数字0接受正确，事件表示数字1接受正确，事件接收到的两个数字中有且只有一个正确，则，且与互斥. ， 所以接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率为. （2）由题意知可取， ， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望. 13．某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1)； (2)选择方案1更合理，理由见解析. 【详解】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则. 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种， 他第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种， 则，则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为： ； （2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为. 注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为， 则，， ，. 则; 若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为. 由（1）可得无放回摸出三球的情况有种， 则，， ， 则. 因，则他选择方案1更合理. 14．某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）. 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年—50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率. (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小； (3)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为，       用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为. （2）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． （3）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计， 从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 常数期望． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.4 随机变量的数字特征 教学目标 1.理解离散型随机变量均值与方差的定义，能结合分布列熟练掌握其计算方法及方差变形公式的应用； 2.掌握均值与方差的核心性质（Y=aX+b），理解其推导逻辑并能解决简单的变量变换问题； 3.熟记两点分布、二项分布、超几何分布的均值与方差公式，能准确辨析分布类型并代入计算。 教学重难点 重点：均值与方差的定义理解及计算步骤，均值方差性质的灵活运用，三类特殊分布的公式记忆与直接应用； 难点：方差计算的准确性（含变形公式的运用），分布类型的精准辨析，性质在实际问题中的灵活迁移。 知识点01 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 知识点02 均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则________________ 【即学即练】 2．若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 3．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点03 特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则;________________ （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则________ 【即学即练】 4．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则 ， . 5．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型01 求离散型随机变量的均值 【例1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ） A． B． C． D．3 【例2】一种游戏的玩法如下：有4个完全一样的盒子，其中有2个盒子写的是“成功”，2个盒子写的是“失败”.玩家每一次可以随机打开一个盒子.①若打开盒子内容是“成功”，则该盒子消失；②若打开盒子内容是“失败”，则所有盒子的位置会刷新（即所有盒子会随机重排，但内容不变），当所有写着“成功”的盒子被打开后，则玩家获胜，并停止游戏. (1)求玩家打开3个盒子后获胜的概率； (2)若玩家最多有5次打开盒子的机会，设玩家停止游戏时打开盒子的数量为X，求X的分布列与期望. 【变式1-1】一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． (1)求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； (2)若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 【变式1-3】设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，计算即可 题型02 求离散型随机变量的方差 【例3】已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例4】变量的分布列如下： 0 1 其中，若，则的值是 ． 【变式2-1】设，且随机变量的分布列是 0 1 则的最小值为 ． 【变式2-2】已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 【变式2-3】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 题型03 均值及方差性质的应用 【例5】已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（   ）（多选） A． B． C． D． 【例6】离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则 . 【变式3-1】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知随机变量的分布列如下：若，则 . 1 2 3 0.3 0.3 【变式3-3】已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 对于型的随机变量,则有， 题型04 两点分布的均值与方差 【例7】一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 【例8】设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【变式4-1】若离散型随机变量X服从分布，且，则 ． 【变式4-2】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.6 0.4 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05 二项分布的均值与方差 【例9】若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例10】幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况. (1)当地一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数； (2)从当地随机抽取3人，求这3人中感染幽门螺杆菌的人数的分布列和数学期望. 【变式5-1】已知随机变量，，且，则 【变式5-2】某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【变式5-3】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置. (1)若，求的值； (2)若，求和的值； 题型06 超几何分布的均值与方差 【例11】（多选）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例12】甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. (1)求m的值； (2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【变式6-1】袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【变式6-2】袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【变式6-3】为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 题型07 均值方差在决策中的应用 【例13】某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【例14】为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【变式7-1】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【变式7-2】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【变式7-3】为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 题型08 均值方差中的最值问题 【例15】设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值 C．无最大值但有最小值 D．无最大值也无最小值 【例16】某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，且．从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为． (1)若，已知的数列期望，的方差求的值. (2)若，且服从二项分布．已，求的值. (3)已知，，在抽取的件商品中，一等品和二等品的数量之和为．求当为何值时，的数学期望取得最大值？ 【变式8-1】某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． (1)若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； (3)已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 【变式8-2】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 【变式8-3】有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，如果按照A、B、C的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小. 一、单选题 1．已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 2．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 3．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望（    ） A． B． C． D． 4．一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 5．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 7．甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 8．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有黄球40个，白球60个，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则（    ） 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 A．如果采取有放回摸球，其方差为24 B．如果采取不放回摸球，其期望为8 C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率约为0.7988 D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1的限制条件下，采用不放回摸球估计的结果更可靠 三、填空题 9．从集合中随机取出3个能作为一个三角形三边长的不重复的数，设以这3个数为边长组成的三角形面积为，则的期望 . 10．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 四、解答题 11．12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； (2)从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 12．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和发送信号1时，接收为1和0的概率分别为且每次数字的传输相互独立. (1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)若发送的序列为“011”，用X表示接收到的数字串中0的个数，求X的分布列与数学期望. 13．某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 14．某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）. 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年—50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率. (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小； (3)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $